Для некоторых типов задач изложенные выше классические методы неприменимы. В первую очередь речь идет об уже упоминавшейся задаче о дрейфовом движении заряженной частицы в магнитном поле (см. рис. 2.7). Гамильтониан в этом случае имеет вид
$$H=\frac{1}{2m}{[\mathit{p}-\frac{e}{c}\mathit{A}(q,t)]}^2,$$

где
$$p=mv+\frac{e}{c}A(q,t)$$
— канонический импульс, а векторный потенциал $\mathit{A}$ связан с магнитным полем соотношением $\mathit{B}=abla\times \mathit{A}$. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле ${\mathit{B}}_0$ хорошо известно и сводится к ларморовскому вращению и равномерному перемещению вдоль поля. Небольшие неоднородности поля могут заметно изменить характер движения, приводн как к колебаниям вдоль поля, так и к поперечному дрейфу (см. рис. 2.7). Очевидно, что при малой неоднородности поля частота ларморовского вращения велика по сравнению с частотами колебаний и дрейфа. В качестве малого параметра в уравнениях движения можно принять отношение ${}^1$ ) $m/e\sim \epsilon$, что гарантирует большое значение частоты врацения $\mathrm{\Omega }=eB/mc\sim {\epsilon }^{-1}$. Однако в гамильтоновой формулировке (2.3.34) главные члены как по $\mathit{p}$, так и по $\mathit{A}$ имеют порядок $Be/mc\sim {\epsilon }^{-1}$ и почти сокращаются, что затрудняет оценку порядков величин по $\epsilon$. Эта трудность связана не с самим дрейфовым приближением, а лишь с его гамильтоновым описанием ${}^2$ ). Подобные задачи побудили Крылова и Боголюбова [242], Боголюбова и Зубарева [32], Боголюбова и Митропольского [33] и Крускала [239] сформулировать адиабатическую теорию возмущений для системы дифференциальных уравнений общего вида, необязательно гамильтоно-
1) Этот параметр является формальным, поскольку он никак не связан с реальным возмущением в задаче — с неоднородностью поля.- Прим. ред.
2) Это утверждение спорно, см., например, [468]. Отмеченные трудности связаны отчасти с тем, что обычно невозмущенным считается движение частицы в однородном магнитном поле, которое является инфинитным, т. е. качественно отличается от финитного возмущенного движения частицы в магнитной ловушке. По поводу другого выбора невозмущенной системы в этой задаче см. [464 ].- Прим. ред.

вых или необязательно в канонических переменных ${}^1$ ). Как и в каноническом случае, эти методы предполагают наличие быстрой переменной по одной степени свободы и медленных по остальным степеням свободы и содержат усреднение на коротком масштабе времени. Будучи эффективными и очень общими, эти методы неизбежно оказываются и очень громоздкими, особенно в высших порядках. В канонической формулировке дифференциальные уравнения получаются из скалярной функции $H$; это же касается и преобразования переменных, которое определяется скалярной производящей функцией. В случае общего метода усреднения ${}^2$ ) эти упрощающие обстоятельства отсутствуют.

Рассмотрим вначале метод Крускала и проиллюстрируем его на примере вычисления адиабатнческого инварианта первого порядка для медленно изменяющегося гармонического осциллятора. Мы выбрали работу Крускала, а не Крылова и Боголюбова, поскольку Крускал показывает, как неканонические возмущенные решения связаны с переменными действия в тех случаях, когда дифференциальные уравнения можно получить из гамильтониана.

Обращаем внимание читателя на недавно разработанный Литлджоном [281] метод, в котором используются неканонические переменные, но дифференциальные уравнения и преобразования переменных определяются, как и в методе Пуанкаре-Цейпеля, скалярными функциями. Подход Литлжона есть нечто среднее между классической канонической теорией и общими методами усреднения Крылова и Крускала (подробнее см. в [281]) ${}^3$ ).
Метод усреднения Крускала. Следуя Крускалу, рассмотрим автономную систему дифференциальных уравнений
$$\dot{\mathit{x}}=\mathit{f}(\mathit{x},\epsilon ),$$

обладающую тем свойством, что при $\epsilon =0(f=f_0(x)$ )раектория $\mathit{x}(t)$ является замкнутой («петляэ). Прежде всего преобразуем переменные, чтобы разделить движение на быструю и медленную части. Если $\mathit{x}-N$-компонентный вектор, то должно быть $N-1$ «медленных» переменных $\mathit{y}=\mathit{y}(\mathit{x})$, описывающих движение самой петли и удовлетворяющих условию
$${\dot{y}|}_{\epsilon =0}={\left(\frac{dy}{dt}\right)}_{\epsilon =0}=f_0\cdot abl{a}_{x}y=0.$$
1) Поскольку это касается работ Боголюбова и его школы, следует заметить, что их основной мотивировкой были приложения к широкому кругу задач, в которых нельзя пренебречь диссипацией и гамильтонов формализм неприменим. — Прим. ред.
2) См. примечание редактора на с. 104. Используемый здесь и ниже термин «общий метод усреднения» подчеркивает, что такой метод не ограничен гамильтоновыми системами.- Прим. ред.
3) Обобщение метода Литлджона та релятивистский случай содержится в работе [472].- Прим. ред.

При этом оставшаяся «быстрая» переменная $\theta =\theta (x)$, периодическая в нулевом порядке $(\epsilon =0)$, определяет движение вдоль петли. В новых переменных уравнения (2.3.36) принимают вид
$$\begin{array}{l}\dot{y}=\epsilon g(y,\theta ),\\ \dot{\theta }=\omega (y,\theta ),\end{array}$$

где быстрая фаза $\theta$ связана с одной из медленных переменных $y_i$ ө которая в каноническом случае была бы переменной действия для быстрой степени свободы. Преобразования переменных можно представить, как и в каноническом случае, в виде разложения по малому параметру $\epsilon$.

Общий метод усреднения заключается в том, чтобы найти такие «хорошие» переменные $\mathit{z}$ и $\psi$, эволюция которых не зависит от $\psi$ :
$$\begin{array}{c}\dot{z}=\epsilon \mathit{h}(\mathit{z}),\\ \dot{\psi }=\mathrm{\Omega }(z),\end{array}$$

причем $\mathit{z},\mathit{\psi },\mathit{h}$ и $\mathrm{\Omega }$ можно определить независимо в каждом порядке по $\epsilon$. Необходимо, таким образом, найти четыре уравнения, устанавливающие связь величин $n$-го порядка с теми же величинами (п-1)-го порядка. Поскольку величины нулевого порядка можно определить непосредственно, то полное решение находится по индукции. Для получения этих соотношений выразим полные производные (2.3.39) через переменные $\mathit{y}$ и $\theta$ с помощью выражений (2.3.38) и уравнений преобразования $\mathit{z}=\mathit{z}(\mathit{y},\theta ),\psi =\psi (\mathit{y},\theta )$ :
$$\begin{array}{l}\dot{\mathit{z}}=abl{a}_y\mathit{z}\cdot \epsilon \mathit{g}+\frac{\partial \mathit{z}}{\partial \theta }\omega =\epsilon \mathit{h}(\mathit{z}),\\ \dot{\psi }=abl{a}_y\psi \cdot \epsilon \mathit{g}+\frac{\partial \psi }{\partial \theta }\omega =\mathrm{\Omega }(\mathit{z}).\end{array}$$

Дополнительно потребуем периодичности $\mathit{z}$ и $\psi$ :
$$\begin{array}{rl}z(y,\theta +2\pi )& =z(y,\theta ),\\ \psi (y,\theta +2\pi )& =\psi (y,\theta )+2\pi .\end{array}$$

Из последнего выражения видно, что $\psi$ играет роль угловой переменной. Для определения $\mathit{z}$ и $\mathit{\psi }$ как функций $\mathit{y}$ и $\theta$, введем произвольно следующие начальные условия:
$$\begin{array}{l}\mathit{z}(\mathit{y},0)=\mathit{y},\\ \psi (y,0)=0.\end{array}$$

Возможен и другой выбор начальных условий, однако выбор (2.3.42) упрощает преобразование переменных. Получим теперь выражения, позволяющие определять $\mathit{z},\mathit{\psi },\mathit{h},\mathrm{\Omega }$ в любом порядке по $\epsilon$. Предположим пока, что мы сумели каким-то образом найти величины $y$, $\theta ,g$ и $\omega$ точно, хотя в действительности их можно представить и в виде разложений. Разделив (2.3.40) на $\omega$, интегрируя и определяя постоянные из начальных условий, получаем
$$\begin{array}{c}\mathit{z}=\mathit{y}+\epsilon {\int }_0^{\theta }(\mathit{h}(\mathit{z})-abl{a}_y\mathit{z}\cdot \mathit{g})\frac{d\theta }{\omega },\\ \psi ={\int }_0^{\theta }(\mathrm{\Omega }(\mathit{z})-\epsilon abl{a}_y\psi \cdot \mathit{g})\frac{d\theta }{\omega }.\end{array}$$

Условия периодичности дают
$$\begin{array}{l}{\int }_0^{2\pi }(\mathit{h}(\mathit{z})-abl{a}_y\mathit{z}\cdot \mathit{g})\frac{d\theta }{\omega }=0\\ {\int }_0^{2\pi }(\mathrm{\Omega }(\mathbf{z})-\epsilon abl{a}_y\psi \cdot g)\frac{d\theta }{\omega }=2\pi \end{array}$$

Уравнения (2.3.43) и (2.3.44) являются теми четырьмя уравнениями, которые позволяют находить неизвестные величины $\mathit{z},\mathit{\psi },\mathit{h},\mathbf{\Omega }$ в любом порядке по $\epsilon$. В канонической теории они соответствуют разделению уравнения (2.3.14) для производящей функции $S_1$ на среднюю и переменную части ${}^1$ ).

Следующим шагом является разложение $\mathit{z}$ и $\psi$ в ряд по степеням $\mathit{\epsilon }$, например:
$$z=\sum _n{z}_n{\epsilon }^n$$

после чего $\mathit{h}$ и $\mathrm{\Omega }$ также можно представить рядами, например:
$$\epsilon h(z)=\epsilon h_1\left(z_0\right)+{\epsilon }^2[h_2\left(z_0\right)+z_1\frac{\partial }{\partial z}{h}_1\left(z_0\right)]+\dots .$$

В нулевом порядке по $\epsilon$ имеем $z_0=y$. В первом порядке эти переменные определяются из выражений (2.3.43) и (2.3.44) при $\mathit{z}=\mathit{y}$ и $\mathit{h}={\mathit{h}}_1$ следующим образом. Из (2.3.43а) находим
$${\mathit{z}}_1!={\int }_0^{\theta }({\mathit{h}}_1(\mathit{z})-abl{a}_y\mathit{y}\cdot \mathit{g})\frac{d\theta }{\omega }$$
1) См. уравнения (2.3.49) — (2.3.52).- Прим. ред.

а из условия периодичности (2.3.44a)
$${\int }_0^{2\pi }(h_1(z)-abl{a}_{y}y\cdot g)\frac{d\theta }{\omega }=0.$$

Используя $abl{a}_{\mathit{y}}\mathit{y}\cdot \mathit{g}=\mathit{g}$ и определяя среднюю часть соотношением
$$⟨\mathit{g}⟩={\int }_0^{2\pi }\mathit{g}\frac{d\theta }{\omega }/{\int }_0^{2\pi }\frac{d\theta }{\omega },$$

а интеграл от переменной части $g$ посредством
$$\tilde{\mathit{g}}={\int }_0^{\theta }(\mathit{g}-⟨\mathit{g}⟩)\frac{d\theta }{\omega },$$

получаем из (2.3.48) и (2.3.47)
$$\begin{array}{c}{h}_1(z)=⟨\mathit{g}⟩,\\ z_1=-\tilde{g}.\end{array}$$

Аналогичные вычисления с использованием уравнений (2.3.43б) и (2.3.44б) определяют $\psi$ в первом порядке по $\epsilon$. Заметим, что физический смысл этих преобразований заключается в том, что в каждом порядке переменные определяются таким образом, чтобы их средняя часть была равна нулю и интегрирование по углу не приводило бы к появлению секулярных членов. Сами переменные могут иметь при этом различную природу. Для осциллятора с одной степенью свободы и медленно изменяющейся частотой величина $y$ может быть гамильтонианом. В случае нескольких степеней свободы с не зависящим от времени гамильтонианом величина $y$ может представлять вектор переменных действия. В любом случае, согласно формальной схеме Крускала, инвариант должен определяться обычным образом:
$$J={\int }_0^{2\pi }\sum _{k=1}^N{p}_k\frac{d{q}_k}{d\psi }\cdot d\psi ,$$

где $p_k,q_k$ могут быть либо компонентами $\mathit{z}$, либо в более общем случае функциями от $\mathit{z}$. Крускал демонстрирует каноническую природу $J$ и $\psi$, вычисляя для них скобки Пуассона
$$[\psi ,J]=1.$$

Фактическое вычисление является довольно сложным, но уже сам вид выражения (2.3.53) для $J$ показывает, что это действительно переменная действия.

Медленно изменяющийся осциллятор. Проиллюстрируем метод Крускала на примере изменяющегося во времени гармонического осциллятора. Хотя этот метод был разработан для применения в многомерных системах, его основные черты можно показать и на одномерной модели. Имеем
$$\begin{array}{c}\frac{dp}{dt}=-F(\epsilon t)q,\\ \frac{dq}{dt}=Gp,\end{array}$$

причем для упрощения принято $G=$ const. Чтобы привести (2.3.55) к стандартному виду автономной системы уравнений первого порядка, введем новую независимую переменную $\tau =\epsilon t$. Обозначая точкой производную по времени, получаем
$$\begin{array}{c}\dot{p}=-F(\tau )q,\\ \dot{q}=Gp,\\ \dot{\tau }=\epsilon .\end{array}$$

В нулевом порядке по $\epsilon$ имеем $\tau =$ const и, следовательно, $F=$ $=$ const. Пусть векторная переменная $\mathit{y}$ равна
$$\mathit{y}=(H,\tau ),$$
т. е. имеет компоненты $H$ и $\tau$. Здесь $H$ — гамильтониан системы
$$H=\frac{F}{2}{q}^2+\frac{G}{2}{p}^2,$$

который в нулевом порядке сохраняется. Величины $H$ и $\tau$ являются (с точностью до знака) каноническими переменными расширенного фазового пространства. Решение нулевого порядка есть просто гармонические колебания
$$\begin{array}{l}q=q_0\sin ({\omega }_{0}t+\beta ),\\ p=R{q}_0\cos ({\omega }_{0}t+\beta ),\end{array}$$

где, как и прежде, $R=(F/G{)}^{1/2}$ и ${\omega }_0=(FG{)}^{1,2}$. Определяя угловую переменную посредством $\theta ={\omega }_{0}t+\beta$, находим из (2.3.59)
$$\theta =\mathrm{arctg}\left(\frac{Rq}{p}\right).$$

Мы хотим перейти к новым «хорошим» переменным, не зависящим от быстрой фазы. Для этого надо использовать преобразования (2.3.43) и (2.3.44) последовательно в каждом порядке по $\epsilon$. Чтобы найти необходимые производные $\dot{H}$ и $\dot{\theta }$, продифференцируем (2.3.58), подставляем в него (2.3.56) и получаем
$$\dot{H}=\frac{\epsilon }{2}{F}^{\prime }{q}^2$$

где $F^{\prime }$ — производная по $\tau$. Из (2.3.58) и (2.3.60) можно выразить $q$ и $p$ через $H$ и $\theta$ :
$$\begin{array}{l}{q}^2=\frac{2H}{F}{\sin }^2\theta ,\\ p^2=\frac{2H}{G}{\cos }^2\theta .\end{array}$$

Подставляя $q^2$ в выражение для $\dot{H}$ и учитывая равенство $R^{\prime }/R=$ $=F^{\prime }/2F$, имеем
$$\dot{H}=2\epsilon \left(\frac{R^{\prime }}{R}\right)H{\sin }^2\theta ,$$

или
$$\dot{\mathbf{y}}\equiv (\dot{H},\dot{\tau })=\epsilon \mathit{g}(H,\tau ,\theta ).$$

Аналогичным путем, дифференцируя (2.3.60) и используя (2.3.56), определяем производную для угловой переменной:
$$\dot{\theta }=\frac{1}{1+{\left(\frac{Rq}{p}\right)}^2}\{\epsilon \frac{R^{\prime }}{R}\frac{Rq}{p}+{\omega }_0[1+{\left(\frac{Rq}{p}\right)}^2]\}.$$

Выражая $Rq/p$ из (2.3.60) и преобразуя, получаем
$$\dot{\theta }={\omega }_0+\epsilon \frac{R^{\prime }}{2R}\sin 2\theta \equiv \omega (H,\tau ,\theta ).$$

Уравнения (2.3.63) и (2.3.66) можно теперь использовать для получения «хороших» переменных $z$ и $\psi$. Применяя (2.3.63), (2.3.64) и (2.3.66) при вычислении выражения (2.3.49), в первом порядке находим
$$⟨\mathit{g}⟩=(\frac{R^{\prime }H}{R},1)$$

и, согласно (2.3.51), ${\mathit{h}}_1=⟨\mathit{g}⟩$. Полагая $\mathit{z}=(\overline{H},\tau )$, вычисляя интеграл (2.3.50) и используя (2.3.51), получаем
$$\overline{H}=H[1+\epsilon \left(\frac{R^{\prime }}{2{\omega }_{0}R}\right)\sin 2\theta ].$$

Аналогичные вычисления приводят к тривиальному результату $\overline{\tau }=\tau$, что_вместе с (2.3.68) позволяет определить в первом порядке «хорошие» переменные $\mathit{z}=(\overline{H},\overline{\tau })$, так что $\mathit{z}$ не зависит от $\psi$. Подобным же образом строятся и преобразования для угловой переменной $\psi$.

Получив хорошие переменные, можно выразить через них интеграл движения
$$\overline{J}=\frac{1}{2\pi }\oint pdq=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }p\frac{dq}{d\psi }d\psi ,$$

где $p$ и $q$ — функции $\overline{H}$ и $\psi$. В первом порядке по $\epsilon$ достаточно выполнить интегрирование по $\theta$ вместо $\psi$ : это упрощение использовано в работе Нортропа и др. [321 ]. Используя выражения (2.3.62) и вычисляя производную от $q$, получаем
$$\overline{J}=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\frac{2H}{{\omega }_0}{\cos }^2\theta d\theta .$$

С помощью (2.3.68) в первом порядке по $\epsilon$ находим
$$\overline{J}=\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\frac{2\overline{H}}{{\omega }_0}(1-\frac{\epsilon }{2{\omega }_0}\frac{R^{\prime }}{R}\sin 2\theta ){\cos }^2\theta d\theta .$$

Производя интегрирование, получаем выражение для адиабатического инварианта
$$\overline{J}=\frac{\overline{H}}{{\omega }_0}=\frac{H}{{\omega }_0}(1+\frac{\epsilon R^{\prime }}{2{\omega }_{0}R}\sin 2\theta ).$$

Это выражение совпадает с выражением (2.3.27), полученным в канонической теории возмущений. Если $H$ вычисляется в области, где параметры не изменяются, то $R^{\prime }=0$ и мы приходим к обычному выражению
$$\frac{H}{{\omega }_0}=\mathrm{const},$$

которое, как это видно из (2.3.70), справедливо только в нулевом порядке.