Вычислим коэффициенты переноса (5.4.6) и (5.4.7) и сравним их с результатами численного моделирования. Для отображения Улама (3.4.4) в простейшем случае ${ }^{2}$ ) $n \equiv \Delta n=1$, и в предположении
1) Фактически для этого нужно (см. примечание редактора на с. 317), чтобы корреляционный масштаб времени $n_{c}$ был бы много короче диффу. зионного масштаба $n_{D} \sim u^{2} / D \sim u^{2}\left[D \sim f^{2} \sim 1\right.$, см. (5.4.2)]. Поскольку $u \leqslant u_{\mathrm{s}} \sim M^{1 / 2}$ и $n_{c} \sim 1$, грубое условие диффузионного описания есть $M \gg 1 .-$ Прим. ред.
2) Формально при этом нарушается первое условие (5.4.4), однако оно нужно только для перехода к дифферешциальному уравнению (5.4.5), но не для вычисления $D$.- Прим. ред.

о равнораспределении по фазе получаем
\[
B=\int_{0}^{1} d \psi \Delta u=0, \quad D=\int_{0}^{1} d \psi(\Delta u)^{2}=\frac{1}{12},
\]

где $\Delta u(\psi)=\psi-1 / 2$.
Этот результат, полученный 3 приближении случайных фаз ${ }^{1}$ ), сравнивается на рис. 5.10 с численными данными по зависимости $D$ от $n$ при различных началыных значениях скорости $u$. Значения $D$

Рис. 5.10. Зависимость коэффиниента диффузии $D$ от времени для отображения (3.4.4) (по данным работы [274]).
$M=10^{\ddagger} ; 10^{3}$ траекторий с различными начальными условиями: сплошные кривые однородное распредсление по фазе; пунктиғная кривая $-\Delta \psi=10^{-3} ; u=30$.

находились по 1000 траекториям отображения (3.4.4) с $M=10^{4}$, что соответствует $u_{s}=50$. Для $a=10,20,30,40$ и однородногс начального распределения траекторий по фазе вклад корреляций
1) Этот популярный, но неудачный термин означает на самом деле не просто случайность фазы $\psi$, но еще и полную статистическую независимость ее последовательных значений $\psi(n)$, что эквивалентно условию $n_{c}=0$. Прим. ред.

оказывается пренебрежимо малым, и $D(u, n)=D(u, 1)=1 / 12$. Однако для $u=50$ корреляции существенно влияют на зависимость $D$ от $n$ даже при $n>200$. При $u=60$ наблюдается другой эффект, связанный с тем, что часть траекторий оказывается в устойчивых областях и не дает вкладє в диффузию. Наконец, в случае неравномерного начального распределения по фазе наблюдается некоторый переходный процесс, показанный пунктирной кривой на рис. 5.10 для $u=30$ и начальной ширины распределения $\Delta \psi=10^{-3}$. Оценка (5.4.10) дает в этом случае $n_{c} \approx 3$, что соответствует по порядку величины данным рис. 5.10.

При учете смещения стенки величины $u$, $\psi$ не являются каноническими переменными (п. 3.4а). Перейдем поэтому к каноническим переменным $E, \theta$. Для функции распределения по «энергии» $E=u^{2}$ уравнение ФПК имеет вид
\[
\frac{\partial \bar{P}}{\partial n}=-\frac{\partial}{\partial E}(\bar{B} \bar{P})+\frac{1}{2} \frac{\partial^{2}}{\partial E^{2}}(\bar{D} \tilde{P}),
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\bar{B}(E)=\frac{1}{\Delta n} \int \Delta E \bar{W}_{t} d(\Delta E), \\
\bar{D}(E)=\frac{1}{\Delta n} \int(\Delta E)^{2} \bar{W}_{t} d(\Delta E) ;
\end{array}
\]

здесь $\widetilde{W}_{t}$ – вероятность перехода (см. п. 5.4a). Из (3.4.2а) и определения $E$ получаем $\left(-F^{\prime} \leftrightharpoons f ; \Delta n=1\right.$ ):
\[
\Delta E=2 E^{\prime} \hat{i}+f^{2} \text {. }
\]

Для случайных и независимых значений канонической фазы $\theta$ вероятность
\[
\bar{W}_{t} d(\Delta E)=\frac{d \theta}{2 \pi},
\]

а из $(3.4 .2 \mathrm{~B})$
\[
d \psi_{c}=d \theta-\frac{1}{2} E^{-1 / 2} f d \psi_{c} .
\]

Если, кроме того, функция $f\left(\psi_{c}\right)$ нечетна по $\psi_{c}$, то
\[
\bar{B}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} 2 f^{2} d \psi_{c} .
\]

Аналогичные вычисления дают
\[
\bar{D}=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi}\left(4 E f^{2}+3 f^{4}\right) d \psi_{c} .
\]

Для отображения (3.4.4) $f=\psi_{c} / 2 \pi$, откуда $\bar{B}=1 / 6$ и $\bar{D}=E / 3+$

$+3 / 80$, что удовлетворяет соотношению (5.4.8). Обратный переход к переменным $u$, $\psi$ дает
\[
D=\bar{D} / 4 E, \quad B=(\bar{B}-D) /\left(2 E^{1 / 2}\right) .
\]

Выражения $B=(24 u)^{-1}$ и $D=1 / 12$ были получены впервые Израйлевым и Ждановой [209] непосредственно из точного отображения (3.4.1) ${ }^{1}$ ). Отметим, что соотношение (5.4.8) в этом случае не выполняется из-за неканоничности переменных $u$ и $\psi$. Более детальное описание дано в работе Лихтенберга и др. [272 ].