Рассмотрим интегрируемую систему с $N$ степенями свободы, гамильтониан которой имеет вид
\[
H_{0}=H_{0}(I),
\]

где $I-N$-мерный вектор переменных действия. Движение в $2 N$-мерном фазовом пространстве $(\boldsymbol{I}, \boldsymbol{\theta}$ ) происходит по поверхности $N$-мерного тора и определяется $N$-мерғым вектором фаз $\boldsymbol{\theta}$, канонически сопряженным вектору $I$ :
\[
I(t)=I_{0}, \quad \boldsymbol{\theta}(t)=\boldsymbol{\omega}(I) t+\boldsymbol{\theta}_{0},
\]

где $\omega_{j}(I)=\partial H_{0} / \partial I_{j}$ – невозмущенные частоты.
Пространство переменных действия. На рис. 6.1 представлено « $N$-мерное» пространство переменных действия. Невозмущенная
1) См. примечание редактора на с. 367.- Прим. ред.
2) С.дедует различать модуляционную диффузию вдоль резонансов многомерной системы (п. 6.2г) от понижения порога перекрытия и последующей диффузии поперек резонансов вследствие низкочастотной модуляции в системе. Обе цитированные работы относятся именно ко второму (более простому) эффекту, который рассматривался также в работах [68, 467]. — Прим. ред.

энергетическая поверхность определяется в этом пространстве с помощью условия $H_{0}(I)=\alpha$. Если, например,
\[
H_{0}=\sum_{j=1}^{N} I_{j}^{2} \text {, }
\]

то эта поверхность является сферой.

Рис. 6.1. Пространство переменных действия невозмущенного гамильтониана (6.1.2) (по данным работы [276]).

Показаны энергетические поверхности (сферы) и резонансные поверхности (плоскости).

Определим ( $N-1$ )-мерную резонансную поверхность посредством условия
\[
\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{\omega}(I)=0,
\]

где $\boldsymbol{m}$ называется вектором резонанса и имеет целочисленные компоненты. Так как $\boldsymbol{m}$ может быть любым, то резонансные поверхности всюду плотны в пространстве переменных действия. Для квадратичного гамильтониана (6.1.2) несколько резонансных поверхностей показано на рис. 6.1.

Рассмотрим теперь влияние малого периодического по $\boldsymbol{\theta}$ возмуццения:
\[
\begin{aligned}
H & =H_{0}(I)-\varepsilon H_{1}(I, \theta), \\
H_{1} & =\sum_{k} V_{k}(I) e^{i m_{k} \cdot \theta},
\end{aligned}
\]

где суммирование производится по всем $\boldsymbol{m}_{k}$. Уравнения Гамильтона для $I$ имеют вид
\[
\dot{I}=-\partial H / \partial \theta=-i \varepsilon \sum_{k} m_{k} V_{k} e^{i m_{k} \cdot \theta} .
\]

Стедовательно, каждая компонента возмущения возбуждает колебания $I$ в направлении $\boldsymbol{m}_{k}$. Для большинства компонент колебания не будут резонансными, т. е. $\boldsymbol{m}_{k} \cdot \boldsymbol{\theta}(t)
eq$ const, поэтому coответствующая амплитуда колебаний $I$ будет порядка $\varepsilon$. Однако для некоторых $k=R$ возможен резонанс:
\[
\boldsymbol{m}_{R} \cdot \boldsymbol{\theta}(t)=\theta_{R}=\mathrm{const},
\]

где $\theta_{R}$ – резонансная фаза. Тогда амплитуда колебаний в направлении $\boldsymbol{m}_{R}$ имеет порядок $\varepsilon^{1 / 2}(§ 2.4)$.

В качестве примера на рис. 6.2 изображены некоторые из резонансных и энергетических поверхностей для гамильтониана
\[
H_{0}=I_{\mathrm{I}}^{2}+\left(6 I_{2}\right)^{2} .
\]

В этом случае, согласно (6.1.3), резонансными поверхностями являются линии:
\[
m_{1} I_{1}-36 m_{2} I_{2}=0 .
\]

Отметим, что так как при резонансе
\[
\boldsymbol{m}_{R} \cdot \frac{\partial H_{0}}{\partial \boldsymbol{I}}=0,
\]

то вектор $\boldsymbol{m}_{R}$ лежит на невозмущенной энергетической поверхности. Вообще говоря, вектор $m_{R}$ не перпендикулярен резонансной поверхности (см. пунктирный прямоугольник на рис. 6.2). Именно в этом случае резонанс существенно усиливает действие внешнего шума ( $\$ 6.3$ ). Из рис. 6.2 видно также, что резонансные поверхности не пересекаются на поверхности постоянной (ненулевой) энергии. Эта особенность типична для систем с двумя степенями свободы.

Для трех и более степеней свободы резонансные поверхности, вообще говоря, пересекаются, как показано на рис. 6.3 , а для гамильтониана (6.1.2) с $N=3$. Резонансными поверхностями яв. тяются здесь плоскости, проходящие через начало координат и пересекающиеся по прямым линиям. Они пересекают также сфери-

Рис. 6.2. Линии резонансов (прямые) и линии постоянной энергии (эллипсы) для гамильтониана (6.1.7) (по данным работы [405]).
Числа на прямых – значения $m_{1}$ в (6.1.8) при $m_{2}=1$. Обведенная пунктиром область показана в увеличенном виде на рис. 6.16 .

ческие поверхности постоянной энергии $H_{0}(I)=\alpha$ и пересекаются между собой на этих поверхностях. В местах пересечения возможны переходы с одного резонанса на другой. Пересечения резонансов с энергетической поверхностью образуют сложную единую сеть, или паутину Арнольда, часть косорой показана на рис. 6.3, б для резонансов с $\left|m_{j}\right| \leqslant 2$.

В $2 N$-мерном фазовом пространстве резонансы (6.1.3) образуют $(2 N-1)$-мерные поверхности. Инвариантные же поверхности, определяемые соотношением $I=\mathrm{const}$, являются $N$-мерными. Усло-

$a$-диффузия (волнистая линия) переходит с одной резонансной поеерхности на другую по линии пересечения их с энергетической поверхностью (по данным работы [276]); б-єпаутина» Арнольда на энергетической поверхности; показаны только некоторые из реяонансов (по данным работы [406]).

вие пересечения стохастических слоев можно получить теперь геометрически. Если $N \geqslant 3$, то ( $2 N-1$ )-мерные резонансные поверхности не изолированы друг от друга $N$-мерными инвариантными поверхностями (см. рис. 1.16). Схема стохастического слоя представлена также на рис. 1.17 , где резонансная переменная $I_{R}=J_{1}$ характеризует фазовые колебания на резонансе, а остальные ( $N-1$ ) переменные действия представлены величиной $J_{2}=I_{5}$ п опсывают движение вдоль слоя.

Особенность движения вдоль стохастического слоя можно пояснить следующим образом. Пусть полная энергия сохраняется, так что
\[
\Delta H=\Delta H_{0}+\varepsilon H_{1}=0,
\]

причем для резонансной переменной
\[
\Delta I_{R} \sim \varepsilon^{1 / 2} .
\]

Тогда для трех степеней свободы
\[
\frac{\partial H_{0}}{\partial I_{R}} \Delta I_{R}+\frac{\partial H_{0}}{\partial I_{S_{1}}} \Delta I_{S_{1}}+\frac{\partial H_{0}}{\partial I_{S_{2}}} \Delta I_{S_{2}} \sim \varepsilon .
\]

Изменения переменных $I_{S_{1}}$ и $I_{S_{2}}$ вдоль слоя могут быть большими и ограничены [с учетом (6.1.10)] только условием
\[
\frac{\partial H_{0}}{\partial I_{S_{1}}} \Delta I_{S_{1}}+\frac{\partial H_{0}}{\partial I_{S_{2}}} \Delta I_{S_{2}} \sim \varepsilon^{12} .
\]

В случае же двух степеней свободы $\left(\Delta I_{S_{2}} \equiv 0\right.$ ) из (6.1.10) и (6.1.11) следует
\[
\Delta I_{S} \sim \varepsilon^{1 / 2},
\]
т. е. смещение вдоль стохастического слоя мало.