Показатели Ляпунова играют важную роль в теории гамильтоновых и диссипативных динамических систем. Они дают вычислимую количественную меру степени стохастичности. Помимо этого, существует тесная связь между показателями Ляпунова и другими характеристиками случайности, такими, как энтропия Колмогорова (п. 5.2в) или фрактальная размерность (п. 7.1в).

Грубо говоря, показатели Ляпунова характеризуют среднюю скорость экспоненциальной расходимости близких траекторий. Такая характеристика стохастичности была введена Хеноном и Хейлесом [188 [ ${ }^{2}$ ) и в дальнейшем исследовалась Заславским и Чириковым [444 ], Фрёшле и Шейдекером [141-143] и Фордом [133].

Теория показателей Ляпунова [262] использовалась для анализа стохастического движения Оселедецем [323]. Связь показателей Ляпунова с энтропией Колмогорова рассматривалась Бенеттином и др. [19] и была установлена Песиным [334 ]. Метод вычисления показателей Ляпунова развит Бенеттином и др. [20] и описан в §5.3. Здесь же мы обсудим их свойства, следуя в основном
1) Все эти разнообразные случаи охватываются общим понятием эргоди* ческой компоненты движения. Под эргодичностью же в физике понимается, как показывает само название, эргодичность на энергетической поверхности.- Прим. ред.
2) Речь идет об использовании этого свойства в численных экспериментах. Общие соображения о связи случайности с экспоненциальной неустойчивостью движения высказывались еще Пуанкаре [489]; эта связь была строго доказана в работах Хедлунда [490] и Хопфа [491] и широко использовалась Крыловым [241].- Прим. ред.

работам Бенеттина и др. [18-20]. Математические доказательства можно найти в цитированной литературе.
Пусть динамическая система задана уравнениями

Pис. 5.2. Характеристические показэтели Ляпунова (по данным работы [18]).
$\boldsymbol{a}$ – две близкие расходяциеся траектории; $\boldsymbol{w}(t)=\Delta \boldsymbol{x}(t)-$ касательный вектор; $6-$ касательное пространство, построенное на собственных векторах $e_{1}$ и $e_{2}$ с гоказателями Ляпунова $\sigma_{1}$ и $\sigma_{2}$; для любого вектора $\boldsymbol{w}$, непараллельного $e_{2}, \sigma\left(\boldsymbol{w}_{0}\right)=\sigma_{1}$, а для $\boldsymbol{w}$, параллельного $e_{2}, \sigma\left(\boldsymbol{w}_{0}\right)=\sigma_{2}<\sigma_{1}$.

Рассмотрим две близкие траектории с начальными условиями $\boldsymbol{x}_{0}$ и $\boldsymbol{x}_{0}+\Delta \boldsymbol{x}_{0}$ (рис. 5.2,a). Их временна́я эволюция задает касательный вектор $\Delta \boldsymbol{x}\left(\boldsymbol{x}_{0}, t\right)$ с длиной
\[
d\left(x_{0}, t\right)=\left|\Delta \boldsymbol{x}\left(x_{0}, t\right)\right| .
\]

Для удобства введем обозначение $w=\Delta \boldsymbol{x}$. Динамику $\boldsymbol{w}$ можно определить, линеаризуя уравнения (5.2.6):
\[
\frac{d w}{d t}=\mathbf{M}(\boldsymbol{x}(t)) \cdot w,
\]

где
\[
\mathrm{M}=\frac{\partial V}{\partial x}
\]
– матрица Якоби для $V$. Введем среднюю скорость экспоненциальной расходимости близких траекторий:
\[
\sigma\left(x_{0}, w_{0}\right)=\lim _{\substack{t \rightarrow \infty \\ d(0) \rightarrow 0}} \frac{1}{t} \ln \frac{d\left(x_{0}, t\right)}{d\left(x_{0}, 0\right)} .
\]

Можно показать, что предел скорости $\sigma$ существует и она ограничена. Далее, существует полная система $M$ фундаментальных решений $\left\{\boldsymbol{e}_{i}\right\}$ уравнений (5.2.7a), для каждого из которых скорость $\sigma$ имеет определенное (вообще говоря, различное) значение:
\[
\sigma_{i}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)=\sigma\left(\boldsymbol{x}_{0}, \boldsymbol{e}_{i}\right) .
\]

Это и есть характеристические показатели Ляпунова. Они не зависят от выбора метрики фазового пространства [323], и их можно упорядочить по величине: $\sigma_{1} \geqslant \sigma_{2} \geqslant \ldots \geqslant \sigma_{M}$.

В частном случае периодической траектории уравнения (5.2.7) задают некоторое линейное отображение на периоде $\tau$, которое можно записать в виде
\[
w_{n+1}=\mathrm{A} \cdot w_{n} .
\]

Қак было показано в $\S 3.3$, матрица А имеет $M$ собственных значений, вообще говоря, комплексных:
\[
\left|\lambda_{1}\right| \geqslant\left|\lambda_{2}\right| \geqslant \ldots \geqslant\left|\lambda_{M}\right| .
\]

Обозначим соответствующие собственные векторы через $\boldsymbol{e}_{i}$. Тогда для $w_{0}=e_{i}$ из (5.2.10) следует
\[
w_{n}=\lambda_{i}^{n} e_{i} .
\]

Отсюда, согласно (5.2.8), получаем
\[
\sigma\left(e_{i}\right)=\frac{1}{\tau} \ln \left|\lambda_{i}\right|=\sigma_{i} .
\]

Кроме того, из (5.2.11) следует, что для
\[
w_{0}=c_{2} e_{1}+\ldots+c_{M} e_{M}
\]

динамика вектора $w_{n}$ определяется первым ненулевым коэффициентом $c_{i}$. Если, например, $c_{1}
eq 0$, то $\sigma\left(w_{0}\right)=\sigma_{1}$, а если $c_{1}=0$, но $c_{2}
eq 0$, то $\sigma\left(w_{0}\right)=\sigma_{2}$ и т. д. Нначе говоря, каждый показатель Ляпунова определяет скорость $\sigma$ в некотором подпространстве с размерностью на единицу меньшей, чем предыдущий. Следовательно, для почти всех $w$ значение $\sigma=\sigma_{1}$. Это свойство иллюстрируется на рис. 5.2 , б.

Обобщение понятий собственных значений и собственных векторов на непериодические траектории было дано Оселедецем [323]. Возможность такого обобщения связана с тем, что непериодические траектории можно приближать периодическими с достаточно большим периодом.

Для любой непрерывной траектории, заданной дифференциальными уравнениями [например, (5.2.6)], по крайней мере один из показателей Ляпунова, соответствующий собственному вектору вдоль траектории, равен нулю. В случае гамильтоновой системы показатели обладают следующей симметрией:
\[
\sigma_{i}=-\sigma_{2 N-i+1},
\]

где $2 N=M$, а $N$ – число степеней свободы. Для периодической траектории это соотношение можно получить из симметрии собственных значений (3.3.21). Отсюда вытекает, в частности, что у гамильтоновой системы по крайней мере два показателя Ляпунова равны нулю. Однако на энергетической поверхности ( $M=2 N-1$ ) один из них, соответствующий смещению перпендикулярно поверхности, отсутствует.
Обобщенные показатели Ляпунова. Показатели Ляпунова для векторов $w$ называют также показателями первого порядка. Оселедец [323] обобщил это понятие ${ }^{1}$ ) для описания средней скорости экспоненциального роста $p$-мерного объема $V_{p}$, построенного на векторах $w_{1}, \ldots, w_{p}(p \leqslant M)$. Тогда величина
\[
\sigma^{(p)}\left(x_{0}, V_{p}\right)=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \ln \frac{V_{p}\left(x_{0}, t\right)}{V_{p}\left(x_{0}, 0\right)}
\]

есть показатель Ляпунова порядка $p$. Оселедец [323], а также Бенеттин и др. [20] показали, что $\sigma^{(p)}\left(\boldsymbol{x}_{0}, V_{p}\right)$ выражается через сумму $p$ показателей первого порядка. Аналогично тому как для почти всех $w$ справедливо соотношение $\sigma\left(\boldsymbol{x}_{0}, w\right)=\sigma_{1}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)$, так и для почти всех $V_{p}$ величина $\sigma^{(p)}$ определяется суммой $p$ наибольших показателей
\[
\sigma^{(p)}=\sigma_{1}+\sigma_{2}+\ldots .+\sigma_{p} .
\]

Это соотношение используется для численного определения пока-
1) Обобщенные показатели Ляпунова использовались и ранее, см., например, [378, 496].-Прим. ред.

зателей Ляпунова (см. § 5.3). При $p=M$ получаем среднюю скорость экспоненциального роста фазового объема:
\[
\sigma^{(M)}=\sum_{i=1}^{M} \sigma_{i}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)
\]

Для системы с инвариантной мерой (в частности, для гамильтоновых систем)
\[
\sum_{i=1}^{M} \sigma_{i}\left(x_{0}\right)=0
\]

в то время как для диссипативной системы эта сумма должна быть отрицательной (см. § 7.1).
Отображения. В случае $M$-мерного отображения
\[
\boldsymbol{x}_{n+1}=\boldsymbol{F}\left(\boldsymbol{x}_{n}\right)
\]

выражение для $\sigma^{\text {oт }}$ получается из (5.2.8) заменой $t$ на $n$. Вместо этого можно ввести собственные значения $\lambda_{i}(n)$ матрицы
\[
\mathbf{A}_{n}=\left[\mathrm{M}\left(x_{n}\right) \cdot \mathrm{M}\left(\boldsymbol{x}_{n-1}\right) . . \mathrm{M}\left(x_{1}\right)\right]^{1 / n},
\]

где $\boldsymbol{M}=\partial \boldsymbol{F} / \partial \boldsymbol{x}$ – матрица Якоби для $\boldsymbol{F}$. Тогда показатели Ляпунова равны
\[
\sigma_{i}^{\text {oT }}=\lim _{n \rightarrow \infty} \ln \left|\lambda_{i}(n)\right| .
\]

Показатели Ляпунова для ( $M-1$ )-мерного отображения на поверхности сечения Пуанкаре пропорциональны показателям для непрерывной траектории в $M$-мерном фазовом пространстве:
\[
\sigma_{i}^{\text {oT }}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)=\bar{\tau} \sigma_{i}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right),
\]

где $i=1, \ldots, M-1$ («лишний» показатель для траектории равен нулю). Коэффициент пропорциональности $\vec{\tau}$ равен среднему интервалу времени между последовательными прохождениями траектории через поверхность сечения. В случае автономной гамильтоновой системы $(M=2 N)$ размерность отображения есть $M-2$, и, таким образом, исключаются сба нулевых показателя исходной системы.