Этот поучительный пример хаотического потока возник из гидродинамических уравнений, описывающих конвекцию Рэлея-Бенара. Слой жидкости конечной толщины подогревается снизу таким образом, что между верхней холодной и нижней горячей поверхностями поддерживается постоянная разность температур. Движение жидкости описывается уравнением Навье–Стокса. Предполагая поток двумерным, его можно охарактеризовать двумя переменными: функцией тока $\psi$ и отклонением $\Theta$ распределения температуры от стационарного (линейного по вертикали).

Уравнения в частных производных для возмущенного потока можно преобразовать к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этого следует разложить функции $\psi$ и $\Theta$ в двойной ряд Фурье по $x$ и $z$ с амплитудами, зависящими только от времени $t$. Оставив ограниченное число членов, получим движение в конечномерном фазовом пространстве. Вывод этих уравнений движения из уравнения Навье-Стокса приведен в $\$ 7.4$.

Лоренц [283] исследовал упрощенную модель, в которой было оставлено только три «наиболее важных» фурье-амплитуды. В этом приближении уравнения принима:от вид
\[
\begin{array}{l}
\dot{X}=-\sigma X+\sigma Y, \\
\dot{Y}=-X Z+r X-Y, \\
\dot{Z}=X Y-b Z,
\end{array}
\]

где $X$ – амплитуда конвективного движения; $Y$ – разность температур для течений вверх и вниз; $Z$ – отклонение вертикального температурного профиля от линейного, а $\sigma, r, b$ – безразмерные параметры, физический смысл которых обсуждается в $§ 7.4$.

Модель Лоренца интенсивно исследовалась во многих работах (см. литературу в работе $[180]$ ). Значения параметров $\sigma$ и $b$ обычно фиксированы ( $\sigma=10, b=8 / 3$ ), и поведение системы исследуется в зависимости от $r$. Перечислим некоторые элементарные свойства модели Лоренца $[252,283,411]$.
1. Уравнения инвариантны относительно преобразования: $X \rightarrow-X, Y \rightarrow-Y, Z \rightarrow Z$.
2. Фазовый объем сокращается с постоянной скоростью (см. п. $7.1 \mathrm{a})$
\[
\Lambda=\frac{\partial \dot{X}}{\partial X}+\frac{\partial \dot{Y}}{\partial Y}+\frac{\partial \dot{Z}}{\partial Z}=-(\sigma+b+1),
\]

которая весьма велика для обычно используемых значений параметров: $\sigma=10, b=8: 3, \Lambda \approx-13,7$. За единицу времени объем сокращается в $e^{-\Lambda} \approx 10^{6}$ раз.
3. При $r=0$ и $t>0$ решениє ограничено и $X, Y, Z \rightarrow 0$ для $t \rightarrow \infty$.

С ростом $r$ характер решений меняется следующим образом.
1. Для $0<r<1$ единственным аттрактором является неподвижная точка в начале координат. Это соответствует стационарной теплопроводности в задаче Рэлея-Бенара.
2. Для $r>1$ аттрактор теряет устойчивость и возникают две новые неподвижные точки
\[
\boldsymbol{X}_{1,2}=\left( \pm[b(r-1)]^{1 / 2}, \quad \pm[b(r-1)]^{1 / 2}, \quad r-1\right),
\]

которые являются аттракторами для $1<r<r_{2}$, где
\[
r_{2}=\sigma(\sigma+b+3) /(\sigma-b-1)=470 / 19 \approx 24,74 .
\]

Это соответствует стационарной конвекции в задаче РэлеяБенара.
3. Для $r>r_{2}$ не существует аттракторов типа неподвижных точек.
4. Для $r>r_{1}=24,06$ возникает странный аттрактор с хаотическим движением. Заметим, что в узкой области
\[
24,06<r<24,74
\]

Рис. 1.19. Хаотическая траектория на аттракторе Лоренца при $r=28$ (по данным работы [253]).
Плоскость ( $X, Y$ ) соответствует $Z=27$.
существуют три аттрактора. Два из них соответствуют стационарной конвекции, а третий – хаотическому потоку. При этом в системе имеет место гистерезис: если $r$ растет, то регулярная конвекция переходит в турбулентность при $r=24,74$; если же $r$ уменьшается, турбулентное движение переходит в регулярную конвекцию при $r=24,06$.
Лоренц исследовал численно случай $r=28$. На рис. 1.19 [253] приведен пример хаотической траектории, выходящей из начала координат и пересекающей плоскость $Z=27$. Вначале траектория подходит к $\boldsymbol{X}_{\mathbf{1}}$, а затем раскручивается и притягивается к $\boldsymbol{X}_{2}$;

после этого она уходит по спирали от $\boldsymbol{X}_{2}$ и снова притягивается к $\boldsymbol{X}_{1}$ и т. д. Период обращения около $\boldsymbol{X}_{1,2}$ равен 0,62 , а радиус спирали изменяется приблизительно на $6 \%$ за оборот. Число оборо-

Рис. 1.20. Спектр мощности $P(\omega)$ для $X(t)$ на аттракторе Лоренца при $r=28$ (по данным работы [121]).
Непрерывность спектра отражает хаотичность движения.
тов в каждой серии меняется в широких пределах практически непредсказуемо, так как оно сильно зависит от начальных условий.

Хаотическое движение на аттракторе можно изучать при помощи отображения Пуанкаре плоскости $Z=27$. В работе [46] доказано, что это отображение является перемешивающим и эргодическим. Спектр мощности $X(t)$ приведен на рис. 1.20. Его непрерывность отражает непериодическое, хаотическое движение на аттракторе.

Заметив, что зависимость $Z$ от $t$ выглядит хаотической, Лоренц [283] придумал следующий эффективный метод анализа движения. Он зафиксировал последовательные максимумы $Z_{1}, Z_{2}, \ldots$ и построил зависимость $Z_{n+1}$ от $Z_{n}$, которая приведена на рис. 1.21. Слева от пика отображение соответствует последовательным обо-
Рис. 1.21. Одномерное отображение на аттракторе Лоренца при $r=28$ (по данным работы [283]). $Z_{n}$ – последовательные максимумы $Z(t)$. ротам вокруг $\boldsymbol{X}_{1}$ или $\boldsymbol{X}_{2}$. Область справа от пика описывает переходы между $\boldsymbol{X}_{1}$ и $\boldsymbol{X}_{2}$. Это одномерное отображение соответствует приближению, при котором бесконечно много листов аттрактора соединяются в один. Оно оказывается весьма хорошим из-за большой скорости сокращения фазового объема.

Это одномерное отображение позволяет непосредственно понять хаотический характер движения на аттракторе Лоренца. Действительно, производная зависимости $Z_{n+1}\left(Z_{n}\right)$ везде больше единицы, а это, как легко показать (см. п. 7.2в), сразу приводит к экспоненциальной расходимости близких траекторий. Соответствие между странными аттракторами и одномерными отображениями будет использовано в гл. 7.