Различные конфигурации магнитного поля. Простейшее (тороидальное) поле создается длинным прямолинейным проводником
1) Это соответствие является формальным и в общем случае несправедливо. Если, например, внешний шум сохраняет энергию (скажем, упругое рассеяние электрона на остаточном газе в магнитной ловушке), то $D_{\perp E} \equiv 0$, тогда как $D_{r}
eq 0 .-$ Прим. ред.

с током. В таком поле частицы дрейфуют поперек магнитных линий, поэтому оно не может служить для удержания плазмы. Добавление азимутального тока приводит к появлению второй компоненты поля, так называемого полоидального поля (рис. 6.20). Магнитные линии результирующєго поля лежат на торе и напоминают фазовые траектории интегрируемой динамической системы на рис. 3.1, $a$.

Для удержания плазмы были разработаны различные установки. Среди них система с жестким токонесущим проводником

Рис. 6.20. Геометрия тороидального мєгнитного поля.

вдоль малой оси тора $r=0$ и аксиальным полем (левитрон), система со спиральной обмоткой на торе $r=a$ (стелларатор) и система с тороидальным током в плазме (токамак).

Уравнения магнитных линий в таких системах можно записать в гамильтоновой форме (см., например, $[137,307,349]^{1}$ )). В случае азимутальной симметрии $\partial / \partial \psi \equiv 0$ (токамак и левитрон) получаются уравнения нелинейного осциллятора с одной степенью свободы, а интегралом движения является магнитный поток, ограниченный магнитной поверхностью (см. ниже). Нарушение азиму-
1) Это связано с «несжимаемостьюз магнитного потока (div $\boldsymbol{B}=0$ ), т. е. сохранением «фазового объема» этой дхнамической системы, который в данном случае является просто трехмерным объемом в обычном пространстве.Прим. ред.

тальной симметрии приводит как бы к явной зависимости гамильтониана от «времениподобной» переменной $\psi$, а следовательно, и к очень сложному движению. В частности, магнитные поверхности разрушаются, образуется магнитная резонансная структура со стохастическими слоями в окрестности сепаратрис и в зависимости от величины возмущения возникает локальная или глобальная диффузия магнитных линий.
Магнитные поверхности. В тороидальной системе координат $(r, \varphi, \psi)$ (рис. 6.20) магнитные линии определяются уравнениями
\[
\frac{d r}{B_{r}}=\frac{r d \varphi}{B_{\psi}}=\frac{R d \psi}{B},
\]

где $r$ и $R=R_{0}+r \cos \varphi-$ малый и большой радиусы линии поля; $B_{r}$ и $B_{\varphi}$ – полоидальные компоненты поля, а $B_{\psi}$ – тороидальная компонента. Магнитное поле в токамаке можно приближенно представить в виде [389]

где $B_{0}=B_{\psi}\left(R_{0}\right)$, а велиРис. 6.21. Сечение магнитных поверхностей левитрона плоскостью $\psi=$ const; $R_{0}=1$ (по данным работы [137]). чина $h_{s}=1+\frac{r}{R_{0}} \cos \varphi$ описывает зависимость поля от угла $\varphi$. В левитроне для обеспечения равновесия плазмы необходимо аксиальное поле, которое вносит дополнительную зависимость от $\varphi$, значительно более сильную, чем в (6.4.2). Пренебрегая последней, можно представить поле левитрона в виде
\[
\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ll}
B_{v} \sin \varphi, & \frac{B_{0}}{\beta r}+B_{v} \cos \varphi, B_{0}
\end{array}\right),
\]

где $B_{v}$ – аксиальное поле (направленное вверх на рис. 6.20 ), а $\beta=$ $=I_{v} /\left(I_{R} R_{0}\right)$ характеризует отношение аксиального $I_{v}$ и азимутального $I_{R}$ токов. Аксиальное поле ослабляет полоидальное на внутренней стороне тора, так что последнее обращается в нуль $\left(B_{\varphi}=0\right)$ в точке $\varphi=\pi, r=B_{0} /\left(\beta B_{v}\right)$. Магнитные линии полей (6.4.2) и (6.4.3), определяемые уэавнениями (6.4.1), заполняют магнтные поверхности, охватывающие малую ось тора и вложенные друг в друга. Сечение магнитных поверхностей левитрона плоскостью $\psi=$ const показано на рис. 6.21. Обратим внимание на магнитную поверхность типа сепаратрисы, которая содержит неустойчивую периодическую траекторию с $B_{\varphi}=0$.

Қак мы увидим ниже, единственным существенным параметром невозмущенной магнитной поверхности является обычное число вращения $\alpha$, или угол «прокручивания» магнитной линии за один оборот вокруг большой оси тора
\[
\imath=\int_{0}^{2 \pi} \frac{d \varphi}{d \psi} d \psi=2 \pi \alpha .
\]

В случае токамака $h_{s} \approx 1$. Вводя переменную действия $\zeta=r^{2} / 2$, приведем уравнения движения (6.4.1) к виду
\[
\frac{d \zeta}{d \psi}=0, \quad \frac{d \varphi}{d \psi}=\frac{\imath(\zeta)}{2 \pi}
\]

с гамильтонианом
\[
H_{0}(\zeta)=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{\zeta} 1(\zeta) d \zeta=\text { const. }
\]

Аналогично, для поля левитрона (6.4.3)
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \zeta}{d z}=B_{v} \sqrt{2 \zeta} \sin \varphi, \\
\frac{d \varphi}{d z}=\frac{1}{2 \beta \zeta}+\frac{B_{v}}{\sqrt{2 \zeta}} \cos \varphi,
\end{array}
\]

где $z=\psi / 2 \pi$, и принято, что $B_{0}=1$. Эти уравнения можно получить из гамильтониана
\[
H=-\frac{1}{\beta}\left[\ln \left(\frac{8}{\sqrt{2 \zeta}}\right)-2\right]+B_{v} \sqrt{2 \zeta} \cos \varphi .
\]

Перейдем к переменным действие – угол (см. §1.2)
\[
\begin{array}{l}
J=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \zeta d \varphi, \\
\bar{\varphi}=\frac{\partial S(J, \varphi)}{\partial J},
\end{array}
\]

где $S$ – производящая функция. С точностью до членов, квадратичных по $J$, получаем (см. § 2.2 или 2.5):
\[
H_{0}=\frac{1}{\beta} \ln \left(\frac{8}{\sqrt{2 J}}-2\right)-2 B_{v}^{2} \beta J-\frac{3}{2} B_{v}^{4} \beta^{3} J^{2} .
\]

Угол прокручивания $\iota=d H_{0} / d J$ определяет магнитную поверхность. Подчеркнем, что при наличии азимутальной симметрии

(по $\psi$ ) гамильтониан магнитных линий описывает интегрируемую систему с одной степенью свободы.
Резонансы. Рассмотрим модель возмущенного магнитного поля с гамильтонианом
\[
H=H_{0}(J)+\varepsilon H_{\mathbf{1}}(J, \bar{\varphi}, \psi) .
\]

Разлагая вокруг невозмущенной траектории $J=J_{0}+\Delta J$ и $\bar{\varphi}=$ $=\frac{1}{2 \pi} \psi+\Delta \bar{\varphi}$, получаем уравнения
\[
\begin{array}{c}
\frac{d \Delta J}{d \psi}=\varepsilon \sum_{m, n} A_{m n} \cos \left(m \bar{\varphi}-n \psi+\chi_{m n}\right), \\
\frac{d \Delta \bar{\varphi}}{d \psi}=-\frac{1}{2 \tau} \frac{\partial \iota}{\partial J} \Delta J,
\end{array}
\]

где $A_{m n}$ – амплитуды Фурье для $\partial H_{1} / \partial \bar{\varphi}$.
Рассмотрим резонансные невозмущенные магнитные поверхности, для которых $d \varphi / d \psi=n / m$. Переходя к резонансным переменным (см. § 2.4)
\[
\tilde{\varphi}=m \bar{\varphi}-n \dot{\psi},
\]

находим следующий гамильтониан возмущенного движения:
\[
\tilde{H}=\frac{m^{2}}{2 \pi} \frac{d t}{d J} \frac{(\Delta \tilde{\jmath})^{2}}{2}+\varepsilon A_{m n} \cos \tilde{\varphi}
\]

где $\tilde{\Delta J}=\Delta J / m$. Полуширина резонанса, согласно (2.4.31), равна
\[
\Delta \tilde{J}_{\text {макс }}=\frac{2}{m}\left|\frac{\varepsilon A_{m n}}{(1 / 2 \pi) d \mathrm{l} / d J}\right|^{1 / 2}
\]

В работе [137] произведен численный расчет магнитного поля лєвитрона, возмущенного с помощью наклона кольцевого проводника. Для резонанса $m=n=1 \quad(\iota=2 \pi)$ получено прекрасное согласие с аналитическим выражением (6.4.12), если только возмущение не превышает порог глобальной стохастичности. Для относительно больших возмущений наблюдалось образование вторичных резонансов, как и предсказывает теория в § 2.4 и 4.3. На рис. 6.22 , а показано теоретическое (сплошная линия) и найденное численно сечение резонансной магнитной поверхности для невозмущенного $\iota=2 \pi$. Локальное число вращения в центре резонанса $\alpha=1 /(5,6)$, и поэтому вторичные резонансы не видны. На рис. 6.22 , б возмущение увеличено, так что $\alpha=1 / 4$ (вторичный резонанс на четвертой гармонике). Результаты численного счета (кружки) теперь уже не ложатся на теоретическую кривую, а соответствующая магнитная линия оказывается стохастической.

Теоретический анализ (см. п. 2.4б) показывает, что вторичные резонансы с $\alpha=1 / 4$ и $\alpha=1 / 5$ перекрываются, что и приводит к наблюдаемой стохастичности.

Аналогичные результаты для винтовой обмотки были получены Розенблютом и др. [349] и Филоненко и др. [129]. Возмущения общего вида в токамаках рассматривались Речестером и Стиксом [343] и Финном [130]. В этих работах исследовались также перекрытие резонансов и внутренняя диффузия ${ }^{1}$ ). Во всех случаях рассматривалось возмущение и разрушение только магнитных поверхностей. Принималось, что заряженные частицы двигаются точно вдоль магнитных линий и конечный размер ларморовского радиуса не играет роли. Поскольку мы рассматриваем задачи, эквивалентные двум степеням свободы, то внутренняя диффузия возникает только при перекрытии резонансов (гл. 5), тогда как диффузия влоль резонансов отсутствует.