Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Рассмотрим интегрируемую систему с $N$ степенями свободы, гамильтониан которой имеет вид где $I-N$-мерный вектор переменных действия. Движение в $2 N$-мерном фазовом пространстве $(\boldsymbol{I}, \boldsymbol{\theta}$ ) происходит по поверхности $N$-мерного тора и определяется $N$-мерғым вектором фаз $\boldsymbol{\theta}$, канонически сопряженным вектору $I$ : где $\omega_{j}(I)=\partial H_{0} / \partial I_{j}$ — невозмущенные частоты. энергетическая поверхность определяется в этом пространстве с помощью условия $H_{0}(I)=\alpha$. Если, например, то эта поверхность является сферой. Рис. 6.1. Пространство переменных действия невозмущенного гамильтониана (6.1.2) (по данным работы [276]). Показаны энергетические поверхности (сферы) и резонансные поверхности (плоскости). Определим ( $N-1$ )-мерную резонансную поверхность посредством условия где $\boldsymbol{m}$ называется вектором резонанса и имеет целочисленные компоненты. Так как $\boldsymbol{m}$ может быть любым, то резонансные поверхности всюду плотны в пространстве переменных действия. Для квадратичного гамильтониана (6.1.2) несколько резонансных поверхностей показано на рис. 6.1. Рассмотрим теперь влияние малого периодического по $\boldsymbol{\theta}$ возмуццения: где суммирование производится по всем $\boldsymbol{m}_{k}$. Уравнения Гамильтона для $I$ имеют вид Стедовательно, каждая компонента возмущения возбуждает колебания $I$ в направлении $\boldsymbol{m}_{k}$. Для большинства компонент колебания не будут резонансными, т. е. $\boldsymbol{m}_{k} \cdot \boldsymbol{\theta}(t) где $\theta_{R}$ — резонансная фаза. Тогда амплитуда колебаний в направлении $\boldsymbol{m}_{R}$ имеет порядок $\varepsilon^{1 / 2}(§ 2.4)$. В качестве примера на рис. 6.2 изображены некоторые из резонансных и энергетических поверхностей для гамильтониана В этом случае, согласно (6.1.3), резонансными поверхностями являются линии: Отметим, что так как при резонансе то вектор $\boldsymbol{m}_{R}$ лежит на невозмущенной энергетической поверхности. Вообще говоря, вектор $m_{R}$ не перпендикулярен резонансной поверхности (см. пунктирный прямоугольник на рис. 6.2). Именно в этом случае резонанс существенно усиливает действие внешнего шума ( $\$ 6.3$ ). Из рис. 6.2 видно также, что резонансные поверхности не пересекаются на поверхности постоянной (ненулевой) энергии. Эта особенность типична для систем с двумя степенями свободы. Для трех и более степеней свободы резонансные поверхности, вообще говоря, пересекаются, как показано на рис. 6.3 , а для гамильтониана (6.1.2) с $N=3$. Резонансными поверхностями яв. тяются здесь плоскости, проходящие через начало координат и пересекающиеся по прямым линиям. Они пересекают также сфери- Рис. 6.2. Линии резонансов (прямые) и линии постоянной энергии (эллипсы) для гамильтониана (6.1.7) (по данным работы [405]). ческие поверхности постоянной энергии $H_{0}(I)=\alpha$ и пересекаются между собой на этих поверхностях. В местах пересечения возможны переходы с одного резонанса на другой. Пересечения резонансов с энергетической поверхностью образуют сложную единую сеть, или паутину Арнольда, часть косорой показана на рис. 6.3, б для резонансов с $\left|m_{j}\right| \leqslant 2$. В $2 N$-мерном фазовом пространстве резонансы (6.1.3) образуют $(2 N-1)$-мерные поверхности. Инвариантные же поверхности, определяемые соотношением $I=\mathrm{const}$, являются $N$-мерными. Усло- $a$-диффузия (волнистая линия) переходит с одной резонансной поеерхности на другую по линии пересечения их с энергетической поверхностью (по данным работы [276]); б-єпаутина» Арнольда на энергетической поверхности; показаны только некоторые из реяонансов (по данным работы [406]). вие пересечения стохастических слоев можно получить теперь геометрически. Если $N \geqslant 3$, то ( $2 N-1$ )-мерные резонансные поверхности не изолированы друг от друга $N$-мерными инвариантными поверхностями (см. рис. 1.16). Схема стохастического слоя представлена также на рис. 1.17 , где резонансная переменная $I_{R}=J_{1}$ характеризует фазовые колебания на резонансе, а остальные ( $N-1$ ) переменные действия представлены величиной $J_{2}=I_{5}$ п опсывают движение вдоль слоя. Особенность движения вдоль стохастического слоя можно пояснить следующим образом. Пусть полная энергия сохраняется, так что причем для резонансной переменной Тогда для трех степеней свободы Изменения переменных $I_{S_{1}}$ и $I_{S_{2}}$ вдоль слоя могут быть большими и ограничены [с учетом (6.1.10)] только условием В случае же двух степеней свободы $\left(\Delta I_{S_{2}} \equiv 0\right.$ ) из (6.1.10) и (6.1.11) следует
|
1 |
Оглавление
|