Будем описывать поведение жидкости с помощью дифференциальных уравнений в частных производных вида
\[
\frac{\partial \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{x}, t)}{\partial t}=\hat{\mathscr{L}}(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{x}, t),
\]

где $\boldsymbol{Q}-M$-мерный вектор состояния жидкости [компонентами $\boldsymbol{Q}$ могут быть, например, давление $p(\boldsymbol{x}, t)$, скорость жидкости $v(\boldsymbol{x}, t)$, плотность $\rho(\boldsymbol{x}, t)$ и т. д. ], $\boldsymbol{x}$ – обычный радиус-вектор с компонентами $x, y, z$, а $\hat{\mathscr{L}}(\boldsymbol{x})$ – независящий от времени нелинейный дифференциальный оператор. Обычный метод изучения системы (7.4.1)_состоит в переходе к представлению Фурье для вектора $\boldsymbol{Q}$ :
\[
\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{x}, t)=\sum_{k} q_{k}(t) e^{i k \cdot \boldsymbol{x}},
\]

где
\[
q_{k}(t)=\frac{1}{(2 \pi)^{3}} \int d^{3} x \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{x}, t) e^{-i \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{x}} .
\]

Подставляя (7.4.2) в (7.4.1) и используя ортогональность функций $e^{i k \cdot x}$, получаем уравнения движения в виде ${ }^{1}$ )
\[
\dot{q}_{k}=V_{k}\left(q_{1} . . q_{k}\right) .
\]

Если оставить в сумме (7.4.2) $N$ «наиболее существенных» мод, то задача сведется к конечному числу $(M N$ ) обыкновенных диффе-
1) Такое представление годится, конечно, только для модельных задач с простейшими граничными условиями. В более общем случае обычно используется разложение по собственным функциям соответствующего системе (7.4.1) линейного уравнения (см., например, книгу [534]). – Прим. ред.

ренциальных уравнений первого порядка, описывающих временну́ю эволюцию этих мод. Такой метод называется приближением Галё́ркина.

Рассмотрим в качестве примера задачу Рэлея – Бенара о тепловой конвекции (рис. $7.31, a$ ). Слой жидкости толщиной $h$ в поле тяжести подогревается снизу при постоянной разности температур $\Delta T=T_{1}-T_{0}$. Движение жидкости описывается уравнениями

Рис. 7.31. Конвекция Рэлея-Бенара.
$a-$ схема олыта; $\Delta T=T_{1}-T_{0}>0 ; \sigma-$ стационарная конвекция при $\Delta T>\Delta T_{c}$.
Навье–Стокса. Ограничиваясь двумерным движением ( $\partial / \partial z \equiv 0$ ), введем функцию потока $\psi(x, y, i)$, которая связана со скоростью жидкости $v(x, y, t)$ посредством формулы
\[
\boldsymbol{v}=
abla \times(\check{z} \psi) .
\]

Введем также функцию $\Theta(x, y, t)$, описывающую отклонение температуры $T(x, y, t)$ от линейной зависимости по $y$ :
\[
\Theta=T-T_{1}+\frac{\Delta T}{h} y .
\]

В отсутствие конвекции $\Theta=0$. Для выбранных переменных задача сводится к двум уравнениям в частных производных [283]:
\[
\frac{\partial}{\partial t}(\Delta \psi)=\left(\frac{\partial \psi}{\partial x} \frac{\partial \Delta \psi}{\partial y}-\frac{\partial \psi}{\partial y} \frac{\partial \Delta \psi}{\partial x}\right)+v \Delta^{2} \psi-g \alpha \frac{\partial \Theta}{\partial x},
\]

\[
\frac{\partial \Theta}{\partial t}=\left(\frac{\partial \psi}{\partial x} \frac{\partial \Theta}{\partial y}-\frac{\partial \psi}{\partial y} \frac{\partial \Theta}{\partial x}\right)-\frac{\Delta T}{h} \frac{\partial \psi}{\partial x} \div x \Delta \Theta .
\]

Здесь $v$ – кинематическая вязкость, $g$ – ускорение силы тяжести, $\alpha$ – коэффициент теплового расширения и $x$ – температуропроводность ${ }^{1}$ ). Примем граничные условия в виде $\Theta=\psi=\Delta \psi=0$ при $y=0$ и $y=h$, что соответствует фиксированным $T_{0}$ и $T_{1}$ и свободной поверхности жидкости. При малых $\Delta T$ имеется устойчивое равновесное состояние $\psi=\Theta=0$, соответствующее покоящейся жидкости и молекулярной теплопередаче. Еще лорд Рэлей изучал линейную устойчивость этого состояния и показал, что выше некоторого критического значения $\Delta T_{c}$ оно становится неустойчивым и в жидкости возникают циркулирующие потоки, (рис. 7.31, б):
\[
\begin{array}{l}
\psi=\psi_{0} \sin \left(\frac{\pi a x}{h}\right) \sin \left(\frac{\pi y}{h}\right), \\
\Theta=\Theta_{0} \cos \left(\frac{\pi a x}{h}\right) \sin \left(\frac{\pi y}{h}\right),
\end{array}
\]

где параметр $a$ характеризует периодичность движения по $x$. Введем безразмерное число Рэлея, характеризующее разность температур:
\[
R_{a}=\frac{g a h^{3} \Delta T}{v x} .
\]

Критическое значение числа Рэлея, определяющее возникновение устойчивой конвекции, равно
\[
R_{c}=\frac{\pi^{4}\left(1+a^{2}\right)^{3}}{a^{2}}
\]

и иринимает минимальное значение $27 \pi^{4} / 4$ для $a=1 / \sqrt{2}$.
При дальнейшем увеличении $R_{a}$ выше $R_{c}$ регулярная конвекция становится линейно неустойчивой. Эксперимент показывает, что конвекция становится при этом нестационарной и нерегулярной. Для анализа этого случая, следуя Зальцману [359], разложим $\psi$ и $\Theta$ в двойной ряд Фурье по $x$ и $y$, так что коэффициенты разложения будут зависеть только от $t$. Оставляя конечное число ч.тенов, получаем представление движения в конечномерном фазовом пространстве фурье-амплитуд. Зальцман численно нашел случаи хаотического движения ${ }^{2}$ ). Лоренц [283] исследовал упрощен-
1) Величина $\omega=-\Delta \psi$ характерлзует вращение элемента жидкости вокруг оси $z$ и называется завихренностью $(\check{z} \omega=
abla \times \boldsymbol{v})$. – Прим. ред.
2) См. благодарности в статье Лоренца [283].- Прим. ред.

ную систему, в которой оставлены только три фурье-амплитуды:
\[
\begin{array}{l}
\frac{a}{x\left(1+a^{2}\right)} \psi=\sqrt{2} X(t) \sin \left(\frac{\pi a x}{h}\right) \sin \left(\frac{\pi y}{h}\right), \\
\frac{\pi R_{a}}{R_{c}(\Delta T)} \Theta=\sqrt{2} Y(t) \cos \left(\frac{\pi a x}{h}\right) \sin \left(\frac{\pi y}{h}\right)-Z(t) \sin \left(\frac{2 \pi y}{h}\right) .
\end{array}
\]

Здесь $X$ – амплитуда конвективного движения, $Y$ – разность температур между восходящими и нисходящими потоками, а $Z$ отклонение вертикального профиля температуры от линейного. Подставляя (7.4.11) в уравнение (7.4.7), приходим к модели Лоренца:
\[
\begin{array}{l}
\dot{X}=-\sigma X+\sigma Y, \\
\dot{Y}=-X Z+r X-Y, \\
\dot{Z}=X Y-b Z,
\end{array}
\]

где $\sigma=v / x$ – число Прандтля, $r=R_{a} / R_{c}$ – приведенное число Рэлея, $b=4\left(1+a^{2}\right)^{-1}$, а точка означает производную по безразмерному времени $\tau=\pi^{2} h^{-2}\left(1+a^{2}\right) x t$.

Модель Лоренца и ее странный аттрактор уже рассматривались в $\$ 1.5$ и выше в этой главе. Здесь же нас интересует вопрос: в какой мере эта модель представляет поведение жидкости в задаче Рэлея–Бенара? На первый взгляд обе системы очень далеки друг от друга, поскольку модель Лоренца является чрезвычайно упрощенной с ее всего лишь тремя модами для двух функций состояния жидкости $\psi$ и $\Theta$. Увеличение числа мод до пяти, семи и даже четырнадцати сохраняет некоторые черты поведения модели, включая и образование странного аттрактора. Однако переход к хаотическому движению может происходить при этом через разные последовательности бифуркаций [98] (дополнительную библиографию см. в работе [180]). Более того, численное моделирование двумерной конвекции, согласно (7.4.7), показывает отсутствие турбулентного движения ${ }^{1}$ ). В этом состоит существенное отличие от трехмерной конвекции Рэлея-Бенара, в которой турбулентность наблюдается экспериментально.

В работе [131] было показано, что двумерные решения уравнения Навье-Стокса можно описать асимптотически (при $t \rightarrow \infty$ ) конечным числом мод $N_{2}$. Этот результат был обобщен на трехмерные решения, причем $N_{3} \propto N_{2}^{3}$ [132]. Поэтому при фиксированных параметрах системы и начальных условиях конечномерные
1) Это замечание непонятно. По товоду особенностей двумерной турбулентности см., например, работы [542, 543].- Прим. ред.

модели с некоторым минимальным значением $N_{2}$ (или $N_{3}$ ) представляют все физически существенные свойства реального течения ${ }^{1}$ ). Треве [412] предложил численный метод проверки anocmeриори, было ли выбранное чисто мод достаточным. Однако пока не существует никакого метода определения необходимого числа мод априори до численного моделирования²).