При анализе нелинейных задач широко используются методы теории возмущений: вместо исходной динамической системы изучается близкая к ней интегрируемая система, на которую действует «возмущение». Характеризуя различие между этими системами малым параметром $\epsilon$ и располагая невозмущенным решением, мы ищем возмущенное решение в виде разложения по степеням $\epsilon$. Например, в случае слабой нелинейности линейная система интегрируется непосредственно, а возмущенное решение можно получить в виде ряда.

В этой схеме неявно предполагается, что исследуемая система является интегрируемой. Как мы видели в гл. 1, обычно это не так, и большинство многомерных динамических систем не интегрируемы. В таких системах хаотические траектории, связанные с резонансами между различными степенями свободы, занимают конечный фазовый объем, а их распределение среди регулярных траекторий оказывается всюду плотным. Теория возмущений не в состоянии описать всю сложность такого хаотического движения, что формально выражается в расходимости соответствующих рядов.

Даже в случае начальных условий, при которых траектории являются регулярными, имеются трудности при применении теории возмущений. Под действием возмущения регулярные траектории в некоторой окрестности резонансов изменяют свою топологию. Возникает характерная резонансная структура, напоминаюцая «острова», описанные в $\S 1.4$, причем их фазовый объем также конечен. Эти острова являются кмикромирами» исходной возмущенной системы, содержащими сосственные хаотические и регулярные траектории. Обычная теория возмущений не отражает изменения топологии фазового пространства и для описания регулярного движения вблизи определенного резонанса или ограниченной системы резонансов была разработана специальная резонансная теория возмущений. В настоящее время не существует методов, которые позволяли бы находить регулярные траектории с учетом всей иерархии резонансов ${}^{\mathbf{1}}$ ).
1) Это не совсем так. Во-первых, существует техника построения сходящихся рядов, например, в теории КАМ $[11,310,463]$. Кроме того, в последнее время развиваются методы масшгабно-инвариантного описания резонансной структуры (см., например, $[1.7,165,369]$ и $\mathrm{\$}4.4,4.5$ ).- Прим. ред.

Изменение топологии фазового пространства вблизи резонансов, хаотические области и характер движения в них составляют основное содержание последующих глав этой книги. В данной главе мы рассмотрим методы теории возмущений, которые используются для получения решений, «аппроксимирующих» в некотором смысле реальное движение в многомерных нелинейных системах. Решение в форме ряда может приближенно правильно отражать грубые черты истинного движения даже тогда, когда реальная траектория является хаотической или изменяет существенно свою топологию, но при этом целиком содержится в узком слое вблизи сепаратрисы и окружена регулярными траекториями. С другой стороны, теория возмущений не в состоянии дать хотя бы качественное описание хаотического движения в тех областях фазового пространства, где перекрываются основные резонансы.

Если действительная траектория регулярна, то, казалось бы, можно надеяться получить решение в виде равномерно сходящегося ряда. Однако описываемые в этой главе классические ряды, будучи весьма полезными при некоторых теоретических вычислениях, оказываются расходящимися. В классических методах амплитуда и частота колебаний представляются рядами по степеням $\epsilon$ при фиксированных начальных условиях. Поскольку резонансы распределены в пространстве частот всюду плотно, то по мере изменения частоты в высших порядках теории возмущений в дело вступают все новые и новые резонансы. Это обстоятельство приводит к расходимости рядов, которые в лучшем случае оказываются асимптотическими.

Поиск сходящихся решений привел Колмогорова к разработке методов сверхсходящихся разложений [229]. Им же была предложена техника, при которой частота удерживается постоянной, а начальные условия в процессе выполнения разложения изменяются. Это позволило построить сходящиеся ряды для «достаточно малых» возмущений и «достаточно далеко» от резонансов (теория KAM).

Рассмотрение теории возмущений мы начнем с краткого описания некоторых ее методов, используя простые примеры динамических систем и исследуя движение непосредственно по определяющим его дифференциальным уравнениям. Даже для нелинейного осциллятора с одной степенью свободы (интегрируемая система) разложение только амплитуды колебаний в степенной ряд приводит к появлению неограниченно растущих во времени секулярных членов и расходимости. Решая совместные уравнения для амплитуды и частоты колебаний, Линдштедт [278] и Пуанкаре [337] преодолели секулярность и получили сходящиеся ряды. Их техника описана в п. 2.1а и представлена в общей канонической форме в п. 2.2a. Этот материал составляет основу дальнейшего изложения теории возмущений.

В случае двух и более степеней свободы резонансы между основными частотами и их гармониками вызывают дополнительные
сингулярности, связанные с так называемыми мальми знаменателями, что приводит к расходимости классических рядов даже для регулярных решений. Для формального подавления этой расходимости ${}^1$ ) были предложены некоторые методы, в частности метод усреднения. Этот метод дает возможность непосредственно вычислять адиабатические инварианты, которые являются приближенными интегралами движения и получаются путем усреднения по быстрой угловой переменной системы. Адиабатические инварианты определяются формально с помощью асимптотических рядов по параметру возмущения $\epsilon$. Относящиеся сюда приемы описаны в п. 2.16, а их представление в канонической форме дано в § 2.3.

Следует, однако, иметь в виду, что метод усреднения приводит к неверному выводу о том, что возмущенная система всюду интегрируема. Истинное движение, ксторому отвечает структура фазового пространства с перемежающимися областями хаотичности и островами устойчивости, подменяется всюду интегрируемым движением, вытекающим из существования адиабатических инвариантов ${}^2$ ). Будет такое описание «справедливо» или нет, определяется величиной возмущения и той степенью детальности, с которой сравниваются между собой реальное движение и предсказания адиабатической теории. Это обстоятельство подчеркивалось в п. $1.4\mathrm{a}$, где для задачи Хенона и Хейлеса (см. рис. 1.13 и последующее обсуждение) сопоставлены истинные траектории и результаты вычислений с помощью адиабатических инвариантов. Формальная расходимость ${}^3$ ) (для любого конечного $\epsilon$ ) асимптотического ряда, представляющего адиабатический инвариант, является еще одним свидетельством того, что метод усреднения искажает действительную структуру фазового пространства. Тем не менее этот метод весьма полезен при изучении движения в нелинейных системах.

Вблизи резонансов регулярные решения сильно возмущены и претерпевают топологические изменения. В такой ситуации классическая теория возмущений приводит к появлению малых знаменателей и расходимости рядов, как это показано в п. 2.1в. Некоторой специальной заменой переменных эта резонансная сингулярность устраняется, что делает возможным использование обычного метода усреднения. Именно такая резонансная теория возмущений, описанная в § 2.4, составляет основу нашего метода изу-
1) Правильнее было бы сказать — для построения формальных рядов, которые, вообще говоря, расходятся.- Прим. ред.
2) В общем случае более естественно было бы говорить о переменных действия, которые являются приближенными интегралами движения не только для адиабатического (медленного) возмущения, но и просто для малого возмущения. Используемые в тексте термины «адиабатическая теория». «адиабатическое приближение» и т. п. следует понимать именно в таком расширенном смысле.- Прим. ред.
3) Имеется в виду, что асимптотические ряды могут с успехом применяться для анализа движения, хотя они и являются расходящимися. Прим. ред.

чения хаотического движения. Ее детальному рассмотрению посвящены п. 2.4 а и б. В качестве примера подробно исследуется движение в магнитном поле заряженной частицы, взаимодействующей с электростатической волной (см. п. 2.4в). Предложенное в работе [111] обобщение этого метода, позволяющее одновременно избавляться от малых знаменателей целой группы резонансов, описано в п. 2.4 г.

Для простоты изложения все методы рассматриваются лишь в первом порядке по $\epsilon$, а канонические преобразования выполняются с помощью зависящей от смешанного набора переменных производящей функции. Эти методы можно перенести и на более высокие порядки [34], но последовательное распутывание старых и новых переменных становится алгебраически сложным, а соответствующие ряды оказываются громоздкими. Однако высшие приближения часто необходимы, как, например, в задаче Хенона и Хейлеса, где первый порядок теории возмущений дает не̨верный результат даже в предельном случае очень низкой энергии. В $\mathrm{\$}2.5$ мы знакомим читателя с теорией преобразований Ли, которая пришла на смену старым способам получения классических рядов в высоких порядках по $\epsilon$. Методы Ли иллюстрируются на примерах задач с одной степенью свободы и вычисления адиабатических инвариантов высших порядков.

В $\mathrm{\S }2.6$ рассматриваются сверхсходящиеся ряды и проводится сопоставление их с классическими рядами (п. 2.6a). Специальное применение этих методов к вычислению периодических траекторий в нелинейных системах описано в п. 2.6б.