Вблизи резонанса невозмущенной системы малые знаменатели появляются уже при вычислении адиабатических инвариантов первого порядка (см. § 2.3). Эти знаменатели можно устранить
1) В оригинале – secular perturbation theory (секулярная теория возмущений). Принятый в переводе термин более непосредственно отражает назначение теории, тогда как секулярэой в прямом смысле является классическая нерезонансная теория возмущений (см. § 2.2).- Прим. ред.

путем канонического преобразования к специальным (резонансным) переменным. Такое преобразование можно наглядно представить себе как переход во «вращающуюся» в фазовом пространстве систему отсчета. При этом новые переменные описывают медленные фазовые колебания на резонансе, центр которого соответствует неподвижной эллиптической точке на новой фазовой плоскости ${ }^{1}$ ). Такая техника применялась ранее в нелинейной теории движения частиц в ускорителях (см. [255I, где приведена также дополнительная литература) и при изучении электронного циклотронного резонанса в магнитной ловушке [367]. Этот метод близок к использованному Чириковым в работе [67] 2). После устранения резонансных знаменателей применяются описанные выше ( $\$ 2.3$ ) методы усреднения по быстрой фазе. В дальнейшем рассматривается автономная гамильтонова система с двумя степенями свободы. Обобщение на неавтономные системы не представляет труда путем введения расширенного фазового пространства (см. §1.2).

Если возмущение достаточно велико, то появляются вторичные резонансы, которые могут в свою очередь изменить или разрушить интегралы первичных резонансов, вычисленные в п. 2.4а. Малые знаменатели вторичных резонансов можно устранить аналогично тому, как это делается для первичных резонансов (п. 2.4б). Механизм, с помощью которого вторичные резонансы разрушают интегралы первичных резонансов, повторяет механизм разрушения невозмущенных интегралов первичными резонансами; он составляет основу методов анализа перехода от регулярного движения к хаотическому в гамильтоновых системах (гл. 4).

В качестве иллюстрации в п. 2.4в рассмотрен резонанс между волной и частицей, который описан ранее в п. 2.2б. Отыскивается резонансный интеграл движения и демонстрируется влияние вторичных резонансов. Все это поясняется с помощью некоторых результатов численного моделирования.

Преобразование к резонансным переменным – не единственный способ описания топологических изменений адиабатического инварианта вблизи резонанса. Имеется определенная свобода выбора инварианта, так как если $J$ – инвариант невозмущенной системы, то и любая функция $I(J)$ тоже инвариант. Выбирая $d I / d J=0$ вблизи резонансных значений $J$, можно учесть изменения в топологии возмущенной системы. Этот метод, разработанный Дуннетом и др. [111] (метод ДЛТ), описан в п. 2.4г и иллюстрируется на том же примере резонанса волна-частица.
1) Возможность устранения резонансных знаменателей связана с учетом нелинейности, точнее, неизохронности колебаний (зависимости их частоты от амплитуды); см. ниже в этом парсграфе и п. 3.2а.- Прим. ред.
2) Подобные методы использовались во многих работах (см., например, [33, 232, 469]).- Прим. ред.