Для замкнутых периодических траекторий в системах с несколькими степенями свободы удается построить сходящиеся решения. Это становится возможным потому, что условие точной периодичности позволяет представить траекторию простым рядом Фурье и избежать, таким образом, появления резонансных знаменателей
1) Это заключение авторов представляется преждевременным, так как еще не накоплен достаточный опыт практических расчетов с использованием сверхсходящихся методов. Можно, например, отметить, что если требуется умеренная точность, скажем, до $\sim \varepsilon^{3}$ включительно, то сверхсходимость заведомо упрощает вычисления (см. [70], §2.2;5.1).- Прим. ред.

(п. 2.2б). Однако, чтобы обеспечить периодичность в рамках теории возмущений, необходимо изменять начальные условия в каждом из последовательных приближений, поддерживая частоту неизменной ${ }^{1}$ ). Это отличается от обычной схемы теории возмущений, в которой для заданных начальных условий точность последовательных приближений повышается за счет переопределения частоты.

Метод построения периодических решений с фиксированной частотой и фазой был разработан Хеллеманом, Эминицером и сотр. Этот метод использовался во многих задачах, например вынужденные колебания ангармонического осциллятора [116], модель Хенона и Хейлеса [183] (см. п. 1.4а) и отображение Хенона [178] (см. п. 3.2г). Авторы называют свой метод «обратным» ввиду отмеченной выше необычной последовательности действий – от частоты к начальным условиям.

Хотя мера всех периодических траекторий равна нулю, они являются всюду плотными в фазовом пространстве. Наглядно периодические траектории соответствуют рациональным числам на отрезке, мера которых равна нулю, но которые тем не менее сколь угодно хорошо приближают любое иррациональное число. Поэтому на первый взгляд может показаться, что отыскание периодических траекторий эквивалентно получению вообще всех траекторий. На самом деле это не так, поскольку периодические траектории, вообще говоря, не ограничивают апериодические тр аектории. Даже если в начальный момент они близки, то позже могут оказаться произвольно далеко друг от друга в фазовом пространстве. В отличие от этого при двух степенях свободы инвариантные торы ограничивают близкие траектории и поэтому являются значительно более важными для описания динамики системы. Тем не менее и в общем случае периодические траектории могут оказаться весьма полезными по двум причинам. Во-первых, они могут выявлять некоторые особенности общей структуры движения, например резонансы различного уровня с определенным числом вращения. Вовторых, можно исследовать их устойчивость, что будет использовано в § 4.4 при определении глобальной устойчивости движения.
Вариационный метод. Рассмотрим замкнутую траекторию в автономной системе с $N$ степенями свободы. Движение при этом является периодическим, т. е. существует $N-1$ резонансных условий вида
\[
l_{k} \cdot \omega=0,
\]

где все $N$-мерные целочисленные векторы $\boldsymbol{l}_{k}$ линейно независимы ${ }^{2}$ ).
1) Этот прием, служащий фактически основой теории КАМ, был предложен Колмогоровым [229] (см. также [11]).- Прим. ред.
2) Вектор основных частот $\omega$ не имеет в данном случае определенного смысла [ср. (2.6.24) и (3.1.5)], полная же система частот определяется соотношением (2.6.23).- Прим. ред.

Все частоты являются целыми кратными основной частоты обращения
\[
\omega_{i}=m_{i} \omega_{r} .
\]

Это позволяет представить координаты $q_{i}$ и скорости $\dot{q} i$ с помощью рядов Фурье
\[
\begin{array}{l}
q_{j}=\sum_{m=-\infty}^{\infty} Q_{j m} e^{i m \omega_{r} t}, \\
\dot{q}_{j}=i \omega_{r} \sum_{m=-\infty}^{\infty} m Q_{j m} e^{i m \omega_{r} t} .
\end{array}
\]

Вариационное уравнение для замкнутой траектории удобнее всего записать с помощью лагранжиана (1.2.1). Из принципа Гамильтона получаем
\[
\delta \oint_{L}\left(\dot{q}_{i}, q_{j}\right) d t=\delta\langle L\rangle=0,
\]

где $\langle L\rangle$ – интеграл по периоду обращения $2 \pi / \omega_{r}$. Считая $\dot{q}_{j}$ и $q_{j}$ функциями коэффициентов Фурье $Q_{j m}$ и варьируя эти коэффициенты, находим
\[
\delta\langle L\rangle \equiv \frac{\partial(L\rangle}{\partial Q_{j m}} \delta Q_{j m} .
\]

Из вариационного исчисления известно, что]
\[
\frac{\partial\langle L\rangle}{\partial Q_{j m}}=0,
\]

если удовлетворяются уравнения Лагранжа
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial\langle L\rangle}{\partial \dot{q}_{j}}-\frac{\partial\langle L\rangle}{\partial q_{i}}=0
\]

Заметим, что $\langle L\rangle$ – чисто алгебраическая функция $Q_{j m}$ (и $\omega_{r}$ ). Если задано $\langle L\rangle$, то $Q_{j m}$ находятся как корни системы уравнений (2.6.27), которые определяют стационарную точку функции $\langle L\rangle$. Трудность вычисления этих корней связана с тем, что в общем случае стационарная точка $\widetilde{\boldsymbol{Q}}$ не отвечает ни максимуму, ни минимуму $\langle L\rangle$, а является седловой (см. рис. 2.14). Тип этого седла разрывно зависит от изменения $Q_{j m}$ (а также, следовательно, и от начальных значений $\dot{q}_{j}$ и $q_{j}$ ). Используем для вычисления корней простой метод касательных Ньютона. Введем векторную переменную $\boldsymbol{Q}$, составленную из коэффициентов $Q_{i m}$, и положим $\boldsymbol{f}=\partial\langle L\rangle / \partial \boldsymbol{Q}$, тогда из $(2.6 .27)$
\[
f\left(\boldsymbol{Q}_{0}\right)+\Delta \boldsymbol{Q} \cdot \frac{\partial f}{\partial Q_{0}}=0
\]

где $\boldsymbol{Q}_{\mathbf{0}}$ – начальное приближение корней, а $\Delta \boldsymbol{Q}$ – первая поправка.

Подставляя выражение для $f$, имеем
\[
\Delta \boldsymbol{Q} \cdot \frac{\partial^{2}\langle L\rangle}{\partial \boldsymbol{Q}_{0}^{2}}=-\frac{\partial\langle L\rangle}{\partial \boldsymbol{Q}_{0}} .
\]

Диагонализуя матрицу кривизны $\partial^{2}\langle L\rangle / \partial \boldsymbol{Q}_{0}^{2}$ (см. рис. 2.14), приходим к следующим заменам:
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{Q} & \rightarrow \boldsymbol{c}, \\
\Delta \boldsymbol{Q} & \rightarrow \Delta \boldsymbol{c}, \\
\frac{\partial^{2}\langle L\rangle}{\partial \boldsymbol{Q}_{0}^{2}} & \rightarrow \lambda\left(\boldsymbol{c}_{0}\right), \\
\frac{\partial\langle L\rangle}{\partial \boldsymbol{Q}_{0}} & \rightarrow\langle L\rangle^{\prime}\left(c_{0}\right) .
\end{aligned}
\]

Рис. 2.14. Двумерное седло.
Q – стационарная точка усредненного лагранжиана $\langle L\rangle . Q_{1}, Q_{2}$ – исходные переменные; $c_{1}, c_{2}$ – новые переменные, в которых матрица кривизны диагональна.

Уравнение (2.6.30) принимает вид
\[
\lambda_{n}\left(c_{0}\right) \Delta c_{n}=-\langle L\rangle_{n}^{\prime}\left(c_{0}\right),
\]

где $n$ нумерует компоненты вектора $c$ в диагонализованной системе. Среди значений кривизны $\lambda_{n}(\tilde{c})$ имеются как положительные, так и отрицательные. Пронумеруем их в порядке возрастания от отрицательных к положительным, при этом одно из значений $\lambda_{m}(\tilde{c})=$ $=0$ (см. [179]). Однако в процессе итераций эта упорядоченность, вообще говоря, не сохраняется. Псложение можно исправить, введя в метод Ньютона корректирующую поправку
\[
\left(\lambda_{n}-\bar{\lambda}\right) \Delta c_{n}=-\langle L\rangle_{n}^{\prime},
\]

где $\bar{\lambda}$ выбирается так, чтобы знак $\lambda_{n}-\bar{\lambda}$ при итерациях не изменялся. Такой прием обеспечивает линейную сходимость к $\tilde{c_{n}}$. Более того, когда решение $\boldsymbol{c}$ подходит достаточно близко к $\tilde{\boldsymbol{c}}$, можно убрать $\bar{\lambda}$ и восстановить квадратичную сходимость. В качестве $\bar{\lambda}$ удобно выбрать $\lambda_{m}(c)$, так как при $n \leqq m$ разность $\lambda_{n}(c)-\lambda_{m}(c) \leqq 0$ и $\lambda_{m} \rightarrow 0$ при $\boldsymbol{c} \rightarrow \tilde{\boldsymbol{c}}$, как и требуется для сходимости в (2.6.33). Таким образом, вместо обычных начальных условий
\[
\begin{array}{l}
q_{j}(0)=\sum_{m} Q_{j m}, \\
\dot{q}_{j}(0)=i \omega_{r} \sum_{m} m Q_{j m},
\end{array}
\]

мы задаем теперь значение $n=m$, для которого кривизна равна нулю, или
\[
\langle L\rangle_{m}^{\prime}(c)=0
\]

для любого вектора $c$, что гарантирует $\lambda_{m}=0$ в первом порядке по $\Delta c_{m}$.

В практических расчетах используются исходные $(\boldsymbol{Q})$, а не диагонализованные ( $c$ ) переменные и конечные ряды Фурье. Были придуманы и различные другие приемы для сокращения вычислений и ускорения сходимости; подробности можно найти в цитированных выше оригинальных статьях.
Задача Хенона и Хейлеса. Продемонстрируем применение изложенного общего метода к системам с двумя степенями свободы, следуя работам Баунтиса [35] и Хеллемана и Баунтиса [183]. Условие резонанса имеет вид
\[
s \omega_{1}-r \omega_{2}=0,
\]

где
\[
\alpha=\frac{s}{r}
\]
– некоторая постоянная, а $r$ и $s$ – взаимно простые целые числа. Частоты $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ теперь уже не являются независимыми, а кратны общей частоте обращения
\[
\omega_{r}=\frac{\omega_{1}}{r}=\frac{\omega_{2}}{s} .
\]

Период обращения равен $\tau_{r}=2 \pi / \omega_{r}$. Обозначая соответствующие частотам $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ координаты через $x$ и $y$, можно представить решение в виде рядов Фурье (2.6.24a) по каждой степени свободы:
\[
x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} A_{n} e^{i n \omega_{r} t}, \quad y(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} B_{n} e^{i n \omega_{r}} .
\]

В рассматриваемом методе можно было бы задать $\omega_{r}$ и два из четырех начальных условий $x, y, \dot{x}, \dot{y}$, а коэффициенты Фурье $A_{n}$, $B_{n}$ и оставшиеся два условия найти путем последовательных приближений. Поскольку, однако, для обеспечения периодичности траектории достаточно задать только $r$ и $s$, то можно фиксировать три начальных условия, а частоту $\omega_{r}$ и четвертое условие найти с помощью рядов. Так как главными частотами в (2.6.39) являются, конечно, исходные частоты (2.6.36), то можно ожидать, что главными в фурье-разложении (2.6.39) будут члены с амплитудами $A_{ \pm r}$ и $B_{ \pm s}$. Выделение этих членов помогает достижению быстрой сходимости решения.

Для иллюстрации метода рассмотрим, следуя Баунтису [35], потенциал Хенона и Хейлеса, заданный выражением (1.4.4) (см. также рис. 1.11). Уравнения Лагранжа имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\ddot{x}=-x-2 x y, \\
\ddot{y}=-y+y^{2}-x^{2} .
\end{array}
\]

Чтобы явно ввести фигурирующие в (2.6.36) частоты, перепишем эти уравнения в форме
\[
\begin{array}{l}
\ddot{x}+\omega_{1}^{2} x=\varepsilon\left[\left(\omega_{1}^{2}-1\right) x-2 x y\right], \\
\ddot{y}+\omega_{2}^{2} y=\varepsilon\left[\left(\omega_{2}^{2}-1\right) y+y^{2}-x^{2}\right] .
\end{array}
\]

Правые части этих уравнений считаются в некотором смысле малыми, на что указывает введенный малый параметр $\varepsilon$. Уравнения (2.6.41) эквивалентны (2.6.33) [183]. Разложим теперь коэффициенты Фурье в (2.6.39) по степеням $\varepsilon$ :
\[
\begin{array}{l}
x(t)=\sum_{j=0}^{\infty} \varepsilon^{j} \sum_{n=-\infty}^{\infty} A_{n j} e^{i n \omega_{r} t}, \\
y(t)=\sum_{j=0}^{\infty} \varepsilon^{j} \sum_{n=-\infty}^{\infty} B_{n j} e^{i n \omega_{r} t} .
\end{array}
\]

Подставляя эти выражения в (2.6.41), получаем систему рекуррентных соотношений
\[
\begin{array}{l}
\left(r^{2}-n^{2}\right) \omega_{r}^{2} A_{n, j+1}=\left(r^{2} \omega_{r}^{2}-1\right) A_{n j}-2 \sum_{k=-\infty}^{\infty} A_{k j} B_{n-k, j}, \quad \text { (2.6.43a) } \\
\left(s^{2}-n^{2}\right) \omega_{r}^{2} B_{n, j+1}=\left(s^{2} \omega_{r}^{2}-1\right) B_{n j}+\sum_{k=-\infty}^{\infty} B_{k j} B_{n-k, j}-\sum_{k=-\infty}^{\infty} A_{k j} A_{n-k, j},
\end{array}
\]

из которых можно найти все коэффициенты, кроме главных $n= \pm r$ и $n= \pm s$, так как для последних левая часть уравнений обращается в нуль. Эти коэффициенты проще всего получить, задав в дополнение к $r$ и $s$ три начальных условия. Выберем, например, $x=x_{0}$ при $t=0$ и будем считать коэффициенты Фурье действительными ( $A_{n}=A_{-n}, B_{n}=B_{-n}$ ), откуда следует $\dot{x}(0)=\dot{y}(0)=0$. Тогда амплитуда $A_{r}$ определяется непосредственно из (2.6.42) с помощью рекуррентного соотношения
\[
A_{r, j+1}=\frac{1}{2} x_{0}-\frac{1}{2} A_{0 j}-\sum_{\substack{n=1 \\ n
eq r}}^{\infty} A_{n j},
\]

Рис. 2.15. Начальные условия $x_{0}, y_{0}$ периодических решений системы $\mathrm{Xe}$ нона – Хейлеса при $\dot{x_{0}}=\dot{y_{0}}=0$ для различных значений $\alpha \equiv s / r$, где $s, r-$ взаимно простые числа (по данным работы [183]).

а частота находится из уравнения (2.6.43a) при нулевой левой части:
\[
\omega_{r, j+1}^{2}=\frac{1}{r^{2} A_{r j}}\left[A_{r j}+2 \sum_{k} A_{k j} B_{r-k, j}\right] .
\]

Вместо того чтобы находить $B_{0}$ и $B_{s}$ из уравнения (2.6.43б) при $n=0$ и $n=s$ соответственно, обратим процедуру для ускорения сходимости. Если использовать уравнение (2.6.43б) с нулевой левой частью и единственными отличными от нуля коэффициентами $B_{0,0}, B_{ \pm 5,0}$ и $A_{ \pm r, 0}$, то в первом приближении имеем
\[
\left(s^{2} \omega_{r}^{2}-1\right) \div 2 B_{c, 0}=0 .
\]

Это дает возможность найти $B_{s}$ из рекуррентного соотношения, которое получается с помощью (2.6.43б) при $n=0$ :
\[
2 B_{s, i+1}^{2}=B_{0 j}-\sum_{k . \mathrm{s}} B_{k j}^{2}+\sum_{k} A_{k j}^{2} .
\]

Входящие сюда величины $B_{0 j}$ определяются в любом порядке из того же самого уравнения при $n=s$ :
\[
B_{0, i+1}=\frac{1}{2 B_{s j}}\left[\left(1-s^{2} \omega_{r}^{2}\right) B_{s i}-\sum_{k: 0, s}^{\searrow} B_{k j} B_{s-k, j}+\sum_{k} A_{k j} A_{s-k, j}\right] .
\]

Соотношение (2.6.47) эквивалентно условию (2.6.35). Все остальные коэффициенты $A_{n}$ и $B_{n}$ получаются рекуррентно из уравнений (2.6.43) с некоторым разумным максимальным значением $n$. Посте этого начальное значение $y$ определяется в любом порядке прямо из (2.6.39).

С помоцью этой процедуры Баунтис [35] построил кривые зависимости начальных координат $x_{0}, y_{0}$ при постоянном значении отношения $\alpha=s / r$ и непрерывно изменяющейся частоте $\omega_{r}$. Величины $\alpha$ выбраны так, чтобы наилучшим образом аппроксимировать значение $\alpha=1$ (отношение частот малых колебаний). Полученные результаты приведены на рис. 2.15. Қаждая кривая постоянного $\alpha$ соответствует определенному диапазону непрерывного изменения $\omega_{r}$. Однако зависимость решения от $\alpha$ разрывна, т. е. малые изменения $\alpha$ приводят к совершенно другим значениям $\omega_{r}$, $r$ и $s$.

Следуя подходу создателей метода, мы использовали уравнения движения в форме Лагранжа. Однако все это можно было бы проделать и в канонической форме с помощью подстановки $\dot{x}=p$, хотя для периодических траекторий такая формулировка не дает какихлибо очевидных преимуществ. Что на самом деле желательно, так это иметь дело с лагранжианами, содержащими невысокие степени координат. В противном случае метод становится слишком громоздким из-за необходимости перемножать сразу много рядов Фурье, что приводит к появлению многократных сумм в рекуррентных соотношениях для коэффициентов $\mathbf{1}_{1}$.
1) В работе [473] предложен другой метод нахождения периодических траекторий, свободный от этих недостатков.-Прим. ред.