В нестационарных полях положение дрейфового резонанса уже зависит от $v_{\|}$(см. ниже), и резонансы возможны при любом $r$. Поскольку ширина этих резонансов значительно превышает размах радиальных колебаний запертых частиц (6.4.15), то диффузия, аналогичная неоклассической, будет определяться теперь резонансами. Эта задача рассматривалась Геллом и др. [152] и, более подробно, Невинсом и др. [316] 2).
Условие резонанса имеет вид
\[
m \omega_{\varphi}\left(r, v_{\sharp}\right)+n \omega_{\psi}\left(r, v_{\sharp}\right)+l \omega=0,
\]

где $\omega$ – частота колебаний поля. Из этого условия (при заданных
1) Приставка «нео» здесь не очень оправдана, поскольку такой механизм диффузии рассматривался Будкером еще в 1951 г. (см. [509], с. 50), хотя разработка полной теории этих процессов «несколько» задержалась [510].Прим. ред.
2) Эта задача впервые рассмотрена Погуце [525] для объяснения аномальной электронной теплопроводности в токамаке.- Прим. ред.

$n, m$ и $l$ ) можно найти положение центра резонанса $\left.r=r\left(v_{\|}, \omega\right)^{1}\right)$. Если при этом имеет место внешняя диффузия частицы по $v_{\text {月 }}$, то резонанс диффундирует по $r$. Пример такой диффузии рассмотрен в п. 6.3б, а ее описание можно свести к отображению.

Рассмотрим переменное поле в виде плоской волны, фаза которой
\[
\theta=\boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{r}-\omega t
\]

где $\boldsymbol{k}$ – волновой вектор. В дрейфовом приближении скорость частицы параллельна магнитной линии, поскольку скорость дрейфа считается малой по сравнению со скоростью частицы. Поэтому скорость изменения фазы волны равна
\[
\frac{d \theta}{d t}=k_{\| 1}(r) v_{\| 1}-\omega,
\]

где $k_{\|}$- проекция волнового вектора на направление магнитного поля.

Построение отображения. Будем использовать для простоты декартову систему координат, в которой $x$ соответствует $r$ (см. рис.6.23); волновой вектор $\boldsymbol{k}=\boldsymbol{k}_{0} \boldsymbol{y}$, а $\boldsymbol{B}(x)$ лежит в плоскости $(y, z)$, причем $B_{y}=0$ при $x=0$. Зависимость $B_{y}(x)$ примем в виде
\[
B_{y}(x)=B \frac{x}{L_{S}},
\]

где $L_{S}$ – некоторая постоянная (для тороидального поля $L_{S}^{-1}=$ $=(R / a) d \mathrm{v} / d r)$. Тогда
\[
k_{\|}(x)=k_{\perp} \frac{x}{L_{S}},
\]

где мы положили приближенно $k_{0}=k_{2}$. Для потенциала волны
\[
\Phi=\Phi_{0} \cos \theta
\]

уравнения движения (6.4.13) можно представить в виде
\[
\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=\frac{c k_{\perp}}{B} \Phi_{0} \sin \theta, \\
\frac{d v_{\|}}{d t}=\frac{e}{M} k_{\|} \Phi_{0} \sin \theta .
\end{array}
\]
1) Обе частоты $\omega_{\varphi}$ и $\omega_{\psi}$ пропорциональны $v_{\text {耳 }}$, и при $l
eq 0$ положение резонанса зависит от $v_{\|}$. В статическом поле $(\omega=0)$ v и $_{\|}$исключается из резонансного условия, и резонанс, казалось бы, не может смещаться по $r$. Это, однако, правильно, за исключением важного частного случая $v_{\|}=0$, когда условие резонанса автоматически выполняется при любом $r$. Фактически в рассматриваемом ниже примере скорость диффузии (6.4.40) вообще не зависит от $\omega$ (при $S \ll 1$ ). В частности, численные данные на рис. 6.25 относятся как раз к диффузии в статическом поле.- Прим. ред.

Вместе с (6.4.18) эти уравнения определяют возмущенное движение частицы в отсутствие столкновений. Из (6.4.18) условие резонанса с центром в точке $x=x_{0}$ имеет вид

Рис. 6.23. Конфигурация полей в модели дреїффовых резонансов.

где $k_{\| 0}=k_{\|}\left(x_{0}\right)$. Невозмущенное движение в центре резонанса соответствует $\theta=0$. Линеар хзуя уравнения движения по $x$ и $v_{\|}$, получаем
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{d t}(\Delta x) & =\frac{c_{\perp}}{B} \Phi_{0} \sin \theta, \\
\frac{d}{d t}\left(\Delta v_{\| 1}\right) & =\frac{e}{M} k_{i \mid 0} \Phi_{0} \sin \theta+\zeta, \\
\frac{d \theta}{d t} & =\frac{k_{\perp}}{L_{S}} v_{i \mid 0} \Delta x+k_{1 \mid 0} \Delta v_{\| 1},
\end{aligned}
\]

где $\Delta x=x-x_{0}, \Delta v_{\|}=v_{\|}-v_{\| 0}$. В уравнение (6.4.25) добавлено случайное изменение скорости $\zeta$, которое учитывает столкновения между частицами. Положим $\langle\zeta\rangle \Rightarrow 0$ и
\[
\frac{d}{d t}-\left\langle\zeta^{2}\right\rangle=\frac{v_{T}^{2}}{\tau_{c}},
\]

где $v_{T}$ – тепловая скорость частицы, а $\tau_{c}$ – среднее время между столкновениями. Согласно (6.4.23) и (6.4.19), это приводит к смещению резонанса по $x$.

Преобразуем уравнения (6.4.24) – (6.4.26) к виду (6.3.28). Для этого исключим $\theta$ из уравнений (6.4.24) и (6.4.25)
\[
\frac{d}{d t}\left(\Delta v_{\|}\right)-\frac{\Omega k_{\| 0}}{k_{\perp}}-\frac{d}{d t}(\Delta x)=\zeta
\]

и введем новую переменную
\[
Y=\Delta v_{\|}-\frac{\Omega k_{\| 0}}{k_{\perp}} \Delta x,
\]

которая описывает только случайный процесс
\[
\dot{Y}=\zeta \text {. }
\]

Выражая $\Delta v_{\|}$через $Y$ и $\Delta x$ из (6.4.29), подставляя в (6.4.26), получаем
\[
\frac{d \theta}{d t}=k_{1 \mid 0} Y+\frac{k_{100}^{2}}{k_{\perp}} \Omega(1+S) \Delta x .
\]

Параметр
\[
S=\frac{k_{1}^{2}}{k_{10}^{2}} \frac{v_{110}}{L_{S} \Omega}
\]

характеризует влияние поперечного градиента магнитного поля («шира»), которое существенно при $S \gg 1$. Путем изменения масштабов
\[
\begin{array}{c}
I=\frac{k_{\| 0}^{2}}{k_{\llcorner}} \Omega(1-+S) \Delta x, \\
P=k_{\| 0} Y
\end{array}
\]

система уравнений (6.4.24), (6.4.31) и (6.4.30) приводится к стандартному виду (6.3.28)
\[
\begin{array}{l}
\frac{d I}{d t}=K \sin \theta, \\
\frac{d \theta}{d t}=I+P, \\
\frac{d P}{d t}=\xi,
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{c}
K=k_{\| 0}^{2} v_{T}^{2}(1+S) \frac{e \Phi_{0}}{T}, \\
\xi=k_{110} \zeta
\end{array}
\]

и положено $T=M v_{T}^{2}$.
Скорость диффузии. Аналогично п. 6.3 коэффициент резонансной диффузии по $I$ определяется соотношением
\[
D_{r}=\frac{\left\langle I^{2}\right\rangle}{2 t}=\frac{\left\langle P^{2}\right\rangle}{2 !}=\frac{1}{2} \frac{k_{110}^{2} v_{T}^{2}}{\tau_{c}} .
\]

Пренебрегая нерезонансной диффузией, получаем для средней скорости диффузии аналогично (6.3.33):
\[
\langle D\rangle=D_{r} f_{r},
\]

где $f_{r}$ – доля резонансных частиц. Считая разброс $v_{\|}$порядка $v_{T}$ и, следовательно, согласно (6.4.33б), разброс $P$ порядка $k_{\| 0} v_{T}$, находим
\[
f_{r} \sim \frac{K^{1}}{k_{\| 0^{0} T}}
\]

что дает
\[
\langle D\rangle=\frac{1}{2} k_{\| 0}^{2} v_{T}^{2}(1+S)^{1 / 2}\left(\frac{e \Phi_{0}}{T}\right)^{1 / 2} / \tau_{c} .
\]

Переходя с помощью (6.4.33a) к переменной $\Delta x$, имеем
\[
D_{x}=\frac{1}{2} \frac{k_{l}^{2}}{k_{110}^{2}(1+S)^{3}=}\left(\frac{e \Phi_{0}}{T}\right)^{1 / 2} \frac{\rho_{L}^{2}}{\tau_{c}} .
\]

Этот результат был получен Невинсом и др. 1316] более формальным методом, не раскрывающим механизма диффузии. Отметим, что выражение (6.4.40) не дае? точного количественного значения коэффициента диффузии ввиду неопределенности оценки (6.4.38). Диффузию такого типа иногда называют псевдоклассической, так как ее скорость (6.4.40), как и для классической диффузии, пропорциональна $\rho_{L}^{2} / \tau_{c}$, но зависит от амплитуды $\Phi_{0}$ резонансной гармоники возмущения.
Сравнение аналитических и численных результатов. В работе Невинса и др. [316] проведено также сравнение с результатами численного моделирования, для которого использовались точные уравнения движения частицы, а столкновения учитывались по методу Монте-Карло. В типичном случае для получения хорошей статистики просчитывались траектории от 500 до 1000 частиц. Было получено разумное согласие с теоретическими зависимостями от различных параметров. Мы приведем здесь два результата.

На рис. 6.24 численные данные $\left(D^{*}\right)$ сравниваются с аналитическим выражением (6.4.40) для $D_{x}$, в которое введен дополнительный множитель. Подгонка дает $D^{*}=0,8 D_{x}$, т. е. согласие хорошее. На рис. 6.25 показана зависимость скорости диффузии от эффективной частоты столкновений

Рис. 6.24. Скорость дрейфовой диффузии $D^{*}$ в зависимости от параметра шира $S$ (по данным работы [316]).
$D_{\text {кл }}=\rho_{L}^{2} / \tau_{\mathrm{c}} ; e \Phi_{0} / T=0,01 ; k_{\|} / k_{\perp}=0,03 ; \omega / k_{\| 0} v_{T}=0,5 ; k_{\perp} \rho_{L}=4,3 \times 10^{-}$. Точки-численные данные (с ошибками); сплошная линия $\rightarrow$ теоретические значсния (6.4.40). умноженные на 0,8 (подгонка, см. текст).

где $v_{c}=1 / \tau_{c}$. Видн плато и иғтересный переходный режим в районе $v_{\text {эфф }} / \omega_{0}=1$ где $\omega_{0}=K^{1 / 2}$ – частота фазовых колебаний на резонансе ${ }^{1}$ ). Скорость диффузии на плато можно определить,
1) Аналогичиые результаты были получены для блигкой, но более простой модели в работе [517] (рис. 5).- Прим. ред.

исходя из простого предположєния, что при $v_{\text {эфф }}>\omega_{0}$ длина дрейфа между столкновениями уменьшается с ростом $v_{\mathrm{c}}$ таким образом, что сохраняется отношение
\[
v_{\text {эфф }} / \omega_{0} \approx 1 .
\]

Используя в (6.4.42) $\omega_{0}=K^{1 / 2}$ из (6.4.35а) и $v_{э ф ф}$ из (6.4.41), на$\left(k_{\|} v_{\tau} \tau_{c}\right)^{-1}$

Рис. 6.25. Скорость дрейфовой диффузии в зависимости от частоты столкновений (по данным работы [316]).
$D_{0}=\left(k_{\|} \tilde{T}_{\mathrm{T}}\right)^{-1}\left(c k_{\perp} \Phi_{0} / B\right)^{2} ; e \Phi_{0} / T=0,08 ; k_{\|} / k_{\perp}=0,2 ; \omega=0 ; k_{\perp} \rho_{L}=4,3 \times 10^{-3}$.
Точки – численные данные (с ошибками); сплошная линия – теоретические значеник $(6.4 .40$ ), умноженные на 1,3 ; пупктирная линия – плато (6.4.43).

үодим $v_{c}$ и подставляем эту величину в (6.4.40). В результате получаем :’зависяций от $v_{c}$ коэффициент диффузии на плато ${ }^{1}$ ):
\[
D_{x}^{i, \pi}=\frac{k_{\perp}^{2}}{k_{\|}^{2}} k_{\| I^{\prime}}\left(\frac{e \Phi_{0}}{T}\right)^{2} \rho_{L}^{2} .
\]
1) При $k_{\|} \rightarrow 0$ эта оценка [как и в (6.4.40)] становится неприменимой в силу тех или иных ограничений. Если, например, рассматриваемая модель справедлива при $\Delta x \leqslant a$, то амплитуда дрейфовых колебаний $\left(k \rho_{L} / k_{\|}\right) \times$ $\times\left(e \Phi_{0} / T\right)^{1 / 2} \leqslant a$ и $D_{x}^{\Pi л} \leqslant \rho_{L} v_{T} k_{\perp} a\left(e \Phi_{0} / T\right)^{3 / 2} \cdot-$ Прим. ред.

Этот результат, полученный в пределе нулевого шира, отличается от результата кинетической теории [358] лишь на числовой множитель, близкий к единице. Заметим, что, хотя соотношение (6.4.42) и является правдоподобным, оно не вытекает из рассматриваемой теории ${ }^{\mathbf{1}}$ ).