Исследования нелинейной динамики (в том числе и методом сечения Пуанкаре) путем численного интегрирования уравнений Гамильтона очень трудоемки, поскольку шаг интегрирования должен быть много меньше характерного периода движения. В отличие от этого прямое итерирование заданного на том же периоде отображения может быть легко выполнено на сотни тысяч периодов и дает в существенных чертах ту же картину движения, что и уравнения Гамильтона. Такие отображения интенсивно использовались в различных исследованиях нелинейных колебаний. В § 3.4 мы рассмотрим этим методом задачу об ускорении Ферми [126]. Здесь же проиллюстрируем некоторые обсуждавшиеся выше особенности на примере квадратичного отображения поворота, исследованного Хеноном [185]:
\[
\left(\begin{array}{l}
x_{1} \\
y_{1}
\end{array}\right)=T\left(\begin{array}{l}
x_{0} \\
y_{0}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
x_{0} \cos \psi-\left(y_{0}-x_{0}^{2}\right) \sin \psi \\
x_{0} \sin \psi+\left(y_{0}-x_{0}^{2}\right) \cos \psi
\end{array}\right),
\]

где $\psi=2 \pi \alpha_{0}$, а $\alpha_{0}$ – число вращения соответствующего линейного отображения поворота (3.1.9).

Вблизи начала координат, которое является эллиптической точкой отображения, нелинейный член $x_{0}^{2}$ мал. На рис. 3.6 , $а$ и 6 воспроизведены результаты Хенона для $\psi=76,11^{\circ}$. На рис. 3.6, $a$ виден первый главный резонанс с $\alpha=1 / 5$, что соответствует углу поворота $72^{\circ}$. Следовательно, нелинейность в данном случае замедляет вращение. Исследование отображения в окрестности гиперболической точки этого резонанса приводит к любопытной картине, представленной на рис. 3.6, б. Видны вторичные и третичные резонансы, а также хаотическая траектория (длиной в 50000

Рис. 3.6. Траектории отображения Хенона (3.2.40) при $\alpha_{0}=0,2114$ (по данным работы [185]).
$a$ – первый целый резонанс на пятой гармонике; 6 – увеличенный участок фазовой плоскости вблизи сепаратрисы целого резонэнса. Видны вторичные и третичные резонансы.

итераций), заполняющая некоторую область вблизи гиперболической точки. На рис. 3.7 показаны осцилляции сепаратрисы, соответствующей $H^{-}$на схеме рис. 3.4. Данные получены численно Қатхиллом и представляют 146 итераций короткого отрезка сепаратрисы вблизи гиперболической точки.

Многие регулярные особенности структуры отображения на рис. 3.6 можно получить аналитически. Мы вернемся к этому во-

Рис. 3.7. То же, что на рис. 3.6, б для $x_{0}=0,1845$ (по данным работы [26]). Сплощная линия – одна из сепаратрис.

просу позже, поскольку такие вьчисления более естественно проводить после исследования устойчивости периодических траекторий, которому посвящен следующий параграф.