Двумерное отображение задается системой двух разностных уравнений первого порядка. Выпишем здесь еще раз уравнения (3.1.13) для возмущенного отображения поворота, положив для упрощения записи $\varepsilon \equiv 1$ :
\[
\begin{array}{c}
J_{n+1}=J_{n}+f\left(J_{n+1}, \theta_{n}\right), \\
\theta_{n+1}=\theta_{n}+2 \pi \alpha\left(J_{n+1}\right)+g\left(J_{n+1}, \theta_{n}\right),
\end{array}
\]

где $f$ и $g$ — периодические по $\theta$ функции с периодом $2 \pi$ (или иногда для удобства с периодом единица), а число вращения $\alpha=\omega_{1} / \omega_{2}$ определяет изменение фазы $\theta_{1}$ (здесь мы опустили индекс 1) на периоде фазы $\theta_{2}$. Поскольку величины $\alpha, f$ и $g$ записаны как функции переменной $J_{n+1}$ (а не $J_{n}$ ), то симплектический характер отображения выражается в форме простого условия сохранения площади (3.1.16). Отметим, что вовсе не обязательно записывать отображение в переменных действие-угол, примером служит отображение Хенона (3.2.40).
Периодические точки. Отображение (3.1.13) имеет периодическую точку $\boldsymbol{x}_{0}=\left(J_{0}, \theta_{0}\right)$ периода $k$, если
\[
\boldsymbol{x}_{0}=T^{k} \boldsymbol{x}_{0},
\]

причем $\boldsymbol{x}_{0}$ не является периодической точкой меньшего периода. Иначе говоря, первый возврат в начальную точку происходит ровно через $k$ итераций отображения. Для любого $k$ существует счетное множество периодических точек. Они образуют группы, или периодические траектории $\left\{\boldsymbol{x}_{01}, \boldsymbol{x}_{02}, \ldots, \boldsymbol{x}_{0 k}\right\}$, где $\boldsymbol{x}_{0 i}=$ $=T^{l} \boldsymbol{x}_{01}$, а длина каждой траектории равна ее периоду $k$. Система периодических траекторий имеет иерархическую структуру [164].

Для получения всех периодических точек периода $k$ нужно решить $2 k+2$ алгебраических уравнения:
\[
J_{i+1}=J_{i}+f\left(J_{i+1}, \theta_{i}\right), \quad i=1, \ldots ., k,
\]

\[
\begin{aligned}
\theta_{i+1} & =\theta_{i}+2 \pi \alpha\left(J_{i+1}\right)+g\left(J_{i+1}, \theta_{i}\right), \\
J_{k+1} & =J_{1}, \\
\theta_{k+1} & =\theta_{1} \pm 2 \pi m, \quad m=0,1, \ldots .
\end{aligned}
\]

где $m$ — целое число взаимно простое с $k$. За исключением случая $k=1$ и, возможно, $k=2$, решать такую систему уравнений очень трудно не только аналитически, но даже и численно. При больших $k$ простые методы нахождения корней, вроде метода касательных Ньютона, становятся непригодными ввиду близости соседних решений в $(2 k+2)$-мерном пространстве. Специальные вариационные методы, разработанные для решения этой задачи [116, 179,183 ], описаны в § 2.6 .

В случае явного отображения поворота, когда $f$ не зависит от $J$ и $g=0$, последовательные подстановки выражений для $\boldsymbol{x}_{i}$ в выражения для $\boldsymbol{x}_{i+1}$ приводят к уравнениям с двумя неизвестными вида
\[
\begin{array}{l}
f_{1}\left(J_{1}, \theta_{1}\right)=0, \\
f_{2}\left(J_{1}, \theta_{1}\right)=0 .
\end{array}
\]

Но и эти уравнения очень трудно решить при большом $k$ из-за чрезвычайно сложного характера функций $f_{1}$ и $f_{2}$.
Произведение инволюций. Существует важный класс отображений, периодические точки которых можно найти из уравнения с одним неизвестным. Если отображение (или соответствующий гамильтониан) обладает симметрией определенного типа, то его можно представить в виде произведения двух инволюций $[104,166]$
\[
T=I_{2} I_{1} .
\]

По определению отображение инволюции возвращает систему в начальное состояние после двух итераций, т. е.
\[
I_{1}^{2}=I ; \quad I_{2}^{2}=I,
\]

где $I$ — тождественное отображение. Явное отображение поворота можно представить в виде произведения двух инволюций при условии, что функция $f$ антисиммєтрична относительно некоторого угла (для простоты положим этот угол равным нулю). В этом случае отображение $I_{1}$ задается уравнениями:
\[
\begin{array}{c}
\bar{J}=J_{n}+f\left(\theta_{n}\right), \\
\bar{\theta}=-\theta_{n},
\end{array}
\]

а отображение $I_{2}$ есть
\[
\begin{array}{c}
J_{n+1}=\bar{J}, \\
\theta_{n+1}=-\bar{\theta}+2 \pi \alpha(\bar{J}) .
\end{array}
\]

Использование инволюций чрезвычайно облегчает нахождение периодических точек. В самом деле, так как все точки отображения
инволюции имеют период 2 , то особыми могут быть лишь неподвижные точки (с периодом 1). А такие точки легко можно найти. Например, отображение $I_{1}$ имеет следующие линии неподвижных точек $\boldsymbol{x}_{1}$ :
\[
\theta_{1}=0, \pi, \quad \bmod 2 \pi
\]

независимо от значения $J_{1}$, а $I_{2}$ имеет линии неподвижных точек $\boldsymbol{x}_{2}$ при
\[
2 \theta_{2}=2 \pi \alpha\left(J_{2}\right), \quad \bmod 2 \pi .
\]

Используя (3.3.34) и (3.3.35), можно показать, что если как $\boldsymbol{x}$, так и $T^{n} \boldsymbol{x}$ являются неподвижными точками отображения $I_{1}$ (или $I_{2}$ ), то $\boldsymbol{x}$ является также и неподвижной точкой отображения $T^{2 n}$. В § 3.4 мы воспользуемся этим методом для определения периодических точек отображения Улама. Грин использовал этот метод для нахождения периодических точек большого периода в случае стандартного отображения [165] и в задаче Хенона-Хейлеса [166]. В обоих случаях отображение, а значит, и нечетная степень отображения представимы в виде произведения инволюций. Поэтому периодические точки этих отображений можно найти рассмотренным методом. Так, например, отображение $T^{3}$ можно представить в виде произведения двух инволюций следующим образом:
\[
T^{3}=\left(I_{2} I_{1} I_{2}\right)\left(I_{1} I_{2} I_{1}\right) .
\]

Линеаризованное отображение. Разложим от ображение вокруг периодической траектории периода $k$ :
\[
x_{01} \rightarrow x_{02} \rightarrow \ldots \rightarrow x_{0 k} \rightarrow x_{01}
\]

и найдем линеаризованные уравнения движения в окрестности точки $\boldsymbol{x}_{01}$ :
\[
\Delta x_{n+k}=\mathrm{M}\left(x_{0 k}\right) \cdot \Delta x_{n+k-1}=\mathrm{M}\left(x_{0 k}\right) \cdot \mathrm{M}\left(x_{0, k-1}\right) \cdot \Delta x_{n+k-2}
\]

и т. д. или
\[
\Delta \boldsymbol{x}_{n+k}=\mathrm{A}_{1} \cdot \Delta \boldsymbol{x}_{n} .
\]

Здесь
\[
\mathrm{A}_{1}=\mathrm{M}\left(x_{0 k}\right) \cdot \mathrm{M}\left(x_{0}, k-1\right) \cdots \mathrm{M}\left(x_{01}\right)
\]
— упорядоченное произведение $k$ матриц $\mathbf{M}_{i}=\mathbf{M}\left(\boldsymbol{x}_{0 i}\right)$, взятых в последовательных точках периодической траектории, каждая из которых
\[
\mathbf{M}(\boldsymbol{x})=\left(\begin{array}{ll}
\frac{\partial J_{n+1}}{\partial J_{n}} & \frac{\partial J_{n+1}}{\partial \theta_{n}} \\
\frac{\partial \theta_{n+1}}{\partial J_{n}} & \frac{\partial \theta_{n+1}}{\partial \theta_{n}}
\end{array}\right)
\]

есть матрица Якоби отображения. В окрестности точки $x_{0 i}$ аналогичным образом приходим к выражению
\[
A_{i}=M_{i-\mathbf{1}} \cdot M_{i-2} \cdots M_{i},
\]

которое получается из $\mathbf{A}_{1}$ циклической перестановкой матриц.
Для возмущенного отображения поворота матрицу $\mathbf{M}$ можно получить путем подстановки выражения (3.1.13а) для $J_{n+1}$ в (3.1.13б), откуда ( $\varepsilon=1$ )
\[
\begin{array}{c}
M_{11}=\left(1-\frac{\partial f}{\partial \vec{J}}\right)^{-1} ; \quad M_{12}=M_{11} \frac{\partial f}{\partial \theta} ; \\
M_{21}=M_{11}\left(2 \pi \frac{d \alpha}{d \bar{J}}+\frac{\partial g}{\partial \vec{J}}\right) ; \\
M_{22}=1+M_{21} \frac{\partial f}{\partial \theta}+\frac{\partial g}{\partial \theta} .
\end{array}
\]

Здесь $\theta=\theta_{n}, \bar{J}=J_{n+1}$, а якобиан отображения
\[
\operatorname{det} \mathbf{M}=\left(1+\frac{\partial g}{\partial \theta}\right) /\left(1-\frac{\partial f}{\partial \bar{J}}\right)
\]

определяет изменение фазовой площади. Полагая $\operatorname{det} M=1$, получаем условие сохранения плошади (3.1.16).

Для неподвижной точки $A_{1}=\mathbf{M}_{1}$ и движение в ее окрестноєти определяется матрицей $\mathbf{M}_{1}$. В случае же периодической точки с периодом, бо́льшим 1, собственные значения и собственные векторы находятся из уравнения
\[
\mathrm{A}_{1} \cdot \boldsymbol{x}=\lambda \boldsymbol{x}
\]

для движения вблизи точки $\boldsymbol{x}_{01}$ или из уравнения
\[
\mathrm{A}_{2} \cdot y=\lambda y
\]

для движения вблизи точки $\boldsymbol{x}_{02}$ и т. д. Однако подстановка $\mathrm{A}_{2}=$ $=\mathbf{M}_{1} \cdot \mathbf{A}_{1} \cdot \mathbf{M}_{1}^{-1}$ в уравнение (3.3.49) приводит его к уравнению (3.3.48) с $\boldsymbol{y}=\mathbf{M}_{\mathbf{1}} \cdot \boldsymbol{x}$. По индукции аналогичным образом связаны также любые $\mathbf{A}_{i}$ и $\mathbf{A}_{i-1}$. Отсюда следует, что собственные значения и условия устойчивости одинаковы для всех точек одной периодической траектории. Собственные же векторы для точки $\boldsymbol{x}_{0 i}$ выражаются посредством соотношения
\[
x_{i}=\mathrm{M}_{i-1} \cdot \mathrm{M}_{i-2} \cdots \mathrm{M}_{1} \cdot \boldsymbol{x}_{1}
\]

через собственные векторы точки $\boldsymbol{x}_{01}$.