Для некоторых типов задач изложенные выше классические методы неприменимы. В первую очередь речь идет об уже упоминавшейся задаче о дрейфовом движении заряженной частицы в магнитном поле (см. рис. 2.7). Гамильтониан в этом случае имеет вид
\[
H=\frac{1}{2 m}\left[\boldsymbol{p}-\frac{e}{c} \boldsymbol{A}(q, t)\right]^{2},
\]

где
\[
p=m v+\frac{e}{c} A(q, t)
\]
– канонический импульс, а векторный потенциал $\boldsymbol{A}$ связан с магнитным полем соотношением $\boldsymbol{B}=
abla \times \boldsymbol{A}$. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле $\boldsymbol{B}_{0}$ хорошо известно и сводится к ларморовскому вращению и равномерному перемещению вдоль поля. Небольшие неоднородности поля могут заметно изменить характер движения, приводн как к колебаниям вдоль поля, так и к поперечному дрейфу (см. рис. 2.7). Очевидно, что при малой неоднородности поля частота ларморовского вращения велика по сравнению с частотами колебаний и дрейфа. В качестве малого параметра в уравнениях движения можно принять отношение ${ }^{1}$ ) $m / e \sim \varepsilon$, что гарантирует большое значение частоты врацения $\Omega=e B / m c \sim \varepsilon^{-1}$. Однако в гамильтоновой формулировке (2.3.34) главные члены как по $\boldsymbol{p}$, так и по $\boldsymbol{A}$ имеют порядок $B e / m c \sim \varepsilon^{-1}$ и почти сокращаются, что затрудняет оценку порядков величин по $\varepsilon$. Эта трудность связана не с самим дрейфовым приближением, а лишь с его гамильтоновым описанием ${ }^{2}$ ). Подобные задачи побудили Крылова и Боголюбова [242], Боголюбова и Зубарева [32], Боголюбова и Митропольского [33] и Крускала [239] сформулировать адиабатическую теорию возмущений для системы дифференциальных уравнений общего вида, необязательно гамильтоно-
1) Этот параметр является формальным, поскольку он никак не связан с реальным возмущением в задаче – с неоднородностью поля.- Прим. ред.
2) Это утверждение спорно, см., например, [468]. Отмеченные трудности связаны отчасти с тем, что обычно невозмущенным считается движение частицы в однородном магнитном поле, которое является инфинитным, т. е. качественно отличается от финитного возмущенного движения частицы в магнитной ловушке. По поводу другого выбора невозмущенной системы в этой задаче см. [464 ].- Прим. ред.

вых или необязательно в канонических переменных ${ }^{1}$ ). Как и в каноническом случае, эти методы предполагают наличие быстрой переменной по одной степени свободы и медленных по остальным степеням свободы и содержат усреднение на коротком масштабе времени. Будучи эффективными и очень общими, эти методы неизбежно оказываются и очень громоздкими, особенно в высших порядках. В канонической формулировке дифференциальные уравнения получаются из скалярной функции $H$; это же касается и преобразования переменных, которое определяется скалярной производящей функцией. В случае общего метода усреднения ${ }^{2}$ ) эти упрощающие обстоятельства отсутствуют.

Рассмотрим вначале метод Крускала и проиллюстрируем его на примере вычисления адиабатнческого инварианта первого порядка для медленно изменяющегося гармонического осциллятора. Мы выбрали работу Крускала, а не Крылова и Боголюбова, поскольку Крускал показывает, как неканонические возмущенные решения связаны с переменными действия в тех случаях, когда дифференциальные уравнения можно получить из гамильтониана.

Обращаем внимание читателя на недавно разработанный Литлджоном [281] метод, в котором используются неканонические переменные, но дифференциальные уравнения и преобразования переменных определяются, как и в методе Пуанкаре-Цейпеля, скалярными функциями. Подход Литлжона есть нечто среднее между классической канонической теорией и общими методами усреднения Крылова и Крускала (подробнее см. в [281]) ${ }^{3}$ ).
Метод усреднения Крускала. Следуя Крускалу, рассмотрим автономную систему дифференциальных уравнений
\[
\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, \varepsilon),
\]

обладающую тем свойством, что при $\varepsilon=0\left(f=f_{0}(x)\right.$ )раектория $\boldsymbol{x}(t)$ является замкнутой («петляэ). Прежде всего преобразуем переменные, чтобы разделить движение на быструю и медленную части. Если $\boldsymbol{x}-N$-компонентный вектор, то должно быть $N-1$ «медленных» переменных $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}(\boldsymbol{x})$, описывающих движение самой петли и удовлетворяющих условию
\[
\left.\dot{y}\right|_{\varepsilon=0}=\left(\frac{d y}{d t}\right)_{\varepsilon=0}=f_{0} \cdot
abla_{x} y=0 .
\]
1) Поскольку это касается работ Боголюбова и его школы, следует заметить, что их основной мотивировкой были приложения к широкому кругу задач, в которых нельзя пренебречь диссипацией и гамильтонов формализм неприменим. – Прим. ред.
2) См. примечание редактора на с. 104. Используемый здесь и ниже термин «общий метод усреднения» подчеркивает, что такой метод не ограничен гамильтоновыми системами.- Прим. ред.
3) Обобщение метода Литлджона та релятивистский случай содержится в работе [472].- Прим. ред.

При этом оставшаяся «быстрая» переменная $\theta=\theta(x)$, периодическая в нулевом порядке $(\varepsilon=0)$, определяет движение вдоль петли. В новых переменных уравнения (2.3.36) принимают вид
\[
\begin{array}{l}
\dot{y}=\varepsilon g(y, \theta), \\
\dot{\theta}=\omega(y, \theta),
\end{array}
\]

где быстрая фаза $\theta$ связана с одной из медленных переменных $y_{i}$ ө которая в каноническом случае была бы переменной действия для быстрой степени свободы. Преобразования переменных можно представить, как и в каноническом случае, в виде разложения по малому параметру $\varepsilon$.

Общий метод усреднения заключается в том, чтобы найти такие «хорошие» переменные $\boldsymbol{z}$ и $\psi$, эволюция которых не зависит от $\psi$ :
\[
\begin{array}{c}
\dot{z}=\varepsilon \boldsymbol{h}(\boldsymbol{z}), \\
\dot{\psi}=\Omega(z),
\end{array}
\]

причем $\boldsymbol{z}, \boldsymbol{\psi}, \boldsymbol{h}$ и $\Omega$ можно определить независимо в каждом порядке по $\varepsilon$. Необходимо, таким образом, найти четыре уравнения, устанавливающие связь величин $n$-го порядка с теми же величинами (п-1)-го порядка. Поскольку величины нулевого порядка можно определить непосредственно, то полное решение находится по индукции. Для получения этих соотношений выразим полные производные (2.3.39) через переменные $\boldsymbol{y}$ и $\theta$ с помощью выражений (2.3.38) и уравнений преобразования $\boldsymbol{z}=\boldsymbol{z}(\boldsymbol{y}, \theta), \psi=\psi(\boldsymbol{y}, \theta)$ :
\[
\begin{array}{l}
\dot{\boldsymbol{z}}=
abla_{y} \boldsymbol{z} \cdot \varepsilon \boldsymbol{g}+\frac{\partial \boldsymbol{z}}{\partial \theta} \omega=\varepsilon \boldsymbol{h}(\boldsymbol{z}), \\
\dot{\psi}=
abla_{y} \psi \cdot \varepsilon \boldsymbol{g}+\frac{\partial \psi}{\partial \theta} \omega=\Omega(\boldsymbol{z}) .
\end{array}
\]

Дополнительно потребуем периодичности $\boldsymbol{z}$ и $\psi$ :
\[
\begin{aligned}
z(y, \theta+2 \pi) & =z(y, \theta), \\
\psi(y, \theta+2 \pi) & =\psi(y, \theta)+2 \pi .
\end{aligned}
\]

Из последнего выражения видно, что $\psi$ играет роль угловой переменной. Для определения $\boldsymbol{z}$ и $\boldsymbol{\psi}$ как функций $\boldsymbol{y}$ и $\theta$, введем произвольно следующие начальные условия:
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{z}(\boldsymbol{y}, 0)=\boldsymbol{y}, \\
\psi(y, 0)=0 .
\end{array}
\]

Возможен и другой выбор начальных условий, однако выбор (2.3.42) упрощает преобразование переменных. Получим теперь выражения, позволяющие определять $\boldsymbol{z}, \boldsymbol{\psi}, \boldsymbol{h}, \Omega$ в любом порядке по $\varepsilon$. Предположим пока, что мы сумели каким-то образом найти величины $y$, $\theta, g$ и $\omega$ точно, хотя в действительности их можно представить и в виде разложений. Разделив (2.3.40) на $\omega$, интегрируя и определяя постоянные из начальных условий, получаем
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{z}=\boldsymbol{y}+\varepsilon \int_{0}^{\theta}\left(\boldsymbol{h}(\boldsymbol{z})-
abla_{y} \boldsymbol{z} \cdot \boldsymbol{g}\right) \frac{d \theta}{\omega}, \\
\psi=\int_{0}^{\theta}\left(\Omega(\boldsymbol{z})-\varepsilon
abla_{y} \psi \cdot \boldsymbol{g}\right) \frac{d \theta}{\omega} .
\end{array}
\]

Условия периодичности дают
\[
\begin{array}{l}
\int_{0}^{2 \pi}\left(\boldsymbol{h}(\boldsymbol{z})-
abla_{y} \boldsymbol{z} \cdot \boldsymbol{g}\right) \frac{d \theta}{\omega}=0 \\
\int_{0}^{2 \pi}\left(\Omega(\mathbf{z})-\varepsilon
abla_{y} \psi \cdot g\right) \frac{d \theta}{\omega}=2 \pi
\end{array}
\]

Уравнения (2.3.43) и (2.3.44) являются теми четырьмя уравнениями, которые позволяют находить неизвестные величины $\boldsymbol{z}, \boldsymbol{\psi}, \boldsymbol{h}, \boldsymbol{\Omega}$ в любом порядке по $\varepsilon$. В канонической теории они соответствуют разделению уравнения (2.3.14) для производящей функции $S_{1}$ на среднюю и переменную части ${ }^{1}$ ).

Следующим шагом является разложение $\boldsymbol{z}$ и $\psi$ в ряд по степеням $\boldsymbol{\varepsilon}$, например:
\[
z=\sum_{n} z_{n} \varepsilon^{n}
\]

после чего $\boldsymbol{h}$ и $\Omega$ также можно представить рядами, например:
\[
\varepsilon h(z)=\varepsilon h_{1}\left(z_{0}\right)+\varepsilon^{2}\left[h_{2}\left(z_{0}\right)+z_{1} \frac{\partial}{\partial z} h_{1}\left(z_{0}\right)\right]+\ldots .
\]

В нулевом порядке по $\varepsilon$ имеем $z_{0}=y$. В первом порядке эти переменные определяются из выражений (2.3.43) и (2.3.44) при $\boldsymbol{z}=\boldsymbol{y}$ и $\boldsymbol{h}=\boldsymbol{h}_{1}$ следующим образом. Из (2.3.43а) находим
\[
\boldsymbol{z}_{1} !=\int_{0}^{\theta}\left(\boldsymbol{h}_{1}(\boldsymbol{z})-
abla_{y} \boldsymbol{y} \cdot \boldsymbol{g}\right) \frac{d \theta}{\omega}
\]
1) См. уравнения (2.3.49) – (2.3.52).- Прим. ред.

а из условия периодичности (2.3.44a)
\[
\int_{0}^{2 \pi}\left(h_{1}(z)-
abla_{y} y \cdot g\right) \frac{d \theta}{\omega}=0 .
\]

Используя $
abla_{\boldsymbol{y}} \boldsymbol{y} \cdot \boldsymbol{g}=\boldsymbol{g}$ и определяя среднюю часть соотношением
\[
\langle\boldsymbol{g}\rangle=\int_{0}^{2 \pi} \boldsymbol{g} \frac{d \theta}{\omega} / \int_{0}^{2 \pi} \frac{d \theta}{\omega},
\]

а интеграл от переменной части $g$ посредством
\[
\tilde{\boldsymbol{g}}=\int_{0}^{\theta}(\boldsymbol{g}-\langle\boldsymbol{g}\rangle) \frac{d \theta}{\omega},
\]

получаем из (2.3.48) и (2.3.47)
\[
\begin{array}{c}
h_{1}(z)=\langle\boldsymbol{g}\rangle, \\
z_{1}=-\tilde{g} .
\end{array}
\]

Аналогичные вычисления с использованием уравнений (2.3.43б) и (2.3.44б) определяют $\psi$ в первом порядке по $\varepsilon$. Заметим, что физический смысл этих преобразований заключается в том, что в каждом порядке переменные определяются таким образом, чтобы их средняя часть была равна нулю и интегрирование по углу не приводило бы к появлению секулярных членов. Сами переменные могут иметь при этом различную природу. Для осциллятора с одной степенью свободы и медленно изменяющейся частотой величина $y$ может быть гамильтонианом. В случае нескольких степеней свободы с не зависящим от времени гамильтонианом величина $y$ может представлять вектор переменных действия. В любом случае, согласно формальной схеме Крускала, инвариант должен определяться обычным образом:
\[
J=\int_{0}^{2 \pi} \sum_{k=1}^{N} p_{k} \frac{d q_{k}}{d \psi} \cdot d \psi,
\]

где $p_{k}, q_{k}$ могут быть либо компонентами $\boldsymbol{z}$, либо в более общем случае функциями от $\boldsymbol{z}$. Крускал демонстрирует каноническую природу $J$ и $\psi$, вычисляя для них скобки Пуассона
\[
[\psi, J]=1 .
\]

Фактическое вычисление является довольно сложным, но уже сам вид выражения (2.3.53) для $J$ показывает, что это действительно переменная действия.

Медленно изменяющийся осциллятор. Проиллюстрируем метод Крускала на примере изменяющегося во времени гармонического осциллятора. Хотя этот метод был разработан для применения в многомерных системах, его основные черты можно показать и на одномерной модели. Имеем
\[
\begin{array}{c}
\frac{d p}{d t}=-F(\varepsilon t) q, \\
\frac{d q}{d t}=G p,
\end{array}
\]

причем для упрощения принято $G=$ const. Чтобы привести (2.3.55) к стандартному виду автономной системы уравнений первого порядка, введем новую независимую переменную $\tau=\varepsilon t$. Обозначая точкой производную по времени, получаем
\[
\begin{array}{c}
\dot{p}=-F(\tau) q, \\
\dot{q}=G p, \\
\dot{\tau}=\varepsilon .
\end{array}
\]

В нулевом порядке по $\varepsilon$ имеем $\tau=$ const и, следовательно, $F=$ $=$ const. Пусть векторная переменная $\boldsymbol{y}$ равна
\[
\boldsymbol{y}=(H, \tau),
\]
т. е. имеет компоненты $H$ и $\tau$. Здесь $H$ – гамильтониан системы
\[
H=\frac{F}{2} q^{2}+\frac{G}{2} p^{2},
\]

который в нулевом порядке сохраняется. Величины $H$ и $\tau$ являются (с точностью до знака) каноническими переменными расширенного фазового пространства. Решение нулевого порядка есть просто гармонические колебания
\[
\begin{array}{l}
q=q_{0} \sin \left(\omega_{0} t+\beta\right), \\
p=R q_{0} \cos \left(\omega_{0} t+\beta\right),
\end{array}
\]

где, как и прежде, $R=(F / G)^{1 / 2}$ и $\omega_{0}=(F G)^{1,2}$. Определяя угловую переменную посредством $\theta=\omega_{0} t+\beta$, находим из (2.3.59)
\[
\theta=\operatorname{arctg}\left(\frac{R q}{p}\right) .
\]

Мы хотим перейти к новым «хорошим» переменным, не зависящим от быстрой фазы. Для этого надо использовать преобразования (2.3.43) и (2.3.44) последовательно в каждом порядке по $\varepsilon$. Чтобы найти необходимые производные $\dot{H}$ и $\dot{\theta}$, продифференцируем (2.3.58), подставляем в него (2.3.56) и получаем
\[
\dot{H}=\frac{\varepsilon}{2} F^{\prime} q^{2}
\]

где $F^{\prime}$ – производная по $\tau$. Из (2.3.58) и (2.3.60) можно выразить $q$ и $p$ через $H$ и $\theta$ :
\[
\begin{array}{l}
q^{2}=\frac{2 H}{F} \sin ^{2} \theta, \\
p^{2}=\frac{2 H}{G} \cos ^{2} \theta .
\end{array}
\]

Подставляя $q^{2}$ в выражение для $\dot{H}$ и учитывая равенство $R^{\prime} / R=$ $=F^{\prime} / 2 F$, имеем
\[
\dot{H}=2 \varepsilon\left(\frac{R^{\prime}}{R}\right) H \sin ^{2} \theta,
\]

или
\[
\dot{\mathbf{y}} \equiv(\dot{H}, \dot{\tau})=\varepsilon \boldsymbol{g}(H, \tau, \theta) .
\]

Аналогичным путем, дифференцируя (2.3.60) и используя (2.3.56), определяем производную для угловой переменной:
\[
\dot{\theta}=\frac{1}{1+\left(\frac{R q}{p}\right)^{2}}\left\{\varepsilon \frac{R^{\prime}}{R} \frac{R q}{p}+\omega_{0}\left[1+\left(\frac{R q}{p}\right)^{2}\right]\right\} .
\]

Выражая $R q / p$ из (2.3.60) и преобразуя, получаем
\[
\dot{\theta}=\omega_{0}+\varepsilon \frac{R^{\prime}}{2 R} \sin 2 \theta \equiv \omega(H, \tau, \theta) .
\]

Уравнения (2.3.63) и (2.3.66) можно теперь использовать для получения «хороших» переменных $z$ и $\psi$. Применяя (2.3.63), (2.3.64) и (2.3.66) при вычислении выражения (2.3.49), в первом порядке находим
\[
\langle\boldsymbol{g}\rangle=\left(\frac{R^{\prime} H}{R}, 1\right)
\]

и, согласно (2.3.51), $\boldsymbol{h}_{1}=\langle\boldsymbol{g}\rangle$. Полагая $\boldsymbol{z}=(\bar{H}, \tau)$, вычисляя интеграл (2.3.50) и используя (2.3.51), получаем
\[
\bar{H}=H\left[1+\varepsilon\left(\frac{R^{\prime}}{2 \omega_{0} R}\right) \sin 2 \theta\right] .
\]

Аналогичные вычисления приводят к тривиальному результату $\bar{\tau}=\tau$, что_вместе с (2.3.68) позволяет определить в первом порядке «хорошие» переменные $\boldsymbol{z}=(\bar{H}, \bar{\tau})$, так что $\boldsymbol{z}$ не зависит от $\psi$. Подобным же образом строятся и преобразования для угловой переменной $\psi$.

Получив хорошие переменные, можно выразить через них интеграл движения
\[
\bar{J}=\frac{1}{2 \pi} \oint p d q=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} p \frac{d q}{d \psi} d \psi,
\]

где $p$ и $q$ – функции $\bar{H}$ и $\psi$. В первом порядке по $\varepsilon$ достаточно выполнить интегрирование по $\theta$ вместо $\psi$ : это упрощение использовано в работе Нортропа и др. [321 ]. Используя выражения (2.3.62) и вычисляя производную от $q$, получаем
\[
\bar{J}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \frac{2 H}{\omega_{0}} \cos ^{2} \theta d \theta .
\]

С помощью (2.3.68) в первом порядке по $\varepsilon$ находим
\[
\bar{J}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \frac{2 \bar{H}}{\omega_{0}}\left(1-\frac{\varepsilon}{2 \omega_{0}} \frac{R^{\prime}}{R} \sin 2 \theta\right) \cos ^{2} \theta d \theta .
\]

Производя интегрирование, получаем выражение для адиабатического инварианта
\[
\bar{J}=\frac{\bar{H}}{\omega_{0}}=\frac{H}{\omega_{0}}\left(1+\frac{\varepsilon R^{\prime}}{2 \omega_{0} R} \sin 2 \theta\right) .
\]

Это выражение совпадает с выражением (2.3.27), полученным в канонической теории возмущений. Если $H$ вычисляется в области, где параметры не изменяются, то $R^{\prime}=0$ и мы приходим к обычному выражению
\[
\frac{H}{\omega_{0}}=\mathrm{const},
\]

которое, как это видно из (2.3.70), справедливо только в нулевом порядке.