Отображения, сохраняющие площадь. Рассмотрим малое возмущение интегрируемой системы с двумя степенями свободы. При этом гамильтониан зависит от угловых переменных
\[
H(\boldsymbol{J}, \boldsymbol{\theta})=H_{0}(J)+\varepsilon H_{1}(\boldsymbol{J}, \boldsymbol{\theta}) .
\]

На поверхности сечения $\theta_{2}=$ const $(\bmod 2 \pi)$ отображение поворота (3.1.8) перейдет теперь в возмущенное отображение поворота
\[
\begin{array}{l}
J_{n+1}=J_{n}+\varepsilon f\left(J_{n+1}, \theta_{n}\right), \\
\theta_{n+1}=\theta_{n}+2 \pi \alpha\left(J_{n+1}\right)+\operatorname{eg}\left(J_{n+1}, \theta_{n}\right),
\end{array}
\]

где $f$ и $g$ – периодические функции $\theta$. Так как это отображение получается из гамильтоновых уравнений, оно должно сохранять площадь. Мы выбрали функции $f$ и $g$ зависящими от $J_{n+1}$, а не от $J_{n}$, так что сохранение площади принимает особенно простую форму. В самом деле, соотношения (3.1.13) можно получить из производящей функции
\[
F_{2}=J_{n+1} \theta_{n}+2 \pi \mathscr{A}\left(J_{n+1}\right)+\varepsilon \mathscr{G}\left(J_{n+1}, \theta_{n}\right),
\]

причем
\[
\begin{aligned}
\alpha & =d \mathscr{A} / d J_{n+1}, \\
f & =-\partial \mathscr{G} / \partial \theta_{n}, \\
g & =\partial \mathscr{Y} / \partial J_{n+1},
\end{aligned}
\]

откуда
\[
\frac{\partial f}{\partial J_{n+1}}+\frac{\partial g}{\partial \theta_{n}}=0,
\]

и площадь сохраняется. Метод преобразований Ли ([108], см. также § 2.5) позволяет получить отображения, в которых $J_{n+1}$ и $\theta_{n+1}$ явно выражаются через $J_{n}$ и $\theta_{n}$. Однако они неудобны для наших целей.

Если $f$ зависит от $J_{n+1}$, то $J_{n+1}$ зависит от $J_{n}$ неявно [см. (3.1.13a)]. Численно величину $J_{n+1}$ легко найти, используя метод касательных Ньютона или метод последовательных приближений, в котором новое приближение $J_{n+1}^{(i)}$ находится путем подстановки предыдущего $J_{n+1}^{i-1}$ в функцию $f$. Оба метода обеспечивают быструю сходимость (см. § 2.6) ${ }^{1}$ ).

Во многих интересных случаях $f$ не зависит от $J$ и $g \equiv 0$. Тогда (3.1.13) принимают вид явного отображения поворота ${ }^{2}$ ):
\[
\begin{array}{l}
J_{n+1}=J_{n}+\varepsilon f\left(\theta_{n}\right), \\
\theta_{+1}=\theta_{n}+2 \pi \alpha\left(J_{n+1}\right) .
\end{array}
\]

В дальнейшем мы подробно рассмотрим два таких отображения: упрощенное отображение Улама (§ 3.4) и сепаратрисное отображе: ние (§ 3.5).

Если линеаризовать (3.1.17б) в окрестности неподвижной точки $J_{n+1}=J_{n}=J_{0}$, для которой $\alpha\left(J_{0}\right)$ – целое число, то
\[
J_{n}=J_{0}+\Delta J_{n} .
\]

Вводя новую переменную действия
\[
I_{n}=2 \pi \alpha^{\prime} \Delta J_{n},
\]

приходим к обобщенному стандартному отображению
\[
\begin{array}{l}
I_{n+1}=I_{n}+K f^{*}\left(\theta_{n}\right), \\
\theta_{n+1}=\theta_{n}+I_{n+1}, \quad \bmod 2 \pi .
\end{array}
\]

Здесь
\[
K=2 \pi \alpha^{\prime} \varepsilon f_{\text {макс }}
\]
– параметр стохастичности, а $f^{*}=f^{\prime} f_{\text {макс }}$ – приведенное изменение переменной действия, нормированное на единицу. Таким образом, обобщенное стандартное отображение локально (по $J$ ) и эквивалентно произвольному возмущенному отображению поворота. В случае $f^{*}=\sin \theta_{n}$ оно переходит в стандартное отображение (известное также, как отображение Чирикова – Тейлора)
\[
\begin{array}{l}
I_{n+1}=I+K \sin \theta_{n}, \\
\theta_{n+1}=\theta_{n}+I_{n+\mathbf{1}} .
\end{array}
\]

Отображение (3.1.22) использовалось Чириковым [70] и Грином [165] для оценки перехода от регулярного движения к хаотическому. Эти вопросы рассмотрены в гл. 4.

Достаточно симметричные отображения можно представить в виде произведения более простых отображений. Представление явного отображения поворота как произведения двух инволюций и ис-
1) Обсуждение важного вопроса о существовании и единственности решения для неявного отображения, а также условий сходимости последовательных приближений содержится в работе [474].- Прим. ред.
2) В оригинале – radial twist mapping (радиальное закручивающее отображение).- Прим. перев.

пользование такого представления для нахождения неподвижных точек описано в п. 3.36 и 3.4 г.

Обобщение возмущенного отображения поворота на случай большего числа степеней свободы при $H=$ const получается с помощью производящей функции
\[
F_{2}=\boldsymbol{J}_{n+\mathbf{1}} \cdot \boldsymbol{\theta}_{n}+2 \pi \mathscr{A}\left(\boldsymbol{J}_{n+\mathbf{1}}\right)+\varepsilon \mathscr{G}\left(\boldsymbol{J}_{n+1}, \boldsymbol{\theta}_{n}\right) .
\]

Отсюда находим ( $N-1$ ) пару канонических (по построению из $F_{2}$ ) отображений
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{J}_{n+1}=\boldsymbol{J}_{n}+\varepsilon f\left(\boldsymbol{J}_{n+1}, \boldsymbol{\theta}_{n}\right), \\
\boldsymbol{\theta}_{n+1}=\boldsymbol{\theta}_{n}+2 \pi \alpha\left(\boldsymbol{J}_{n+1}\right)+\varepsilon g\left(\boldsymbol{J}_{n+1}, \boldsymbol{\theta}_{n}\right) .
\end{array}
\]

Ести $\mathscr{G}$ не зависит от $J_{n+1}$, получается ( $2 N-2$ )-мерное явное отображение поворота. Примером такого отображения могут служить разностные уравнения в задаче о бильярде. Эта задача упоминалась в п. 1.4б и подробно рассмотрена в гл. 6.

Вводя $\boldsymbol{x}=(\boldsymbol{J}, \boldsymbol{\theta})$, можно символически записать все такие отображения в виде
\[
\boldsymbol{x}_{n+1}=T \boldsymbol{x}_{n} .
\]