Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Отображения, сохраняющие площадь. Рассмотрим малое возмущение интегрируемой системы с двумя степенями свободы. При этом гамильтониан зависит от угловых переменных На поверхности сечения $\theta_{2}=$ const $(\bmod 2 \pi)$ отображение поворота (3.1.8) перейдет теперь в возмущенное отображение поворота где $f$ и $g$ — периодические функции $\theta$. Так как это отображение получается из гамильтоновых уравнений, оно должно сохранять площадь. Мы выбрали функции $f$ и $g$ зависящими от $J_{n+1}$, а не от $J_{n}$, так что сохранение площади принимает особенно простую форму. В самом деле, соотношения (3.1.13) можно получить из производящей функции причем откуда и площадь сохраняется. Метод преобразований Ли ([108], см. также § 2.5) позволяет получить отображения, в которых $J_{n+1}$ и $\theta_{n+1}$ явно выражаются через $J_{n}$ и $\theta_{n}$. Однако они неудобны для наших целей. Если $f$ зависит от $J_{n+1}$, то $J_{n+1}$ зависит от $J_{n}$ неявно [см. (3.1.13a)]. Численно величину $J_{n+1}$ легко найти, используя метод касательных Ньютона или метод последовательных приближений, в котором новое приближение $J_{n+1}^{(i)}$ находится путем подстановки предыдущего $J_{n+1}^{i-1}$ в функцию $f$. Оба метода обеспечивают быструю сходимость (см. § 2.6) ${ }^{1}$ ). Во многих интересных случаях $f$ не зависит от $J$ и $g \equiv 0$. Тогда (3.1.13) принимают вид явного отображения поворота ${ }^{2}$ ): В дальнейшем мы подробно рассмотрим два таких отображения: упрощенное отображение Улама (§ 3.4) и сепаратрисное отображе: ние (§ 3.5). Если линеаризовать (3.1.17б) в окрестности неподвижной точки $J_{n+1}=J_{n}=J_{0}$, для которой $\alpha\left(J_{0}\right)$ — целое число, то Вводя новую переменную действия приходим к обобщенному стандартному отображению Здесь Отображение (3.1.22) использовалось Чириковым [70] и Грином [165] для оценки перехода от регулярного движения к хаотическому. Эти вопросы рассмотрены в гл. 4. Достаточно симметричные отображения можно представить в виде произведения более простых отображений. Представление явного отображения поворота как произведения двух инволюций и ис- пользование такого представления для нахождения неподвижных точек описано в п. 3.36 и 3.4 г. Обобщение возмущенного отображения поворота на случай большего числа степеней свободы при $H=$ const получается с помощью производящей функции Отсюда находим ( $N-1$ ) пару канонических (по построению из $F_{2}$ ) отображений Ести $\mathscr{G}$ не зависит от $J_{n+1}$, получается ( $2 N-2$ )-мерное явное отображение поворота. Примером такого отображения могут служить разностные уравнения в задаче о бильярде. Эта задача упоминалась в п. 1.4б и подробно рассмотрена в гл. 6. Вводя $\boldsymbol{x}=(\boldsymbol{J}, \boldsymbol{\theta})$, можно символически записать все такие отображения в виде
|
1 |
Оглавление
|