Рассмотрим теперь более подробно, как изменяется характер движения в окрестности эллиптической точки при ее превращении в гиперболическую. На рис. 3.16 показан результат 100000 итераций отображения (3.4.6) при $M=14$. Для неподвижной точки $u_{1}=14 / 3, \psi_{1}=0$ значение $u_{s}=4,68947>u_{1}$. Поэтому следует ожидать, что эта неподвижная точка должна быть неустойчивой. Она действительно оказывается гиперболической точкой с отражением, но соседние траектории не соединяются с основной стохастической компонентой движения. Последняя отделена от гиперболической точки вместе со стохастическим стоем ее сепаратрисы замкнутыми инвариантными кривыми, которые имеют форму «гантели» (см.

Рис. 3.16. Фазовая плоскость $(u, \psi)$ для отображения (3.4.6) при $M=14$.
Внутри самого нижнего островка устойчивости произошла бифуркация неподвижной точки (см. рис. 3.18).
Рис. 3.17. Линии неподвижных точек для инволюций отображения (3.4.6) при $M=14$.

рис. 3.18). При этом внутри сепаратрисы имеются две периодические точки периода 2 , которых не было при $u_{s}<u_{1}$. Топология фазовой плоскости на этом малом масштабе в какой-то степени похожа, хотя и не полностью, на глобальную топологию, в которой инвариантные кривые окружают отдельные периодические точки или изолируют друг от друга сепаратрисы.

Чтобы найти положение только что описанных периодических точек периода 2 , запишем отображение (3.4.6) в виде произведения двух инволюций $I_{1}$ и $I_{2}$, как это было сделано в п. 3.3б. Линии неподвижных точек инволюций $I_{1}$ и $I_{2}$ определяются выражениями (3.3.38) и (3.3.39) и показаны на рис. 3.17. В частности, неподвижные точки $I_{2}$ определяются выражением
\[
u=\frac{\pi M}{(\psi+\pi m)} .
\]

Используем теперь результат п. 3.2б, устанавливающий связь между неподвижными точками с периодом $k=2$ и $k=1$. Если обозначить
\[
x=\left(\frac{\pi M}{\psi+\pi m}, \psi\right) \text {, }
\]

To
\[
T \boldsymbol{x}=(\bar{u}, \bar{\psi}),
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\bar{u}=\frac{\pi M}{(\psi+\pi m)}+\sin \psi, \\
\bar{\psi}=\psi+\frac{2 \pi M}{\bar{u}}-2 \pi m .
\end{array}
\]

Чтобы и точка ( $\bar{u}, \bar{\psi})$ была неподвижной точкой инволюции $I_{2}$, необходимо выполнение соотношения
\[
\frac{2 \psi}{(\pi m)^{2}-\psi^{2}}=\frac{1}{\pi M} \sin \psi .
\]

При $M=14, m=3$, полагая $\sin \psi \approx \psi-\psi^{3} / 6$, получим $\psi=$ $= \pm 0,23351$, а $и$ определяется зыражением (3.4.19). Эти периодические точки показаны на рис. 3.18 вместе с сепаратрисой, которая имеет форму восьмерки и принадлежит неустойчивой неподвижной точке.

Что же произойдет при дальнейшем уменьшении величины $M$, а вместе с ней и $u_{1}$ ? Для выяснения этого вопроса заметим, что для $u$ в уравнении (3.4.6a) вблизи кривой $I_{2}$ можно использовать выражение (3.4.19). В результате получаем одномерное отображение

\[
u_{n+1} \approx u_{n}+\sin \pi\left(\frac{M}{u_{n}}-m\right) .
\]

Такие отображения естественно возникают при изучении диссипативных систем и подробно описаны в § 7.2. Мы покажем там, что с уменьшением $M$ происходит целый каскад последовательных би-

ис. 3.18. То же, что на рис. 3.16 внугри устойчивости области.
Светлые кружки – устойчивые точки периода 2 ; треугольник – неустойчивая неподвижная точка с сепаратрисой (сплошная кривая). Цифры показывают последовательность двнжения по сепаратрисе (ср. рис. 3.10, б).

фуркаций устойчивых периодических точек с периодами $2 \rightarrow 4 \rightarrow$ $\rightarrow 8 \rightarrow 16$ и т. д. Этот процесс продолжается, пока $M$ не достигнет некоторого предельного значения, ниже которого все траектории становятся неустойчивыми. В работе Лихтенберга и др. [72] подробно описано поведение периодических точек $k=2$ с изменением $M$, включая бифуркацию $2 \rightarrow 4$. Общая теория бифуркаций гамильтоновых систем обсуждается в дополнении Б.