Прежде чем перейти к анализу нелинейной системы с двумя степенями свободы, рассмотрим хорошо изученное математически линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами. Как известно, решение такого уравнения существует и соответствует регулярному движению ${ }^{1}$ ). Рассмотрим дифференциальное уравнение
\[
\ddot{x}+f(t) \dot{x}+g(t) x=0,
\]

где $f(t)$ и $g(t)$ считаются пока произвольными функциями времени. Так как это уравнение является линейным уравнением второго порядка, его общее решение можно построить при помощи двух линейно независимых решений $x_{1}$ и $x_{2}$. Важное свойство этого уравнения получается из анализа вронскиана
\[
W=\left|\begin{array}{cc}
x_{1} & x_{2} \\
\dot{x}_{1} & \dot{x}_{2}
\end{array}\right| .
\]
y) Это зависит от вида функций $f(t)$ и $g(t)$ в (1.3.23).- Прим. ред.

Дифференцируя обе части равенства по $t$, находим
\[
\frac{d W}{d t}=\left|\begin{array}{cc}
x_{1} & x_{2} \\
\ddot{x_{1}} & \ddot{x}_{2}
\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}
\dot{x}_{1} & \dot{x}_{2} \\
\dot{x}_{1} & \dot{x}_{2}
\end{array}\right|,
\]

где второй определитель обращаегся в нуль, так как он имеет одинаковые строки. Подставляя выражение для $\ddot{x}_{1}$ и $\ddot{x}_{2}$ из (1.3.23) и раскрывая определитель, находим
\[
\dot{W}=-x_{1}\left(f \dot{x}_{2}+g x_{2}\right)+x_{2}\left(\dot{f} \dot{x}_{1}+g x_{1}\right) .
\]

После сокращения членов $g x_{1} x_{2}$ имеем
\[
\dot{W}=-f W .
\]

Интегрирование этого выражения дает
\[
W(t)=W_{0} \exp \left[-\int_{t_{0}}^{t} f(t) d t\right] .
\]

Если $f(t)=0$, то диссипация в системе отсутствует ${ }^{1}$ ) и получающееся уравнение
\[
\ddot{x}+g(t) x=0
\]

соответствует гамильтониану
\[
H=\frac{1}{2}\left(p^{2}+g(t) q^{2}\right)
\]

с $q=x$ и $p=\dot{x}$. В этом случае (1.3.26) сводится к
\[
W=\text { const. }
\]

Это соотношение справедливо независимо от того, является ли $g(t)$ периодической функцией или нет.

Решение любого дифференциального уравнения второго порядка однозначно определяется начальными значениями функции и ее производной. Поэтому для каждого из независимых решений можно написать преобразование от начального момента времени $t=0$ к любому другому моменту времени в виде
\[
\begin{array}{l}
x_{1}(t)=m_{11} x_{1}(0)+m_{12} \dot{x}_{1}(0), \\
\dot{x}_{1}(t)=m_{21} x_{1}(0)+m_{22} \dot{x}_{1}(0),
\end{array}
\]

где коэффициенты $m_{i k}$ зависят от времени, но не от начальных условий. Из (1.3.29) вытекает, что детерминант матрицы
\[
\operatorname{det} \mathbf{M}=\left|\begin{array}{ll}
m_{11} & m_{12} \\
m_{21} & m_{22}
\end{array}\right|=1 \text {. }
\]
1) Функция $f(t)$ может характеризовать также изменение параметров системы, например массы.- Прим. ред.

Этот результат получается, если записать матрицу преобразования двух решений в виде
\[
\left(\begin{array}{ll}
x_{1}(t) & x_{2}(t) \\
\dot{x}_{1}(t) & \dot{x}_{2}(t)
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
m_{11} & m_{12} \\
m_{21} & m_{22}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
x_{1}(0) & x_{2}(0) \\
\dot{x}_{1}(0) & \dot{x}_{2}(0)
\end{array}\right) .
\]

Вычисляя детерминант в обеих частях равенства и используя тот факт, что детерминант произведения матриц равен произведению их детерминантов, получим преобразование для вронскиана
\[
W(t)=W(0) \operatorname{det} \mathbf{M} .
\]

Поскольку $W(t)=W(0)$, то $\operatorname{det} M=1$, что эквивалентно условию сохранения площади. В дальнейшем мы будем рассматривать только такие консервативные ${ }^{1}$ ) системы.
Периодические коэффициенты. Если $g(t)$ имеет период $\tau$, то (1.3.27) имеет два независимых решения вида
\[
x(t)=w(t) \exp [i \psi(t)],
\]

где $w(t)$ — периодическая функция времени
\[
w(t)=w(t+\tau) .
\]

При этом
\[
\exp \{i[\psi(t+\tau)-\psi(t)]\}=\exp (i \sigma),
\]

где $\sigma$ не зависит от времени. Поэтому $\dot{\psi}$ тоже периодическая функция времени. Уравнение (1.3.31) представляет собой общее решение Флоке для линейного уравнения с периодическими коэффициентами. Дифференцируя (1.3.31) два раза, подставляя результат в (1.3.27) и сокращая $e^{i \psi}$, получаем для действительной и мнимой частей:
\[
\begin{array}{c}
\ddot{w}-w \dot{\psi}^{2}+g(t) w=0, \\
2 \dot{w} \dot{\psi}+w \ddot{\psi}=0 .
\end{array}
\]

Перепишем второе уравнение в виде
\[
\frac{2 \dot{w}}{\omega}+\frac{\ddot{\psi}}{\dot{\psi}}=0,
\]
1) Имеется в виду сохранение не энергии, а площади на фазовой плоскости системы $(x, \dot{x})$. Заметим, что последнее сразу следует из того, что при $f=0$ рассматриваемая система является гамильтоновой (1.3.28) в переменных $x, \dot{x}$. Прим. ред.

или, после интегрирования,
\[
\dot{\psi}=\frac{1}{w^{2}}
\]

Подставляя это соотношение в (1.3.31) и переходя к действительным функциям, находим
\[
x(t)=w(t) \cos \psi(t)
\]

где $\psi=\int_{t_{0}}^{t} d t / w^{2}$. Используя соотношение
\[
\cos ^{2} \psi+\sin ^{2} \psi=1
\]

и выражая $\sin \psi$ и $\cos \psi$ с помощью (1.3.34), получаем инвариант ${ }^{2}$ )
\[
I(x, \dot{x}, t)=\left[w^{-2} x^{2}+(w \dot{x}-\dot{w} x)^{2}\right] .
\]

Хотя явный вид функции $w(t)$ в общем случае неизвестен, но из существования решения следует, что для гамильтониана (1.3.28) всегда существует инвариант I. Подставляя (1.3.33) в (1.3.32a), получаем уравнение для $w:$
\[
\ddot{w}+g(t) w-\frac{1}{w^{3}}=0 .
\]

Решение этого уравнения не проще, чем исходного (1.3.27). Однако Левис [259] заметил, что любое решение (1.3.37) определяет через соотношение (1.3.36) решение (1.3.27) для всех начальных условий. Инвариант (1.3.36) полезен при изучении движения частиц в ускорителях с жесткой фокусировкой [94 ], когда функция $g(t)$ кусочно постоянна и можно явно найти $w(t)$. Точное решение известно также и в случае $g(t)=a+b \cos t$, который приводит к уравнению Матье. Левис [259] показал, что для произвольной функции инвариант (1.3.36) можно построить при помощи теории возмущений.

Отметим, что проведенный выше анализ применим к линейным неавтономным системам с одной степенью свободы, которые соответствуют некоторому специальному классу гамильтонианов с двумя степенями свободы. Так как неавтономные линейные системы второго порядка интегрируемы, то неудивительно, что всегда можно найти соответствующий инвариағт. Попытки Саймона [397] и Левиса и Лича [260] обобщить эти методы на нелинейные системы не привели пока к новым полезным результатам.
1) В общем случае (1.3.33) содержит произвольную постоянную: $\dot{\psi}=$ $=C / w^{2}$; соответственно изменяются и (1.3.36), (1.3.37).- Прим. ред.
2) Этот инвариант, полученный влервые Курантом и Снайдером [94], имеет простой физический смысл сохранения «энергии» в переменных: