Аналогичным образом можно было бы вычислить скорость диффузии Арнольда и по резонансу связи, например $\omega_{x}=\omega_{y}$. Соответствующие довольно сложные расчеты были выполнены Либерманом [273]. Здесь же, следуя работе Чирикова [70], мы рассмотрим более простую модель, иллюстрирующую как диффузию по резонансу связи, так и взаимодействие многих резонансов [72 ]. Гамильтониан этой модели имеет вид
\[
H=\frac{p_{x}^{2}}{2}+\frac{p_{y}^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{4}+\frac{y^{4}}{4}-\mu x y-\operatorname{\varepsilon xf}(t),
\]
1) Существенное снижение скорости диффузии по сравнению с оценкой (6.2.23), особенно заметное на рис. 6.10, , объясняется медленной диффузией в относительно широкой периферической части стохастического слоя, а также фазовыми корреляциями из-за конечной ширины слоя (см. работу [70], § 7.2 и 7.6).- Прим. ред.

Рис. 6.10. Диффузия в тонком слое (по данным работы [406]).
Обозначения и параметры те же, что и на рис. 6.8, кроме $n=2000 ; \lambda_{\boldsymbol{y}}: \boldsymbol{h}: \boldsymbol{a}_{\boldsymbol{y}}=100$ : $10: 1,8$.

где $t$ – время, а $\mu$ и $\varepsilon$ – малые параметры. Эта система состоит из двух нелинейных осцилляторов со слабой линейной связью (параметр $\mu$ ), причем на один из осцилляторов действует периодическая внешняя сила $\varepsilon f(t)$. Нас будет интересовать окрестность резонанса связи
\[
\omega_{x}-\omega_{y} \approx 0,
\]

где $\omega_{x}$ и $\omega_{y}$ – невозмущенные частоты нелинейных осцилляторов. Переход к переменным действие-угол. Перейдем прежде всего к переменным действие – угол невозмущенной системы ( $\mu=\varepsilon=0$ ). Невозмущенный гамильтониан
\[
H_{0}=\frac{p_{x}^{2}}{2}+\frac{p_{y}^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{4}+\frac{y^{4}}{4}
\]

описывает два независимых осциллятора с сохраняющимися энергиями $E_{x}$ и $E_{y}$. Выражение для переменной действия получается обычным образом
\[
I_{x}=\frac{1}{2 \pi} \oint p_{x} d x=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{x_{N}}\left(2 E_{x}\right)^{1 / 2}\left(1-\frac{x^{4}}{4 E_{x}}\right)^{1 / 9} d x,
\]

где $x_{M}=\left(4 E_{x}\right)^{3 / 4}$ – амплитуда $x$-колебаний. Вводя новую переменную $\xi=x /\left(4 E_{x}\right)^{1 / 4}$, получаем
\[
I_{x}=\frac{4}{\pi} E_{x}^{3} \int_{0}^{1}\left(1-\xi^{4}\right)^{\prime} d \xi=\frac{4 \sqrt{2}}{3 \pi} E_{x}^{3} \cdot \mathscr{K}(1 / \sqrt{2}),
\]

где $\mathscr{K}(1 / \sqrt{2}) \approx 1,85$ – полный эллиптический интеграл первого рода. Соотношение (6.2.28) устанавливает связь между переменной действия $I$ и энергией $E$ для каждого из осцилляторов $\left(E \propto I^{4 / 3}\right.$ ). Отсюда новый невозмущенный гамильтониан
\[
\bar{H}_{0}=A\left(l_{x}^{x^{\prime}}+I_{y}^{4_{3}}\right),
\]

где
\[
A=\left(\frac{3 \pi}{4 \sqrt{2} \mathscr{K}(1 / \sqrt{2})}\right)^{4} \approx 0,87 .
\]

Частоты колебаний равны
\[
\omega_{x, y}=\frac{\partial \bar{H}_{0}}{\partial I_{x, y}}=\frac{4}{3} A I_{x, y}^{13} .
\]

Решение выражается через эллиптические функции (см., например, [70]) и имеет вид
\[
\frac{x(t)}{x_{M}}=\operatorname{cn}(\omega t)=\frac{\pi \sqrt{2}}{\mathscr{K}^{f}(1 / \sqrt{2})} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos [(2 n-1) \omega t]}{\operatorname{ch}[\pi(n-1 / 2)]} \approx
\]

\[
\approx 0,95 \cos \omega t+\frac{\cos 3 \omega t}{23}+\frac{\cos 5 \omega t}{(23)^{2}}+\ldots
\]

Независимо от амплитуды колебаний вклад гармоник очень мал и мы можем сохранить только первый член этого разложения. Введя угловую переменную $\theta=\omega t$, запишем полный гамильтониан в виде
\[
\begin{array}{c}
\bar{H}=A\left(I_{x}^{t_{3}}+I_{y}^{4 / 3}\right)-\mu x_{M}\left(I_{x}\right) y_{M}\left(I_{y}\right) \cos \theta_{x} \cos \theta_{y}- \\
-\varepsilon x_{M}\left(I_{x}\right) \cos \theta_{x} f(t),
\end{array}
\]

где
\[
x_{M}=(4 A)^{1 / 4} I_{x}^{1 / 3}, \quad y_{M}=(4 A)^{1 / 4} I_{y}^{1 / 3}
\]
– амплитуды колебаний, полученные из сопоставления (6.2.26) и (6.2.29).

Вблизи резонанса связи разность $\theta_{x}-\theta_{y}$ является медленной функцией времени. Перейдем поэтому с помощью производящей функции
\[
F_{2}=\left(\theta_{x}-\theta_{y}\right) I_{1}+\left(\theta_{x}+\theta_{y}\right) I_{2}
\]

к новым переменным:
\[
\psi_{1}=\theta_{x}-\theta_{y}, \quad \psi_{2}=\theta_{x}+\theta_{y} .
\]

Тогда
\[
I_{x}=\frac{\partial F_{2}}{\partial \theta_{x}}=I_{1}+I_{2}, \quad I_{y}=\frac{\partial F_{2}}{\partial \theta_{y}}=-I_{1}+I_{2} .
\]

В окрестности резонанса связи $I_{x} \approx I_{y}$, так что $I_{1} \ll I_{2}$. Выражая гамильтониан (6.2.32) через новые переменные (6.2.34) и разлагая невозмущенную часть по $I_{1}$, получаем выражение для нового гамильтониана
\[
\begin{array}{l}
K=2 A I_{2}^{\psi_{3}}+\frac{1}{2} G I_{1}^{2}-F \cos \psi_{1}-F \cos \psi_{2}-\varepsilon x_{M}\left(I_{2}\right) \times \\
\times \cos \left(\frac{\psi_{1}-\psi_{2}}{2}\right) f(t),
\end{array}
\]

где
\[
\begin{aligned}
G\left(I_{2}\right) & =\frac{8}{9} A I_{2}^{-2_{3} ;}, \\
F\left(I_{2}\right) & =\frac{1}{2} \mu x_{M}\left(I_{2}\right) y_{M}\left(I_{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Усреднение по быстрой фазе $\psi_{2}$ дает
\[
\langle K\rangle=2 A I_{2}^{1 / 3}+\frac{1}{2} G I_{1}^{2}-F \cos \psi_{1} .
\]

Отсюда видно, что $I_{2} \approx$ const, $\omega_{2}=2 \omega_{x}$, а переменные $I_{1}, \psi_{1}$

совершают медленные колебания на резонансе связи с частотой (для малых колебаний)
\[
\omega_{1}=\sqrt{F G} \propto \sqrt{\mu} .
\]

Взаимодействие трех резонансов. Пусть внешняя сила имеет вид
\[
f(t)=\cos \Omega_{1}{ }^{t}+\cos \Omega_{2} t,
\]

причем обе частоты близки к резонансу и удовлетворяют неравенству
\[
\delta \omega=\left(\omega_{x}-\Omega_{2}\right)>\left(\Omega_{1}-\omega_{x}\right)>0,
\]
т. е. частота $\omega_{x}$ находится между $\Omega_{1}$ и $\Omega_{2}$. Будем считать, что эти два резонанса и определяют поведение системы, причем более сильный ${ }^{1}$ ) резонанс (с частотой $\Omega_{1}$ ) возбуждает движение поперек стохастического слоя, а более слабый (с частотой $\Omega_{2}$ ) вызывает диффузию Арнольда вдоль слоя. В этом случае диффузию Арнольда удается рассчитать сравнительно просто (см. работу $[70, \S 7.5]$ ). Нелинейность приводит также к резонансам в высших порядках, однако их вклад в диффузию очень мал. Опуская поэтому член $F \cos \psi_{2}$ в $(6.2 .35)$, представим гамильтониан в виде суммы
\[
K=K_{-}+K_{\|},
\]

где
\[
\begin{array}{l}
K_{\perp}=\frac{1}{2} G I_{1}^{2}-F \cos \psi_{1}-\varepsilon x_{M} \cos \left(\frac{\psi_{1}+\omega_{2} t}{2}\right) \cos \Omega_{1} t, \\
K_{\|}=2 A I_{2}^{\prime}-\varepsilon x_{M} \cos \left(\frac{\psi_{1}(t)+\psi_{2}}{2}\right) \cos \Omega_{2} t .
\end{array}
\]

Эти выражения аналогичны соответственно (6.2.11) и (6.2.6б), и для определения скорости диффузии Арнольда по величине $d K_{\|} / d t$ можно использовать тот же метод. В результате находим [70]
\[
D=\frac{2 x_{M}^{2} \omega_{x}^{2}}{\omega_{1}} \cdot \frac{e^{-\pi Q_{0}}}{\ln \left(32 e / w_{1}\right)},
\]

где
\[
Q_{0}=\delta \omega / \omega_{1} .
\]

Для модельной задачи в п. 6.16 получается аналогичное выражение [273], хотя вывод его значительно сложнее. Скорость диффузии экспоненциально уменьшается с увеличением расстройки $(\delta \omega)$ и уменьшением связи ( $\left.\omega_{1}\right)$. Подчеркнем, что найденная скорость диффузии является локальной и изменяется в процессе диффузии.
1) Имеется в виду меньшая расстройка по частоте.- Прим. ред.