Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Различные эквивалентные формы уравнений движения можно получить друг из друга путем пресбразования переменных. Одна из таких форм получается в результате введения функции Лагранжа где $\boldsymbol{q}$ и $\dot{\boldsymbol{q}}$ – векторы координат и скоростей по всем степеням свободы, $T$ – кинетическая энергия, $U$ – потенциальная энергия и все связи предполагаются независящими от времени. Уравнения движения Лагранжа для каждой из координат $q_{i}$ имеют вид Эти уравнения можно получить либо из вариационного принципа ( $\delta \int L t=0$ ), либо путем прямого сравнения с законами движения Ньютона. Определим гамильтониан посредством соотношения где $\dot{q}$ рассматривается как функция $\boldsymbol{q}$ и новой переменной $\boldsymbol{p}$. Вычисляя дифференциал $H$, получаем где мы подставили (1.2.2) в третью сумму справа. Уравнение (1.2.4) может быть удовлетворено только, если определить $p_{i}$ как При этом первая сумма справа в (1.2.4) тождественно обращается в нуль. Приравнивая коэффициенты при дифференциалах, получаем уравнения движения, содержащие только первые производные, и Переменные $\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}$ называются обобщенными импульсами и координатами, а соотношения (1.2.6) и (1.2.7) есть уравнения Гамильтона. Исследование характера решений этих уравнений составляет основное содержаниє настоящей монографии. Любой набор переменных $\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}$, временнаेя эволюция которых дается уравнениями вида (1.2.6), называется каноническим, а сами $p_{i}$ и $q_{i}$ сопряженными переменными. Это уравнение справедливо как для старых, так и для новых канонических переменных. Поэтому интеграл в (1.2.8) для разных переменных может отличаться только на полный дифференциал: где мы выбрали функцию $F=F_{1}$, зависящей от $q$ и $\bar{q}$. Раскрывая полную производную от $F_{1}$, получаем Считая переменные в (1.2.10) независимыми, из (1.2.9) (сравнивая соответствующие члены и требуя, чтобы члены с $\dot{q}_{i}$ и $\dot{\bar{q}}_{i}$ по отдельности равнялись нулю) находим Можно определить производящие функции и от других пар смешанных (старой и новой) канонических переменных: Если, например, ввести $F_{2}$ при помощи преобразования Лежандра где $\bar{q}-$ функция $\boldsymbol{q}$ и $\boldsymbol{p}$, то получим каноническое преобразование в виде Производящие функции $F_{3}$ и $F_{4}$ определяются соотношениями, аналогичными (1.2.12), и приводят к соответствующим каноническим преобразованиям. Канонические преобразования позволяют, по крайней мере формально, решить уравнения движения динамической системы следующим образом. Рассмотрим отдельно случай гамильтониана, зависящего явно от времени, и случай автономного гамильтониана, не зависящего от времени. В первом случае положим $\bar{H} \equiv 0$. Тогда производные по времени от новых переменных равны нулю в силу уравнений Гамильтона. Поэтому новые переменные не зависят от времени и их можно интерпретировать как начальные значения исходных (непреобразованных) переменных. Таким образом, каноническое преобразование фактически оказывается решением, определяющим значения координат и импульсов в произвольный момент времени в зависимости от их начальных значений. Подставив (1.2.13a) в (1.2.13в) с $\bar{H}=0$, получим уравнение в частных производных для производящей функции $F_{2}$ : которое называется уравнением Гамильтона-Якоби. Во втором случае, когда $H$ не зависит от времени явно, достаточно положить $\bar{H}$ равным константе. Тогда преобразование (1.2.13в) приводит к уравнению Гамильтона-Якоби в виде Если переменные в уравнениях (1.2.14) и (1.2.15) не разделяются, то решить их столь же трудно, қак и исходные канонические уравнения. Однако метод Гамильтона-Якоби очень удобен для получения приближенных решений в виде рядов для систем, близких к системам с разделяющимися переменными, или, как их чаще называют, для систем, близких к интегрируемым. где $u$ и $v$-произвольные функции канонических переменных. Уравнения движения можно записать с помощью скобок Пуассона следующим образом. Выбрав в качестве $u$ координату, а в качестве $v$ гамильтониан системы, получим Сравнивая с уравнениями Гамильтона, имеем и аналогично Скобки Пуассона удовлетворяют правилу антикоммутации и тождеству Якоби Используя уравнения Гамильтона, можно записать полную производную по времени от произвольной функции $\chi=\chi(q, p, t)$ в виде При отсутствии явной зависимости от времени $\partial \chi / \partial t=0$. Если к тому же и скобки Пуассона равны нулю, то говорят, что функция $\chi$ коммутирует с гамильтонианом и является интегралом движения. Ясно, что если гамильтониан не зависит от времени явно, то и он является интегралом. Такие гамильтонианы называются автономными. Выберем в качестве функции $\chi$ один из импульсов $p_{i}$ и пусть он не является явной функцией времени $t$. Если при этом гамильтониан не зависит от сопряженной координаты (т. е. $\left.\partial H / \partial q_{i}=0\right)$, то из (1.2.21) вытекает, что $d p_{i} / d t=0$ и, следовательно, $p_{i}$ является интегралом движения Интегрируя (1.2.23), получаем решение в виде Если можно найти такое каноническое преобразование, что все новые импульсы оказываются постоянными, то решение в новых канонических переменных описывается соотношениями (1.2.22) и (1.2.24). Обратное преобразование в этом случае дает полное решение в исходных переменных. Производящей функцией такого преобразования служит решение уравнения Гамильтона-Якоби (1.2.15). Другой метод интегрирования уравнений движения связан с использованием производящей функции $w(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}, s)$, задающей каноническое преобразование (от старых переменных $\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}$ к новым переменным $\bar{p}, \bar{q}$ ) в виде уравнений Гамильтона: где $s$ – произвольный параметр. При этом связь новых и старых переменных дается соотношениями Функция ш называется производящей функцией Ли и зависит только от старых переменных. Использование такой функции упрощает вычисление высших порядков теории возмущений. Мы обсудим этот метод в $\S 2.5$. В заключение заметим, что успех метода канонических преобразований определяется разумным выбором преобразования. Сами по себе эти преобразования не приводят к новой физике, но могут помочь при анализе или физической интерпретации того или иного движения, свойства
|
1 |
Оглавление
|