Следуя Кари [49], рассмотрим гамильтониан
\[
H=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} H_{n}(\boldsymbol{x}, t)
\]

где $H_{0}$ – интегрируемая часть, а вектор $\boldsymbol{x}=(\boldsymbol{J}, \boldsymbol{\theta})$ означает переменные действия – угол для $H_{0}$. Введем последовательные преобразования Ли, приводящие к последовательности новых гамильтонианов, занумерованных с помощью верхнего индекса. Используя метод Депри (п. 2.5б), начнем с уравнений (2.5.31) для первой производящей функции Ли $w^{(1)}$ :
\[
\begin{aligned}
\bar{H}_{0}^{(1)} & =H_{0}, \\
\hat{D}_{0} \omega_{1}^{(1)} & =\bar{H}_{1}^{(1)}-H_{1}, \\
\hat{D}_{0} \omega_{2}^{(1)} & =2\left(\bar{H}_{2}^{(1)}-H_{2}\right)-\left[\omega_{1}^{(1)},\left(\bar{H}_{1}^{(1)}+H_{1}\right)\right] .
\end{aligned}
\]

Обычно эти уравнения интегрируются одно за другим. В каждом порядке новый гамильтониан $\bar{H}_{i}^{(\mathrm{I})}$ выбирается так, чтобы исключить секулярность в $w_{i}^{(1)}$, после чего определяется сама функция $w_{i}^{(1)}$ Затем $w_{i}^{(1)}$ подставляется в следующее уравнение и весь процесс повторяется. Интегрирование каждого из уравнений есть единичный «шаг» процедуры, и после $n$ таких шагов мы получаем новый гамильтониан $\bar{H}$, зависящий с точностью порядка $\varepsilon^{n}$ только от переменной действия $\overline{\boldsymbol{J}}$.

В методе Колмогорова гамильтонианы и производящие функции выбирают иначе. Основное правило состоит в том, что одновременно решаются все те уравнения, правые части которых не содержат $w_{i}$. При этом, как и прежде, $\bar{H}_{i}$ выбирается таким образом, чтобы устранить секулярности в $w_{i}$. Во всех оставшихся уравнениях $w_{i}(j \geq i)$ полагаются равными нулю, после чего из них определяются $\bar{H}_{j}$. Выполнение всей этой процедуры является единич. ным «шагом» разложения.

На первом шаге мы можем «одновременно» решить только одно уравнение, а именно (2.6.12б). Полагая $\bar{H}_{1}^{(1)}=\left\langle H_{1}\right\rangle$, находим $w_{1}^{(1)}$ из уравнения
\[
\hat{D}_{0} w_{1}^{(1)}=-\left\{H_{1}\right\} .
\]

Гамильтониан $\bar{H}_{2}^{(1)}$ определяется из (2.6.12в) при $w_{2}^{(1)}=0$ и т. д. Нельзя одновременно ${ }^{1}$ ) с $w_{1}^{(1)}$ найти, например, $w_{2}^{(1)}$, так как в уравнение (2.6.12в) входит неизвестная еще функция $w_{l}^{(1)}$.

Приступая ко второму шагу, вводим новый «старый гамильтониан»
\[
H^{(1)}=\sum_{n=0}^{\infty} \varepsilon^{n} \bar{H}_{n}^{(1)},
\]

в котором
\[
\begin{array}{c}
H_{0}^{(1)}=\bar{H}_{0}^{(1)}+\varepsilon \bar{H}_{1}^{(1)}, \\
H_{1}^{(1)}=0, \\
H_{j}^{(1)}=\bar{H}_{j}^{(1)}, \quad j>1 .
\end{array}
\]

Таким образом, в новом невозмущенном гамильтониане полностью учтено решение, полученное на предыдущем шаге. Поскольку возмущение не содержит теперь члена первого порядка, то $\tilde{H}_{1}^{(2)}=0$; $w_{1}^{(2)}=0$ и $\bar{H}_{0}^{(2)}=H_{0}^{(1)}$. Система уравнений Депри принимает вид
\[
\begin{array}{l}
\hat{D}_{0}^{(1)} w_{2}^{(2)}=2\left(\bar{H}_{2}^{(2)}-H_{2}^{(1}\right), \\
\hat{D}_{0}^{(1)} w_{3}^{(2)}=3\left(\bar{H}_{3}^{(2)}-H_{3}^{(1)}\right), \\
\hat{D}_{0}^{(1)} w_{4}^{(2)}=4\left(\bar{H}_{4}^{(2 ;}-H_{4}^{(1)}\right)-\left[w_{2}^{(2)}, \bar{H}_{2}^{(2)}+H_{2}^{(1)}\right],
\end{array}
\]

где
\[
\hat{D}_{0}^{(1)} \equiv \frac{\partial}{\partial t}+\left[, H_{0}^{(1)}\right]
\]
– полная производная по времени вдоль траекторий первого порядка исходной системы. Теперь мы можем одновременно решить два первых уравнения (2.6.16a) и (2.6.16б), устраняя секулярности в $w_{2}^{(2)}$ и $w_{3}^{(2)}$ выбором $\bar{H}_{2}^{(2)}$ и $\bar{H}_{3}^{(2)}$ соответственно. В остальных урав-
1) То есть на этом же шаге; если же мы сначала найдем $w_{1}^{(1)}$ из (2.6.13), а затем подставим его в (2.6.12в), то вернемся к обычной теории возмущений.– Прим. ред.

нениях полагаем $w_{j}^{(2)}=0$ и используем их для определения $\bar{H}_{j}^{(2)}$, $j>3$. В результате находим новый гамильтониан
\[
H^{(2)}=H_{0}^{(2)}+\varepsilon^{4} H_{4}^{(2)}+\varepsilon^{5} H_{5}^{(2)}+\ldots .
\]

где
\[
\begin{array}{c}
H_{0}^{(2)}=\bar{H}_{0}^{(2)}+\varepsilon^{2} \bar{H}_{2}^{(2)}+\varepsilon^{3} \bar{H}_{3}^{(2)}, \\
H_{j}^{(2)}=\bar{H}_{j}^{(2)}, \quad j>3,
\end{array}
\]

причем $H_{0}^{(2)}$ является функцией только переменных действия, а возмущение не содержит членов порядка $\varepsilon^{2}$ и $\varepsilon^{3}$.

На третьем шаге можно сразу устранить члены возмущения порядка с четвертого по седьмой. Это следует по индукции из общего уравнения Депри (2.5.29). Пусть возмущение в $H^{(n)}$ имеет порядок $\varepsilon^{\left(2^{n}\right)}$ или выше. Используя преобразование с производящей функцией $w^{(n+1)}$, получим $w_{j}^{(n+1)}=0, \hat{L}_{j}^{(n+1)}=0, \quad\left(\hat{T}^{-1}\right)_{j}^{(n+1)}=0$ и $\bar{H}_{j}^{(n+1)}=0$ для $j<2^{n}$. Отсюда находим, что для $m<2^{n+1}$ уравнение (2.5.29) записывается в виде
\[
\hat{D}_{0}^{(n)} w_{m}^{(n+1)}=m\left(\bar{H}_{m}^{(n+1)}-H_{m}^{(n)}\right) .
\]

Следовательно, уравнения с номерами от $m=2^{n}$ до $m=2^{n+1}-1$ можно решить одновременно.

Отметим, что каждый шаг в методе Колмогорова оказывается намного сложнее, чем в обычной теории возмущений. Более того, на каждом шаге требуется проводить интегрирование вдоль новых траекторий системы. Возможно, что это есть выражение всеобщего «закона сохранения»: на одну и ту же высоту можно взобраться либо за много мелких шагов, либо за несколько крупных! Мы думаем, что метод Колмогорова не лучший способ выполнения практических вычислений ${ }^{1}$ ). С другой стороны, он совершенно необходим в теории КАМ для получения сходящихся рядов вне резонансов.