Различные эквивалентные формы уравнений движения можно получить друг из друга путем пресбразования переменных. Одна из таких форм получается в результате введения функции Лагранжа
\[
L(q, \dot{q}, t)=T(\dot{q})-U(q, t),
\]

где $\boldsymbol{q}$ и $\dot{\boldsymbol{q}}$ — векторы координат и скоростей по всем степеням свободы, $T$ — кинетическая энергия, $U$ — потенциальная энергия и все связи предполагаются независящими от времени. Уравнения движения Лагранжа для каждой из координат $q_{i}$ имеют вид
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0 .
\]

Эти уравнения можно получить либо из вариационного принципа ( $\delta \int L t=0$ ), либо путем прямого сравнения с законами движения Ньютона. Определим гамильтониан посредством соотношения
\[
H(p, q, t) \equiv \sum_{i} \dot{q}_{i} p_{i}-L(q, \dot{q}, t),
\]

где $\dot{q}$ рассматривается как функция $\boldsymbol{q}$ и новой переменной $\boldsymbol{p}$. Вычисляя дифференциал $H$, получаем
\[
\begin{array}{c}
d H=\sum_{i} \frac{\partial H}{\partial q_{i}} d q_{i}+\sum_{i} \frac{\partial H}{\partial p_{i}} d p_{i}+\frac{\partial H}{\partial t} d t= \\
=\sum_{i}\left(p_{i}-\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right) d \dot{q}_{i}+\sum_{i} \dot{q}_{i} d p_{i}- \\
\quad-\sum_{i}\left(\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right) d q_{i}-\frac{\partial L}{\partial t} d t,
\end{array}
\]

где мы подставили (1.2.2) в третью сумму справа. Уравнение (1.2.4) может быть удовлетворено только, если определить $p_{i}$ как
\[
p_{i} \equiv \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}} .
\]

При этом первая сумма справа в (1.2.4) тождественно обращается в нуль. Приравнивая коэффициенты при дифференциалах, получаем уравнения движения, содержащие только первые производные,
\[
\begin{array}{c}
\dot{p}_{i}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}, \\
\dot{q}_{i}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}
\end{array}
\]

и
\[
\frac{\partial L}{\partial t}=-\frac{\partial H}{\partial t} .
\]

Переменные $\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}$ называются обобщенными импульсами и координатами, а соотношения (1.2.6) и (1.2.7) есть уравнения Гамильтона. Исследование характера решений этих уравнений составляет основное содержаниє настоящей монографии. Любой набор переменных $\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}$, временнаेя эволюция которых дается уравнениями вида (1.2.6), называется каноническим, а сами $p_{i}$ и $q_{i}$ сопряженными переменными.
Производяцие функции от смешанных переменных. Пусть мы хотим перейти от канонических переменных $\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}$ к новым переменным $\overline{\boldsymbol{q}}, \overline{\boldsymbol{p}}$. Их можно связать при помощи некоторой функции от одной старой и одной новой переменных следующим образом. Так как лагранжиан получается из вариационного принципа, то, используя (1.2.3), находим
\[
\delta\left[\dot{t}_{t_{i}}^{t_{2}}\left(\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i}-H(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}, t)\right) d t\right]=0 .
\]

Это уравнение справедливо как для старых, так и для новых канонических переменных. Поэтому интеграл в (1.2.8) для разных переменных может отличаться только на полный дифференциал:
\[
\sum_{i} p_{i} \dot{q}_{i}-H(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}, t)=\sum_{i} \bar{p}_{i} \dot{\bar{q}}_{i}-\bar{H}(\overline{\boldsymbol{p}}, \overline{\boldsymbol{q}}, t)+\frac{d}{d t} F_{\mathbf{1}}(\boldsymbol{q}, \overline{\boldsymbol{q}}, t),
\]

где мы выбрали функцию $F=F_{1}$, зависящей от $q$ и $\bar{q}$. Раскрывая полную производную от $F_{1}$, получаем
\[
\frac{d F_{1}(\boldsymbol{q}, \overrightarrow{\boldsymbol{q}}, t)}{d t}=\sum_{i} \frac{\partial F_{1}}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i}+\sum_{i} \frac{\partial F_{1}}{\partial \bar{q}_{i}} \dot{\bar{q}}_{i}+\frac{\partial F_{1}}{\partial t} .
\]

Считая переменные в (1.2.10) независимыми, из (1.2.9) (сравнивая соответствующие члены и требуя, чтобы члены с $\dot{q}_{i}$ и $\dot{\bar{q}}_{i}$ по отдельности равнялись нулю) находим
\[
\begin{array}{c}
p_{i}=\frac{\partial F_{1}}{\partial q_{i}}, \\
\bar{p}_{i}=-\frac{\partial F_{1}}{\partial \bar{q}_{i}}, \\
\bar{H}(\overline{\boldsymbol{p}}, \overline{\boldsymbol{q}}, t)=H(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}, t)+\frac{\partial}{\partial t} F_{\mathbf{1}}(\boldsymbol{q}, \overline{\boldsymbol{q}}, t) .
\end{array}
\]

Можно определить производящие функции и от других пар смешанных (старой и новой) канонических переменных:
\[
F_{2}(\boldsymbol{q}, \bar{p}, t), \quad F_{3}(\boldsymbol{p}, \bar{q}, t), \quad F_{4}(\boldsymbol{p}, \overline{\boldsymbol{p}}, t) .
\]

Если, например, ввести $F_{2}$ при помощи преобразования Лежандра
\[
F_{2}(\boldsymbol{q}, \overline{\boldsymbol{p}}, t)=F_{1}(\boldsymbol{q}, \overline{\boldsymbol{q}}, t)+\sum_{i} \bar{q}_{i} \vec{p}_{i},
\]

где $\bar{q}-$ функция $\boldsymbol{q}$ и $\boldsymbol{p}$, то получим каноническое преобразование в виде
\[
\begin{array}{c}
p_{i}=\frac{\partial F_{2}}{\partial q_{i}}, \\
\bar{q}_{i}=\frac{\partial F_{2}}{\partial \tilde{p}_{i}}, \\
\bar{H}(\overline{\boldsymbol{p}}, \overline{\boldsymbol{q}}, t)=H(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}, t)+\frac{\partial}{\partial t} F_{2}(\boldsymbol{q}, \overline{\boldsymbol{p}}, t) .
\end{array}
\]

Производящие функции $F_{3}$ и $F_{4}$ определяются соотношениями, аналогичными (1.2.12), и приводят к соответствующим каноническим преобразованиям.

Канонические преобразования позволяют, по крайней мере формально, решить уравнения движения динамической системы следующим образом. Рассмотрим отдельно случай гамильтониана, зависящего явно от времени, и случай автономного гамильтониана, не зависящего от времени. В первом случае положим $\bar{H} \equiv 0$. Тогда производные по времени от новых переменных равны нулю в силу уравнений Гамильтона. Поэтому новые переменные не зависят от времени и их можно интерпретировать как начальные значения исходных (непреобразованных) переменных. Таким образом, каноническое преобразование фактически оказывается решением, определяющим значения координат и импульсов в произвольный момент времени в зависимости от их начальных значений. Подставив (1.2.13a) в (1.2.13в) с $\bar{H}=0$, получим уравнение в частных производных для производящей функции $F_{2}$ :
\[
H\left(\frac{\partial F_{2}}{\partial \overline{\boldsymbol{q}}}, \overline{\boldsymbol{q}}, i\right)+\frac{\partial F_{2}}{\partial t}=0,
\]

которое называется уравнением Гамильтона-Якоби. Во втором случае, когда $H$ не зависит от времени явно, достаточно положить $\bar{H}$ равным константе. Тогда преобразование (1.2.13в) приводит к уравнению Гамильтона-Якоби в виде
\[
H\left(\frac{\partial F_{2}}{\partial \overline{\boldsymbol{q}}}, \overline{\boldsymbol{q}}\right)=E .
\]

Если переменные в уравнениях (1.2.14) и (1.2.15) не разделяются, то решить их столь же трудно, қак и исходные канонические уравнения. Однако метод Гамильтона-Якоби очень удобен для получения приближенных решений в виде рядов для систем, близких к системам с разделяющимися переменными, или, как их чаще называют, для систем, близких к интегрируемым.
Скобки Пуассона. Важной динамической величиной являются скобки Пуассона:
\[
[u, v]=\sum_{k}\left(\frac{\partial u}{\partial q_{k}} \frac{\partial v}{\partial p_{k}}-\frac{\partial v}{\partial q_{k}} \frac{\partial u}{\partial p_{k}}\right),
\]

где $u$ и $v$-произвольные функции канонических переменных. Уравнения движения можно записать с помощью скобок Пуассона следующим образом. Выбрав в качестве $u$ координату, а в качестве $v$ гамильтониан системы, получим
\[
\left[q_{i}, H\right]=\sum_{k}\left(\frac{\partial q_{i}}{\partial q_{k}} \frac{\partial H}{\partial p_{k}}-\frac{\partial H}{\partial p_{k}} \frac{\partial q_{i}}{\partial p_{k}}\right)=\frac{\partial H}{\partial p_{i}} .
\]

Сравнивая с уравнениями Гамильтона, имеем
\[
\dot{q}_{i}=\left[q_{i}, H\right]
\]

и аналогично
\[
\dot{p}_{i}=\left[p_{i}, H\right] .
\]

Скобки Пуассона удовлетворяют правилу антикоммутации
\[
[u, v]=-[v, u]
\]

и тождеству Якоби
\[
[[u, v], w]+[[w, u], v]+[[v, w], u]=0 .
\]

Используя уравнения Гамильтона, можно записать полную производную по времени от произвольной функции $\chi=\chi(q, p, t)$ в виде
\[
\frac{d \chi}{d t}=\sum_{i}\left(\frac{\partial \chi}{\partial q_{i}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}}-\frac{\partial \chi}{\partial p_{i}} \frac{\partial H}{\partial q_{i}}\right)+\frac{\partial \chi}{\partial t}=[\chi, H]+\frac{\partial \chi}{\partial t} .
\]

При отсутствии явной зависимости от времени $\partial \chi / \partial t=0$. Если к тому же и скобки Пуассона равны нулю, то говорят, что функция $\chi$ коммутирует с гамильтонианом и является интегралом движения. Ясно, что если гамильтониан не зависит от времени явно, то и он является интегралом. Такие гамильтонианы называются автономными. Выберем в качестве функции $\chi$ один из импульсов $p_{i}$ и пусть он не является явной функцией времени $t$. Если при этом гамильтониан не зависит от сопряженной координаты (т. е.

$\left.\partial H / \partial q_{i}=0\right)$, то из (1.2.21) вытекает, что $d p_{i} / d t=0$ и, следовательно, $p_{i}$ является интегралом движения
\[
p_{i}=\alpha_{i}=\text { const },
\]
a
\[
\dot{q}_{i}=\frac{\partial H}{\partial \alpha_{i}}=\omega_{i}=\text { const. }
\]

Интегрируя (1.2.23), получаем решение в виде
\[
q_{i}=\omega_{i} t+\beta_{i} .
\]

Если можно найти такое каноническое преобразование, что все новые импульсы оказываются постоянными, то решение в новых канонических переменных описывается соотношениями (1.2.22) и (1.2.24). Обратное преобразование в этом случае дает полное решение в исходных переменных. Производящей функцией такого преобразования служит решение уравнения Гамильтона-Якоби (1.2.15).

Другой метод интегрирования уравнений движения связан с использованием производящей функции $w(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}, s)$, задающей каноническое преобразование (от старых переменных $\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}$ к новым переменным $\bar{p}, \bar{q}$ ) в виде уравнений Гамильтона:
\[
\frac{d p_{i}}{d s}=-\frac{\partial w}{\partial q_{i}}, \quad \frac{d q_{i}}{d s}=\frac{\partial w}{\partial p_{i}},
\]

где $s$ — произвольный параметр. При этом связь новых и старых переменных дается соотношениями
\[
\overline{\boldsymbol{p}}=\boldsymbol{p}(\mathrm{s}), \overline{\boldsymbol{q}}=\boldsymbol{q}(\mathrm{s}) .
\]

Функция ш называется производящей функцией Ли и зависит только от старых переменных. Использование такой функции упрощает вычисление высших порядков теории возмущений. Мы обсудим этот метод в $\S 2.5$.

В заключение заметим, что успех метода канонических преобразований определяется разумным выбором преобразования. Сами по себе эти преобразования не приводят к новой физике, но могут помочь при анализе или физической интерпретации того или иного движения, свойства