Дрейфовые поверхности. При учете конечного ларморовского радиуса электрического поля и неоднородности магнитного поля оказывается, что частицы не следуют точғо за магнитной линией, а медленно сдрейфовывают перпендикулярно ей. Траектории ларморовского центра заполняют дрейфовие поверхности. При этом могут иметь место резонансы между гармониками неоднородности поля и дрейфовым движением. Уравнения движения в дрейфовом приближении в отсутствие токов имеют вид (см., например, [362], §2.2) ${ }^{2}$ ):
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{v}_{D}=\frac{d \boldsymbol{r}}{d t}=\frac{\boldsymbol{c}}{e} \frac{F \times B}{B^{2}}+v_{\| 1} \frac{B}{B}, \\
\frac{d v_{\|}}{d t}=-\frac{e}{M} \frac{\partial \Phi}{\partial s}-\frac{\mu}{M} \frac{\partial B}{\partial s},
\end{array}
\]
где
\[
F=-\left(\mu+\frac{M v_{\|}^{2}}{B}\right)
abla B-e
abla \Phi
\]
– усредненная по ларморовскому вращению сила; $\mu=$ $=\frac{1}{2} M v_{\perp}^{2} / B$ – магнитный момент; $e$-заряд частицы; $M$ – ее масса; $v_{\|}, v_{\perp}$ – параллельная и перпендикулярная магнитному полю компоненты скорости частицы; $r$ – радиус-вектор ларморовского центра; $s$ – координата вдоль магнитной линии; Ф – элек-
1) См. также работу [514].- Прик. ред.
2) См. также работы $[515,516]$.- IIрим. ред.
трический потенциал и $c$ – скорость света. В дрейфовом приближении $\mu$ является адиабатическим инвариантом и считается постоянным (см. п. 2.3б). Если $B$ и Ф не зависят явно от времени, то дрейфовое движение можно описать с помощью автономного гамильтониана с двумя степенями свободы. В этом случае вместо времени удобно использовать в качестве независимой переменной величину $s$, причем $d s / d t=v_{\|}$, где скорость $v_{\|}$связана с интегралами движения $E$ и $\mu$ соотношением
\[
v_{11}=\left(\frac{2}{M}\right)^{1 / 2}(E-\mu B)^{1 / 2},
\]
а $E$ – полная энергия частицы. Получаемые в результате уравнения дрейфового движения аналогичны уравнениям магнитной линии, описанным в п. 6.4a.
Нерезонансный дрейф. Рассмотрим сначала случай, когда дрейф вызывается градиентом магнитного поля. Если магнитные поверхности симметричны по $\varphi$ (см. рис. 6.20), то сила $F$ перпендикулярна магнитной поверхности и скорость дрейфа $v_{D}$, согласно (6.4.13), направлена по касательной к магнитной поверхности. Однако магнитное поле в системах с тороидальной геометрией типа левитрона или токамака не обладает такой симметрией, что приводит к радиальной составляющей дрейфа частиц. Масштаб времени такого дрейфа обычно велик по сравнению с временем оборота вокруг большой оси тора. Поэтому в пренебрежении резонансами высоких порядков радиальный дрейф можно описать автономным гамильтонианом с одной степенью свободы, который является интегрируемым.
Дрейфовые траектории существенно зависят от отношения $v_{\perp} / v_{\|}$. В случае $v_{\|} \ll v_{\perp}$ частицы оказываются захваченными в некоторой области (по $\varphi$ и $\psi$ ) с наружной стороны тора и совершают дрейфовые колебания, не попадая в область более сильного магнитного поля с внутренней стороны тора. Проекция этого движения на плоскость $\psi=$ const имеет форму «банана» (ср. рис. 6.22,a). Амплитуда радиальных колебаний (при $\varphi=0$ ) имеет порядок
\[
\Delta r \sim(R / a)^{1 / 2} \rho_{L} / \text {, }
\]
где $\rho_{L}$ – ларморовский радиус частицы. Подобные траектории для захваченных частиц существуют и в других магнитных полях и не зависят от резонансов между движением по $\varphi$ и по $\psi$ (подробнее см. в [389]).
Дрейфовая поверхность пролетных частиц ${ }^{1}$ ) повторяет форму
1) Пролетными называются частицы, которые совершают полный оборот вокруг малой и большой осей тора, т. е. по ч и $\psi$. Для поля токамака, например, граница между пролетными и захваченными частицами соответствует скорости $v_{\|} \approx v\left(2 r / R_{0}\right)^{1 / 2}$ при $\varphi=0$. – Прим. ред.
магнитной поверхности, отклоняясь от нее на расстояние порядка $\rho_{L} /$. Можно сказать, что дрейфсвой поверхностью в этом случае является просто слегка возмущенная магнитная поверхность.
Дрейфовье резонансы. Если обе функции $B$ и Ф зависят от $\varphi$ и $\psi$, то для пролетных частиц возможны резонансы. Однако из-за того, что скорость дрейфа пропорциональна $\rho_{L}$, размер дрейфовых резонансов мал по сравнению с размером резонанса самих магнитных линий при том же возмущении магнитного поля. Если же присутствует статическое электрическое поле, например, с потенциалом вида
\[
\Phi=\sum \Phi_{m n} e^{i(m \varphi-n \psi)},
\]
то возникают дрейфовые резонснсы независимо от возмущения магнитного поля. Возмущенный дрейф описывается в этом случае системой уравнений вида (6.4.10), причем амплитуды возмущения $\varepsilon A_{m n} \propto \rho_{l} \Phi_{m n}$. Брамбилла и Лихтенберг [39] получили для пространственной полуширины резонанса выражение, аналогичное (6.4.12):
\[
\Delta r=2\left(\frac{e \Phi_{m n}}{T} \frac{R}{a} \frac{\rho_{L}}{d v / d r}\right)^{1 / 2},
\]
где $T$ – температура в энергетических единицах.
Диффузия в статических полях. Хотя размер резонанса (6.4.16) может быть велик по сравнению с амплитудой нерезонансных колебаний (6.4.15), именно последние определяют обычно внешнюю диффузию в статических полях. Причина этого состоит в следующем. В статическом случае положение резонанса (по $r$ ) определяется условием $\omega_{\varphi} / \omega_{\psi}=d \varphi / d \psi=n / m$ и не зависит от $v_{\|}$или $\mu$. Внешняя диффузия за счет столкновений между частицами с изменением $v_{\|}$и $\mu$ относится поэтому к типу, рассмотренному в п. 5.5б. Конечно, если дрейфовые резонансы перекрываются, то скорость диффузии определяется глобальной стохастичностью движения. Однако такое перекрытие возможно лишь в исключительных случаях, так как размер резонансов зависит от малого ларморовского радиуса (6.4.16). Поэтому в дальнейшем мы пренебрежем внутренней диффузией. Правда, резонансы несколько усиливают диффузию даже в отсутствие перекрытия, однако средняя скорость диффузии меняется при этом незначительно (п. 5.5б).
В отличие от дрейфовых резонансов нерезонансные колебания захваченных частиц (6.4.15) существуют везде. Рассеяние частиц изменяет их $v_{\|}$и $\mu$ и может переводить частицы из захваченных в пролетные, и наоборот. В результате частицы смещаются по радиусу. В зависимости от частоты столкновений возможны три режима диффузии.
1. При низкой гастоте столкновений захваченные частицы смещаются, в среднем, на величину $\Delta r$ [см. (6.4.15) за время перехода их в пролетные вследствие диффузии по $v_{\|}$. Поэтому скорость радиальной диффузии в этом режиме пропорциональна частоте столкновений.
2. При промежуточной частоте столкновений захваченная частица переходит в пролетную раньше, чем она успевает совершить полное колебание по радиусу, т. е. ее радиальное смещение за один захват уменьшается по сравнению с (6.4.15). Однако при этом пролетные частицы с относительно малой скоростью $v_{\|}$также вносят существенный вклад в диффузию, расширяя таким образсм область (по $v_{\|}$) эффективного радиального дрейфа. Учет всех этих эффектов приводит к тому, что коэффициент диффузии перестает зависеть от частоты столкновений. Поэтому обычно этот случай называют режимом плато.
3. При высокой частоте столкновений все частицы вносят вклад в диффузию. Характерный масштаб радиального дрейфа между столкновениями равен $\rho_{L} / \alpha$, а коэффициент диффузии снова пропорционален частоте столкновений.
Во всех трех режимах характерный масштаб радиального смещения пропорционален ларморовскому радиусу $\rho_{L}=v_{T} / \Omega$, так что зависимость коэффициента диффузии от магнитного поля имеет классический вид $D \propto \rho_{L}^{2} \propto 1 / B^{2}$. Поэтому такую диффузию называют неоклассической ${ }^{1}$ ). Подробная теория этой диффузии дана в обзоре Галеева и Сагдеева [147]. Как отмечалось в п. 6.3а, аналогичные три режима диффузии существуют и в резонансном каналировании.
