В $\S 5.4$ было показано, что сильное перекрытие резонансов приводит к внутренней диффузии с такой же скоростью, как ести бы фазы возмущения были случайными. Это эквивалентно сильной внешней диффузии, вызываемой посторонним по отношению к системе источником шума. Для задачи о взаимодействии волначастица, например, это соответствует большому числу сильных нескоррелированных волн, как предполагается в квазилинейной теории. Таким образом, в пределе сильной стохастичности внутренняя и внешняя диффузии похожи друг на друга ${ }^{2}$ ).
1) Асимптотический характер описанного метода (вычисления $D_{n}$ при $n \rightarrow \infty$ ) обманчив. На самом деле реально [например, в (5.4.45)] можно учесть лишь несколько близких ( $n \sim 1)$ корреляций $C^{\prime}(n)=\left\langle\sin \theta_{0} \sin \theta_{n}\right\rangle$. Как показано в работе [54] (см. также [464]) прямым вычислением $C(n)$, соотношение (5.4.45) включает фактически только две из них: $C(2)=-\mathscr{g}_{2} / 2$ и $C(4) \approx \mathcal{F}_{2}^{2} / 2\left(C(1)=0 ; C(3)=\left(\mathscr{F}_{3}^{2}-\mathcal{J}_{1}^{2}\right) / 2 \sim|K|^{-\mathbf{2}}\right)$. Вопрос об асимптотическом поведении $C(n)$ при $n \rightarrow \infty$ является очень сложным. При наличии границы стохастичности в фазовом пространстве (например, островки устойчивости) корреляции затухают очень медленно, как $C(n) \propto n^{-p} ; p<1$. При этом простое диффузионное описание может оказаться неприменимым, если $D_{n} \rightarrow \infty$ при $n \rightarrow \infty$. Сумма (5.4.39) в этом случае расходится. Обсуждение этих вопросов см. в работах [507, 508, 485] и в предисловии редактора неревода.- Прим. ред.
2) Наиболее существенное отличие между ними – сохранение энергии в случае внутренней диффузии в автономной системе.- Прим. ред.

Однако в том случае, когда внешнее случайное воздействие мало по сравнению с внутренним возмущением в самой системе, необходимо исследовать их совместное действие. Если, например, слабый внешний шум действует на систему в устойчивой области, то траектория движения не останется, конечно, на гладкой инвариантпой кривой. Однако скорость изменения интегралов движения будет определяться при этом, вообще говоря, лишь слабым шумом ${ }^{1}$ ). Такая устойчивость существенна как для реальных физических систем, всегда подверженных действию шума, так и при численном моделировании с его неустранимыми ошибками счета.

Рис. 5.14. Расплывание фазовой ячейки для интегрируемой системы на при* мере отображения поворота.
Линейный сдвиг происходит вдоль инвариантых кривых (пунктирные линии); ср. рис. 5.5.

Описанная выше устойчивость основана на том, что малое возмущение приводит к расходимости близких траекторий в основном вдоль, а не поперек инвариантньх поверхногтей. Покажем это на примере отображения поворота (3.1.8)
\[
J_{n+1}=J_{n}, \quad \theta_{n+1}=\theta_{n}+2 \pi \alpha\left(J_{n+1}\right) .
\]

Пусть (рис. 5.14) близкие начальные условия равны $J$ и $J+\Delta J$. Тогда
\[
\begin{array}{c}
\theta_{1}^{\prime}(J)=\theta_{0}+2 \pi \alpha(J), \\
\theta_{1}(J+\Delta J)=\theta_{0}+2 \pi \alpha(J+\Delta J) \approx \theta_{0}+2 \pi \alpha(J)+2 \pi \alpha^{\prime} \Delta J .
\end{array}
\]

Таким образом, продольный (по отношению к инвариантной кривой $J=$ const) размер параллелограмма на рисунке
\[
\theta_{1}(J+\Delta J)-\epsilon_{1}(J)=2 \pi \alpha^{\prime} \Delta J
\]

растет линейно с $n$, в то время как поперечный размер $\Delta J$ остается
1) Вообще говоря, это не так, см. п. 6.3б.- Прим. ред.

неизменным. Грин [165] получил аналогичный результат для другого примера, показав, что начапьный круг ошибок преобразуется в сильно вытянутый эллипс, бэльшая ось которого направлена вдоль инвариантной кривой.

Рис. 5.15. Фазовая плоскость $(u, \psi)$ для отображения Улама со слабым внешним пумом (5.5.1) (по данным работы [274]). $a-10 \simeq 40$ итерацпй: $6-20480$ итераций для одной траекторин.

Указанное обстоятельство позволяет получать миллионы итераций отображения без значительной диффузии инвариантных кривых ${ }^{1}$ ). Тем не менее эта диффузия налагает некоторые ограничения на точность определения границы стохастичности.
Для двумерных отображений Либерман и Лихтенберг
[274 ]
численно исследовали медленную диффузию под действием шума на примере упрощенного отображения Улама (3.4.4):
\[
\begin{array}{l}
u_{n+1}=\left|u_{n}+\psi_{n}-1 / 2\right| \\
\psi_{n+1}=\psi_{n}+M / u_{n+1}+\Delta \psi, \quad \bmod 1,
\end{array}
\]

где $\Delta \psi$ – дополнительный случайный сдвиг фазы. Если $\Delta \psi$ принимает любые значения во всем интервале $[0,1]$, то движение сведется к случайным блужданиям независимо от динамического фазового сдвига $M / u_{n+1}$. Именно это и наблюдалось при численном моделировании. Для $\Delta \psi \ll 1$, что соответствует слабому случайному возмущению, области устойчивости также постепенно заполняются траекторией. Это, однако, происходит значительно медленнее, чем само движение в этих областях. На рис. 5.15 показан пример такого движения для- $0,005<\Delta \psi<0,005$. При таком слабом шуме время диффузии в глубь островков устойчивости значительно превышает период колебаний внутри них. Как видно из рис. 5.15, мелкие островки почти заполнены траекторией, а крупные – лишь немного деформированы. Интересно отметить, что более заполненные зоны возникают внутри устойчивых областей. Это является следствием вре́менного «захвата» траектории в этой области под действием шума. Такие зоны повышенной плотности появляются и в стохастической компоненте вокруг островков устойчивости. На достаточно большом временно́м интервале, определяемом статистикой заполнения, все эти неоднородности должны исчезнуть.