Обсудим теперь различные гипотезы относительно механизма перехода от регулярного течения к гидродинамической турбулентности. За исключением самой рағней гипотезы Ландау [251], все предложенные механизмы связаны с конечномерными моделями. Имеющиеся экспериментальные данные не позволяют сделать определенного выбора между модєлями, поскольку в опытах часто присутствуют черты разных механизмов. Наше описание возникновения турбулентности базируется на обзорах Хеллемана [180], Отта [324] и Экмана [112].

Хотя явление турбулентности известно уже сотни лет, детальные измерения характеристик потока вблизи перехода были выполнены только в последнее десятилетие ${ }^{3}$ ). Возникновению турбулентного режима движения обычно предшествует возбужденне
1) Точнее конечное число мод деижения полностью определяет и все остальные моды (см. также работу [545]). Физически это связано с сильным затуханием высоких мод, которые, таким образом, просто повторяют с уменьшенной амплитудой колебания основных моди имеют, в частности, тот же тип спектра (дискретный или непрерывный). Иначе можно сказать, что движение на аттракторе вообще имеет конечное число мод, однако эти моды не совпадают с невозмущенными модами приближения Галёркина. Отсюда следует также, что движение имеет только конечное число положительных показателей Ляпунова. Отметим, что конечномерность аттрактора (гипотеза Хопфа [546]) доказана только для двумерного течения $[131,545]$, тогда как в трехмерном случае это принимается в работе [132] в качестве гипотезы. Прим. ред.
2) Грубые априорные оценки получены в упомянутой работе [132] и их можно представить в виде $N_{2} \sim \mathrm{Re}^{3} \sim N_{3}^{1 / 3}$, где $\mathrm{Re}-$ число Рейнольдса. Јднако эти оценки (как и критерий в работе [412]) являются лишь достагочными и, вообще говоря, весьма неэффективными. Например, в случае днородной турбулентности они существенно превосходят естественную ценку числа степеней свободы по Ландау н Лифшицу [539]: $N_{2} \sim \mathrm{Re}^{3 / 2} \sim N_{3}^{2 / 3}$. Это хорошо согласуется также с полученной недавно строгой оценкой снизу необходимой): $N_{2} \sim \operatorname{Re}$ [560]. В любом случае такие оценки указывают ға существенный дефект используемых конечномерных моделей турбулентюсти, число степеней свободы которых фиксировано, а параметры изменяются.- Прим. ред.
${ }^{3}$ ) Это краткое замечание предстазляет обширные многолетние исследоıния турбулентности весьма однобоко (см., например, работы [535, 536]). 3 последнее время, особенно после нашумевшей работы Рюэля и Тэкенса 355 ], действительно были проведены некоторые специальные эксперименты, ногда, кстати сказать, весьма посгешно (см. примечание редактора на $\therefore 483$ ), по проверке ряда новых гипотез (см. ниже).- Прим. ред.

колебаний одной или нескольких независимых частот и их гармоник, а иногда и субгармоник. Основные эксперименты по детальному исследованию перехода к турбулентности относятся к различным вариантам конвекции Рэлея – Бенара, а также вихрей Тейлора, возникающих в слое жидкости между вращающимися цилиндрами (так называемое круговое течение Куэтта). Эти примеры мы и используем ниже при сравнении с различными гипотезами о механизме возникновения турбулентности.

Первоначальная картина вознхкновения турбулентности, предложенная Ландау, была основана на представлении об иерархии неустойчивостей. При увеличении некоторого параметра, например числа Рейнольдса или числа Рэлея, нелинейные колебания жидкости теряют устойчивость и появляются все новые и новые независимые частоты движения $\omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3} \ldots$. При этом должно наблюдаться квазипериодическое движение с одной, двумя, тремя и т. д. основными частотами. Таким образом, мы приходим к последовательности бифуркаций Хопфа, т. е. к движению по поверхности некоторого тора возрастающей размерности. Движение выглядит все более и более сложным, однако непрерывный спектр и хаотическое движение возникают лишь при бесконечном числе бифуркаций. Модель Ландау представлена схематически в табл. 7.2.

Хотя в экспериментах и наблюдается до четырех [158] независимых частот, резкий переход к непрерывному спектру не согласуется с моделью Ландау ${ }^{1}$ ). Помимо этого, теоретически было показано (см. работу [I12]), что последовательность бифуркаций Хопфа, как и само квазипериодическое движение, не являются типичными. Судя по рассмотренным выше примерам резкого ${ }^{2}$ ) возникновения непрерывного спектра, связанного с образованием странного аттрактора, можно ожидать, что именно такой механизм
1) Поучительно отметить, что эта «квазипериодическая» модель турбулентности была очевидно навеяна аналогиями с квантовой механикой. Вот соответствующая цитата из оригинальной работы Ландау [251]:
«Задача об определении возможных значений «частот» $\Omega$ при данных граничных условиях движения представляет собой Eigenwert-проблему. В результате ее решения должен получиться спектр «собственных частот». .. Можно предполагать, что частоты непрерывного спектра соответствуют движениям $\boldsymbol{v}_{1}$ [возмущение], не затухающим на бесконечности [в пространстве], а частоты дискретного спектра – движениям, достаточно быстро затухающим на бесконечности (подобно тому, как это имеет место во многих других Eigenwert-проблемах) . .. Сооэветственно этому ниже мы можем рассматривать только «частоты» $\Omega$ дискретного спектра».
В квантовой механике это действительно так.- Прим. ред.
2) Представление о «резком» переходе к хаотическому движению является условным. Так, например, в механизме бифуркаций удвоения хаотический аттрактор появляется в критической сочке ( $C=C_{\infty}$ ) лишь номинально, поскольку мощность хаотической компоненты движения в этой точке равна нулю и плавно возрастает в результате обратных бифуркаций (см., например, рис. 7.22).- Прим. ред.

Таблица 7.2. Модели и механизмы перехода к турбулентности

и послужит основой построения современной теории турбулентности, как это и оказывается в действительности.

Рюэль и Тэкенс [355] предложили другой механизм возникновения турбулентности, согласно ксторому сначала происходят две последовательные бифуркации Хопфа, как и в модели Ландау, однако затем нелинейность разрушает трехчастотное движение и образуется «странный» аттрактор (табл. 7.2). По первоначальной гипотезе требовалась размерность потока не менее четырех. Предположение о неустойчивости трехчастотного аттрактора в типичном случае было позднее доказано, а минимальная размерность сокращена до трех [317] 1).

Модель Рюэля-Тэкенса исследовалась численно на примере простого двумерного отображения [100]. Были обнаружены переходы от устойчивого фокуса к предельному циклу, затем к двухчастотному движению и, наконец, к странному аттрактору. В этой связи важно отметить, что в отличие от модели Лоренца с тремя модами в модели конвекции Рэлея-Бенара, использующей 14 мод, также обнаружен квазипериодический аттрактор на некоторой двумерной поверхности в 14-мерном фазовом пространстве [98].
1) Хотя работа [355] оказала фактически заметное влияние на развитие как теоретических, так и экспериментальных исследований по турбулентности, предложенный ее авторами конкретный механизм хаоса, связанный с резонансами высоких гармоник, представляется слишком «нежным» для такого «грубого» явления, как гидродлнамическая турбулентность. Что же касается минимальной размерности потока, то этот вопрос был выяснен еще в классической работе Лоренца [283] (см. также работу [533]).- Прим. ред.

Некоторые экспериментальные данные, по-видимому, подтверждают модель Рюэля-Тэкенса. Так, в спектрах мощности появляется сначала одна, затем вторая и, возможно, третья независимая частота. На пороге появления третьей частоты внезапно возникает широкополосный шум, который свидетельствует о переходе к хаотическому движению. Экспериментально исследовались как вихри Тейлора в жидкости между вращающимися цилиндрами [125], так и конвекция Рэлея-Бенара [5]. На рис. 7.32 из популярной статьи Суинни и Голуба [396] показаны спектры скорости жидкости для течения Куэтта (слева) и для конвекции Рэлея-Бенара (справа). В обоих случаях перед переходом к непрерывному спектру наблюдается сначала одна, а затем две независимые частоты $f_{1}$ и $f_{2}$. Однако это зависит, вообще говоря, от начальных условий и иногда частоты $f_{1}$ и $f_{2}$ оказываются синхронизованными ${ }^{1}$ ). В другом эксперименте по течению Куэтта [158] наблюдались по крайней мере четыре независимые частоты. Это указывает на то, что переход к турбулентности происходит не всегда после двух бифуркаций Хопфа, как в модели Рюэля-Тэкенса.

Третья модель перехода к турбулентности, предложенная Фейгенбаумом, связана с последовательностью бифуркаций удвоения периода [122]. Переход начинается с бифуркации Хопфа из устойчивого фокуса в предельный цикл с частотой $f_{1}$. При дальнейшем
1) То есть отношение частот $f_{1} / f_{2}=\mathrm{m} / \mathrm{n}$ рационально (в пределах точности измерений $\sim 10^{-4}$, см., например, работу [541]). Экспериментальная независимость (несоизмеримость) частот определяется с той же точностью для $|m|,|n|<20$. – Прим. ред.

увеличении параметра происходят последовательные бифуркации удвоения, приводящие к периодическому движению с частотами $f_{1} / 2, f_{1} / 4, f_{1} / 8$ и т. д. Эта последовательность сходится при некотором критическом значении параметра, при котором возникает странный аттрактор (табл. 7.2). Механизм удвоения периода был описан в § 7.2 и п. 7.3а, где показан его универсальный характер. Существенно, что вблизи критисеской точки движение является близким к одномерному (см. п. 7.3а).

Рис. 7.32. Спектры скорости жидкости между вращающимися цилиндрами при трех значениях частоты внутреннего цилиндра $f_{0}$ (слева), то же для трех значений $\Delta T$ в задаче Рэлея-Бенара (справа) (по данным работы [396]).

Модель Фейгенбаума хорошо подтверждается численными экспериментами на простых моделях. Как мы видели выше, бифуркации удвоения периода найдены и во многих динамических системах с малой размерностью, таких, как аттрактор Рё́слера, отображение Хенона, уравнение Дюффинга и др. Некоторые эксперименты по конвекции Рэлея-Бенара обнаруживают эти бифуркации, а также некоторые признаки их универсальности. Спектры скорости высокого разрешения в эксперименте Рэлея-Бенара с водой, показанные на рис. $7.33[155,157]$, демонстрируют некоторые из бифуркаций удвоения. Было проведено также сравнение экспериментальных значений амплитуд субгармоник с предсказаниями модели Фейгенбаума. Как показано в п. 7.2б, отношение амплитуд развитых субгармоник должно быть равным $\gamma \approx 6,6$. На рис. 7.33,2

расстояние между верхней прямой, проведенной по пикам гармоник частоты $f_{2} / 2$, и нижней прямой соответствует множителю 6,6 . Видно, что большинство пиков гармоник частоты $f_{2} / 4$ примерно ложатся на нижнюю прямую в соответствии с теорией ${ }^{1}$ ). В другом

Рис. 7.33. Бифуркации удвоения периода в эксперименте Рэлея-Бенара (по данным работы [157]).
a-в – при увеличении числа Рэлея возникают субгармоники; г – хаотические полосы; $\partial$ – непрерывный спектр; $\ell$ – при уменьшении $R_{a}$ появляется вторая частота $f^{*}$.

эксперименте по конвекции Рэлея-Бенара в жидком гелии [263] наблюдались последовательные субгармоники $f_{1}, f_{1} / 2, f_{1} / 4, f_{1} / 8$ и $f_{1} / 16$ в спектре температуры. Отношение амплитуд последовательных субгармоник также равно примерно 6,6 (см. работу [123]).
1) Сравнение экспериментальных данных на рис. 7.33 , а для фиксированного значения параметра $C$ с законом подобия (7.2.44) для разных $C$ возможно вследствие того, что при бифуюкации удвоения амплитуды прежних частот (четные гармоники на рис. $7.33,2$ ) остаются неизменными согласно (7.2.40). При сравнении необходимо, во-первых, учитывать, что масштабный фактор $\gamma$ относится к амплитудам гармоник, а во-вторых, брать только нечетные до бифуркации гармоники, т. е. только второй и шестой пики на рис. 7.33 , 2. В результате среднее $\gamma \approx 4,4$ (см. примечание редактора на с. 440). – Прим. ред.

Однако, как мы видели, другиє эксперименты не подтверждают эти свойства ${ }^{1}$ ). Можно предположить, что причиной этого является внешний шум, который нарушает тонкую структуру спектра, и в зависимости от устовий эксперимента субгармоники то появляются, то пропадают. Такое поведение действительно наблюдалось в численном моделировании Қратчфилдом и Хьюберманом [96].

Рассмотрим, наконец, четвертый механизм возникновения турбулентности, лежаций в основе модели Помо и Манневиля [293] и связанный с переходом к хаотическому движению с перемежаемостью. В этой модели при увеличении некоторого параметра периодическая траектория непосредственно превращается в хаотическую с перемежаемостью в результате обратной тангенциальной бифуркации.

Следуя Экману [112], покажем, каким образом это происходит на примере потери устойчивости предельного цикла периода 3 для одномерного квадратичного отображения (7.2.4). В п. 7.2 (см. рис. 7.15 и пояснения к нему) было показано, что при $C=C_{0}^{(3)}=$ $=(1-\sqrt{8}) / 2$ в результате тангенциальной бифуркации рождаются устойчивая и неустойчивая траектории периода 3. Они сохраняются в небольшом интервале значений $C<C_{0}^{(3)}$. При $C=C_{0}^{(3)}$ они сливаются и исчезают, рождая так называемое хаотическое движение с перемежаемостью. Под этим понимается следующее: можно показать, что хотя движение является хаотическим, однако при малой разности $C-C_{0}^{(3)} \sim \varepsilon$ типичная траектория будет находиться в окрестности периодической траектории в течение $\sim \varepsilon^{-1 / 2}$ итераций. При этом периодическая траектория
\[
x_{3 i}=f\left(f\left(f\left(x_{3 i}\right)\right)\right), \quad i=1,2,3,
\]

соответствует бифуркационному значению $C=C_{0}^{(3)}$. В течение этого времени траектория выглядит как периодическая, а затем, после выхода из этой области,- как хаотическая. Поэтому в модели Помо и Манневиля нерегулярное движение продолжается в течение некоторого случайного промежутка времени, сменяясь периодическим со средней длительностью $\sim \mid \mu-\mu_{c} \Gamma^{1 / 2}$, где $\mu_{c}-$ бифуркационное значение некоторого параметра $\mu$.

Численное моделирование квадратичного отображения подтверждает такое поведение [112]. Оно существует и для модели Лоренца в некотором интервале параметров [293]. Подобный переход к турбулентности наблюдался во многих экспериментах, включая конвекцию Рэлея-Бенара [273] и так называемую химическую турбулентность [352] (см. также дополнение А). Однако в этих случаях перемежаемость связана с переходом между
1) Речь идет, по-виднмому, о данных на рис. 7.32. – Прим. ред.

двумя квазиустойчивыми состояниями системы и остается неясным, описывается ли такое поведение моделью Помо – Манневиля ${ }^{1}$ ).

Следует подчеркнуть, что единого механизма перехода к турбулентности не существует ${ }^{2}$ ). Если, например, система обнаруживает бифуркации удвоения периода, то можно предсказать зависимость этих бифуркаций от параметра. Однако пока неизвестно, каким образом можно узнать заранее, в какой системе это будет происходить. Отметим также, что все эти модели описывают только возникновение турбулентности и ничего не говорят о свойствах развитой турбулентности (см., например, [295]).
1) Хотя термин «перемежаемость» появился недавно, подобные процессы рассматривались уже довольно давно под более удачным, на наш взгляд, названием — «структурная турбулентность» (см, например, работы [537, 538], где имеется подробная библиография). В частности, появление структур в хаотическом режиме простой диссипативной модели описано в работе [530]. Такие флуктуирующие структуры часто встречаются и в гамильтоновых системах. Типичный пример – движение в узком стохастическом слое сепаратрисы маятника (резонанса) (§ 3.5). Здесь имеются три структуры (вращение в двух направлениях и колебания), между которыми происходят случайные переходы. – Прим. ред.
${ }^{2}$ ) См., например, работу [541].- Прим. ред.