Двумерное отображение задается системой двух разностных уравнений первого порядка. Выпишем здесь еще раз уравнения (3.1.13) для возмущенного отображения поворота, положив для упрощения записи $\epsilon \equiv 1$ :
$$\begin{array}{c}{J}_{n+1}=J_n+f(J_{n+1},{\theta }_n),\\ {\theta }_{n+1}={\theta }_n+2\pi \alpha \left(J_{n+1}\right)+g(J_{n+1},{\theta }_n),\end{array}$$

где $f$ и $g$ — периодические по $\theta$ функции с периодом $2\pi$ (или иногда для удобства с периодом единица), а число вращения $\alpha ={\omega }_1/{\omega }_2$ определяет изменение фазы ${\theta }_1$ (здесь мы опустили индекс 1) на периоде фазы ${\theta }_2$. Поскольку величины $\alpha ,f$ и $g$ записаны как функции переменной $J_{n+1}$ (а не $J_n$ ), то симплектический характер отображения выражается в форме простого условия сохранения площади (3.1.16). Отметим, что вовсе не обязательно записывать отображение в переменных действие-угол, примером служит отображение Хенона (3.2.40).
Периодические точки. Отображение (3.1.13) имеет периодическую точку ${\mathit{x}}_0=(J_0,{\theta }_0)$ периода $k$, если
$${\mathit{x}}_0=T^k{\mathit{x}}_0,$$

причем ${\mathit{x}}_0$ не является периодической точкой меньшего периода. Иначе говоря, первый возврат в начальную точку происходит ровно через $k$ итераций отображения. Для любого $k$ существует счетное множество периодических точек. Они образуют группы, или периодические траектории $\{{\mathit{x}}_{01},{\mathit{x}}_{02},\dots ,{\mathit{x}}_{0k}\}$, где ${\mathit{x}}_{0i}=$ $=T^l{\mathit{x}}_{01}$, а длина каждой траектории равна ее периоду $k$. Система периодических траекторий имеет иерархическую структуру [164].

Для получения всех периодических точек периода $k$ нужно решить $2k+2$ алгебраических уравнения:
$$J_{i+1}=J_i+f(J_{i+1},{\theta }_i),i=1,\dots .,k,$$

$$\begin{array}{rl}{\theta }_{i+1}& ={\theta }_i+2\pi \alpha \left(J_{i+1}\right)+g(J_{i+1},{\theta }_i),\\ J_{k+1}& =J_1,\\ {\theta }_{k+1}& ={\theta }_1\pm 2\pi m,m=0,1,\dots .\end{array}$$

где $m$ — целое число взаимно простое с $k$. За исключением случая $k=1$ и, возможно, $k=2$, решать такую систему уравнений очень трудно не только аналитически, но даже и численно. При больших $k$ простые методы нахождения корней, вроде метода касательных Ньютона, становятся непригодными ввиду близости соседних решений в $(2k+2)$-мерном пространстве. Специальные вариационные методы, разработанные для решения этой задачи [116, 179,183 ], описаны в § 2.6 .

В случае явного отображения поворота, когда $f$ не зависит от $J$ и $g=0$, последовательные подстановки выражений для ${\mathit{x}}_i$ в выражения для ${\mathit{x}}_{i+1}$ приводят к уравнениям с двумя неизвестными вида
$$\begin{array}{l}{f}_1(J_1,{\theta }_1)=0,\\ f_2(J_1,{\theta }_1)=0.\end{array}$$

Но и эти уравнения очень трудно решить при большом $k$ из-за чрезвычайно сложного характера функций $f_1$ и $f_2$.
Произведение инволюций. Существует важный класс отображений, периодические точки которых можно найти из уравнения с одним неизвестным. Если отображение (или соответствующий гамильтониан) обладает симметрией определенного типа, то его можно представить в виде произведения двух инволюций $[104,166]$
$$T=I_2{I}_1.$$

По определению отображение инволюции возвращает систему в начальное состояние после двух итераций, т. е.
$$I_1^2=I;I_2^2=I,$$

где $I$ — тождественное отображение. Явное отображение поворота можно представить в виде произведения двух инволюций при условии, что функция $f$ антисиммєтрична относительно некоторого угла (для простоты положим этот угол равным нулю). В этом случае отображение $I_1$ задается уравнениями:
$$\begin{array}{c}\overline{J}=J_n+f\left({\theta }_n\right),\\ \overline{\theta }=-{\theta }_n,\end{array}$$

а отображение $I_2$ есть
$$\begin{array}{c}{J}_{n+1}=\overline{J},\\ {\theta }_{n+1}=-\overline{\theta }+2\pi \alpha (\overline{J}).\end{array}$$

Использование инволюций чрезвычайно облегчает нахождение периодических точек. В самом деле, так как все точки отображения
инволюции имеют период 2 , то особыми могут быть лишь неподвижные точки (с периодом 1). А такие точки легко можно найти. Например, отображение $I_1$ имеет следующие линии неподвижных точек ${\mathit{x}}_1$ :
$${\theta }_1=0,\pi ,mod2\pi$$

независимо от значения $J_1$, а $I_2$ имеет линии неподвижных точек ${\mathit{x}}_2$ при
$$2{\theta }_2=2\pi \alpha \left(J_2\right),mod2\pi .$$

Используя (3.3.34) и (3.3.35), можно показать, что если как $\mathit{x}$, так и $T^n\mathit{x}$ являются неподвижными точками отображения $I_1$ (или $I_2$ ), то $\mathit{x}$ является также и неподвижной точкой отображения $T^{2n}$. В § 3.4 мы воспользуемся этим методом для определения периодических точек отображения Улама. Грин использовал этот метод для нахождения периодических точек большого периода в случае стандартного отображения [165] и в задаче Хенона-Хейлеса [166]. В обоих случаях отображение, а значит, и нечетная степень отображения представимы в виде произведения инволюций. Поэтому периодические точки этих отображений можно найти рассмотренным методом. Так, например, отображение $T^3$ можно представить в виде произведения двух инволюций следующим образом:
$$T^3=\left(I_2{I}_1{I}_2\right)\left(I_1{I}_2{I}_1\right).$$

Линеаризованное отображение. Разложим от ображение вокруг периодической траектории периода $k$ :
$$x_{01}\to x_{02}\to \dots \to x_{0k}\to x_{01}$$

и найдем линеаризованные уравнения движения в окрестности точки ${\mathit{x}}_{01}$ :
$$\mathrm{\Delta }{x}_{n+k}=\mathrm{M}\left(x_{0k}\right)\cdot \mathrm{\Delta }{x}_{n+k-1}=\mathrm{M}\left(x_{0k}\right)\cdot \mathrm{M}\left(x_{0,k-1}\right)\cdot \mathrm{\Delta }{x}_{n+k-2}$$

и т. д. или
$$\mathrm{\Delta }{\mathit{x}}_{n+k}={\mathrm{A}}_1\cdot \mathrm{\Delta }{\mathit{x}}_n.$$

Здесь
$${\mathrm{A}}_1=\mathrm{M}\left(x_{0k}\right)\cdot \mathrm{M}(x_0,k-1)\cdots \mathrm{M}\left(x_{01}\right)$$
— упорядоченное произведение $k$ матриц ${\mathbf{M}}_i=\mathbf{M}\left({\mathit{x}}_{0i}\right)$, взятых в последовательных точках периодической траектории, каждая из которых
$$\mathbf{M}(\mathit{x})=\left(\begin{array}{ll}\frac{\partial J_{n+1}}{\partial J_n}& \frac{\partial J_{n+1}}{\partial {\theta }_n}\\ \frac{\partial {\theta }_{n+1}}{\partial J_n}& \frac{\partial {\theta }_{n+1}}{\partial {\theta }_n}\end{array}\right)$$

есть матрица Якоби отображения. В окрестности точки $x_{0i}$ аналогичным образом приходим к выражению
$$A_i=M_{i-\mathbf{1}}\cdot M_{i-2}\cdots M_i,$$

которое получается из ${\mathbf{A}}_1$ циклической перестановкой матриц.
Для возмущенного отображения поворота матрицу $\mathbf{M}$ можно получить путем подстановки выражения (3.1.13а) для $J_{n+1}$ в (3.1.13б), откуда ( $\epsilon =1$ )
$$\begin{array}{c}{M}_{11}={(1-\frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{J}})}^{-1};M_{12}=M_{11}\frac{\partial f}{\partial \theta };\\ M_{21}=M_{11}(2\pi \frac{d\alpha }{d\overline{J}}+\frac{\partial g}{\partial \overrightarrow{J}});\\ M_{22}=1+M_{21}\frac{\partial f}{\partial \theta }+\frac{\partial g}{\partial \theta }.\end{array}$$

Здесь $\theta ={\theta }_n,\overline{J}=J_{n+1}$, а якобиан отображения
$$\det \mathbf{M}=(1+\frac{\partial g}{\partial \theta })/(1-\frac{\partial f}{\partial \overline{J}})$$

определяет изменение фазовой площади. Полагая $\det M=1$, получаем условие сохранения плошади (3.1.16).

Для неподвижной точки $A_1={\mathbf{M}}_1$ и движение в ее окрестноєти определяется матрицей ${\mathbf{M}}_1$. В случае же периодической точки с периодом, бо́льшим 1, собственные значения и собственные векторы находятся из уравнения
$${\mathrm{A}}_1\cdot \mathit{x}=\lambda \mathit{x}$$

для движения вблизи точки ${\mathit{x}}_{01}$ или из уравнения
$${\mathrm{A}}_2\cdot y=\lambda y$$

для движения вблизи точки ${\mathit{x}}_{02}$ и т. д. Однако подстановка ${\mathrm{A}}_2=$ $={\mathbf{M}}_1\cdot {\mathbf{A}}_1\cdot {\mathbf{M}}_1^{-1}$ в уравнение (3.3.49) приводит его к уравнению (3.3.48) с $\mathit{y}={\mathbf{M}}_{\mathbf{1}}\cdot \mathit{x}$. По индукции аналогичным образом связаны также любые ${\mathbf{A}}_i$ и ${\mathbf{A}}_{i-1}$. Отсюда следует, что собственные значения и условия устойчивости одинаковы для всех точек одной периодической траектории. Собственные же векторы для точки ${\mathit{x}}_{0i}$ выражаются посредством соотношения
$$x_i={\mathrm{M}}_{i-1}\cdot {\mathrm{M}}_{i-2}\cdots {\mathrm{M}}_1\cdot {\mathit{x}}_1$$

через собственные векторы точки ${\mathit{x}}_{01}$.