Прежде чем перейти к анализу нелинейной системы с двумя степенями свободы, рассмотрим хорошо изученное математически линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. Как известно, решение такого уравнения существует и соответствует регулярному движению ${}^1$ ). Рассмотрим дифференциальное уравнение
$$\ddot{x}+f(t)\dot{x}+g(t)x=0,$$

где $f(t)$ и $g(t)$ считаются пока произвольными функциями времени. Так как это уравнение является линейным уравнением второго порядка, его общее решение можно построить при помощи двух линейно независимых решений $x_1$ и $x_2$. Важное свойство этого уравнения получается из анализа вронскиана
$$W=\left|\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\\ {\dot{x}}_1& {\dot{x}}_2\end{array}\right|.$$
y) Это зависит от вида функций $f(t)$ и $g(t)$ в (1.3.23).- Прим. ред.

Дифференцируя обе части равенства по $t$, находим
$$\frac{dW}{dt}=\left|\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\\ \ddot{x_1}& {\ddot{x}}_2\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{\dot{x}}_1& {\dot{x}}_2\\ {\dot{x}}_1& {\dot{x}}_2\end{array}\right|,$$

где второй определитель обращаегся в нуль, так как он имеет одинаковые строки. Подставляя выражение для ${\ddot{x}}_1$ и ${\ddot{x}}_2$ из (1.3.23) и раскрывая определитель, находим
$$\dot{W}=-x_1(f{\dot{x}}_2+g{x}_2)+x_2(\dot{f}{\dot{x}}_1+g{x}_1).$$

После сокращения членов $g{x}_1{x}_2$ имеем
$$\dot{W}=-fW.$$

Интегрирование этого выражения дает
$$W(t)=W_0\exp [-{\int }_{t_0}^{t}f(t)dt].$$

Если $f(t)=0$, то диссипация в системе отсутствует ${}^1$ ) и получающееся уравнение
$$\ddot{x}+g(t)x=0$$

соответствует гамильтониану
$$H=\frac{1}{2}(p^2+g(t)q^2)$$

с $q=x$ и $p=\dot{x}$. В этом случае (1.3.26) сводится к
$$W=\text{ const. }$$

Это соотношение справедливо независимо от того, является ли $g(t)$ периодической функцией или нет.

Решение любого дифференциального уравнения второго порядка однозначно определяется начальными значениями функции и ее производной. Поэтому для каждого из независимых решений можно написать преобразование от начального момента времени $t=0$ к любому другому моменту времени в виде
$$\begin{array}{l}{x}_1(t)=m_{11}{x}_1(0)+m_{12}{\dot{x}}_1(0),\\ {\dot{x}}_1(t)=m_{21}{x}_1(0)+m_{22}{\dot{x}}_1(0),\end{array}$$

где коэффициенты $m_{ik}$ зависят от времени, но не от начальных условий. Из (1.3.29) вытекает, что детерминант матрицы
$$\det \mathbf{M}=\left|\begin{array}{ll}{m}_{11}& m_{12}\\ m_{21}& m_{22}\end{array}\right|=1\text{. }$$
1) Функция $f(t)$ может характеризовать также изменение параметров системы, например массы.- Прим. ред.

Этот результат получается, если записать матрицу преобразования двух решений в виде
$$\left(\begin{array}{ll}{x}_1(t)& x_2(t)\\ {\dot{x}}_1(t)& {\dot{x}}_2(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}{m}_{11}& m_{12}\\ m_{21}& m_{22}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{x}_1(0)& x_2(0)\\ {\dot{x}}_1(0)& {\dot{x}}_2(0)\end{array}\right).$$

Вычисляя детерминант в обеих частях равенства и используя тот факт, что детерминант произведения матриц равен произведению их детерминантов, получим преобразование для вронскиана
$$W(t)=W(0)\det \mathbf{M}.$$

Поскольку $W(t)=W(0)$, то $\det M=1$, что эквивалентно условию сохранения площади. В дальнейшем мы будем рассматривать только такие консервативные ${}^1$ ) системы.
Периодические коэффициенты. Если $g(t)$ имеет период $\tau$, то (1.3.27) имеет два независимых решения вида
$$x(t)=w(t)\exp [i\psi (t)],$$

где $w(t)$ — периодическая функция времени
$$w(t)=w(t+\tau ).$$

При этом
$$\exp \{i[\psi (t+\tau )-\psi (t)]\}=\exp (i\sigma ),$$

где $\sigma$ не зависит от времени. Поэтому $\dot{\psi }$ тоже периодическая функция времени. Уравнение (1.3.31) представляет собой общее решение Флоке для линейного уравнения с периодическими коэффициентами. Дифференцируя (1.3.31) два раза, подставляя результат в (1.3.27) и сокращая $e^{i\psi }$, получаем для действительной и мнимой частей:
$$\begin{array}{c}\ddot{w}-w{\dot{\psi }}^2+g(t)w=0,\\ 2\dot{w}\dot{\psi }+w\ddot{\psi }=0.\end{array}$$

Перепишем второе уравнение в виде
$$\frac{2\dot{w}}{\omega }+\frac{\ddot{\psi }}{\dot{\psi }}=0,$$
1) Имеется в виду сохранение не энергии, а площади на фазовой плоскости системы $(x,\dot{x})$. Заметим, что последнее сразу следует из того, что при $f=0$ рассматриваемая система является гамильтоновой (1.3.28) в переменных $x,\dot{x}$. Прим. ред.

или, после интегрирования,
$$\dot{\psi }=\frac{1}{w^2}$$

Подставляя это соотношение в (1.3.31) и переходя к действительным функциям, находим
$$x(t)=w(t)\cos \psi (t)$$

где $\psi ={\int }_{t_0}^{t}dt/w^2$. Используя соотношение
$${\cos }^2\psi +{\sin }^2\psi =1$$

и выражая $\sin \psi$ и $\cos \psi$ с помощью (1.3.34), получаем инвариант ${}^2$ )
$$I(x,\dot{x},t)=[w^{-2}{x}^2+(w\dot{x}-\dot{w}x{)}^2].$$

Хотя явный вид функции $w(t)$ в общем случае неизвестен, но из существования решения следует, что для гамильтониана (1.3.28) всегда существует инвариант I. Подставляя (1.3.33) в (1.3.32a), получаем уравнение для $w:$
$$\ddot{w}+g(t)w-\frac{1}{w^3}=0.$$

Решение этого уравнения не проще, чем исходного (1.3.27). Однако Левис [259] заметил, что любое решение (1.3.37) определяет через соотношение (1.3.36) решение (1.3.27) для всех начальных условий. Инвариант (1.3.36) полезен при изучении движения частиц в ускорителях с жесткой фокусировкой [94 ], когда функция $g(t)$ кусочно постоянна и можно явно найти $w(t)$. Точное решение известно также и в случае $g(t)=a+b\cos t$, который приводит к уравнению Матье. Левис [259] показал, что для произвольной функции инвариант (1.3.36) можно построить при помощи теории возмущений.

Отметим, что проведенный выше анализ применим к линейным неавтономным системам с одной степенью свободы, которые соответствуют некоторому специальному классу гамильтонианов с двумя степенями свободы. Так как неавтономные линейные системы второго порядка интегрируемы, то неудивительно, что всегда можно найти соответствующий инвариағт. Попытки Саймона [397] и Левиса и Лича [260] обобщить эти методы на нелинейные системы не привели пока к новым полезным результатам.
1) В общем случае (1.3.33) содержит произвольную постоянную: $\dot{\psi }=$ $=C/w^2$; соответственно изменяются и (1.3.36), (1.3.37).- Прим. ред.
2) Этот инвариант, полученный влервые Курантом и Снайдером [94], имеет простой физический смысл сохранения «энергии» в переменных: