Опишем теперь вкратце предложенный Персивалем [328, 330, 331$]$ метод нахождения инвариантного тора, когда он существует. Метод основан на некотором вариационном принципе, похожем на примененный в п. 2.66 в случае периодических траекторий. Здесь также удобно использовать уравнения Лагранжа [330, 331, 228$].$

Следуя Персивалю [331], рассмотрим лагранжиан $L(\boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}})$ автономной системы с $N$ степенями свободы. Зададим инвариантный тор с помощью вектора частот $\boldsymbol{\omega}$, а траекторию на нем — с помощью координат $\boldsymbol{q}_{\boldsymbol{\omega}}(\boldsymbol{\theta})$, где $\boldsymbol{\theta}$ — угловые переменные на торе. Тогда вариационный принцип можно сформулировать в виде
\[
\delta\left\langle L\left(\boldsymbol{\omega} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{q}_{\boldsymbol{\omega}}}{\partial \boldsymbol{\theta}}, \quad \boldsymbol{q}_{\boldsymbol{\omega}}\right)\right\rangle=\delta\langle L\rangle=0,
\]

причем $\boldsymbol{\omega}$ при варьировании остается фиксированным. Здесь $\boldsymbol{\omega} \cdot \partial \boldsymbol{q}_{\boldsymbol{\omega}} \partial \boldsymbol{\theta}=\dot{\boldsymbol{q}}$, а символ \langle\rangle означает усреднение по всем угловым переменным. Следует обратить внимание на близкое соответствие между выражениями (4.6.1) для инвариантного тора и (2.6.25) для периодической траектории. Выполняя варьирование, получаем уравнения Лагранжа:
\[
\boldsymbol{\omega} \cdot \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\boldsymbol{q}}}\right)-\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{q}}=0 .
\]

Если $\boldsymbol{q}_{\boldsymbol{\omega}}(\boldsymbol{\theta})$ является решением (4.6.2), то $\boldsymbol{q}_{\boldsymbol{\omega}}\left(\boldsymbol{\omega} t+\boldsymbol{\theta}_{0}\right)$ определяет на торе траекторию с начальной координатой $\boldsymbol{q}_{\omega}\left(\boldsymbol{\theta}_{0}\right)$ и скоростью $\boldsymbol{\omega} \cdot \partial \boldsymbol{q}_{\boldsymbol{\omega}} / \partial \boldsymbol{\theta}_{0}$.

При численном решении задачи разлагаем $q_{\omega}$ в многомерный ряд Фурье по угловым переменным
\[
q_{\omega}(\boldsymbol{\theta})=\sum_{m} Q_{m} \exp (i \boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{\theta})
\]

и оставляем некоторое конечное число членов. Подставляя (4.6.3) в (4.6.1) и проводя варьирование по коэффициентам Фурье, получаем систему алгебраических уравнений для $Q_{m}$, которую можно решить итерированием. Метод решения аналогичен описанному в п. 2.66, и мы не будем его здесь повторять.

Этот метод применялся Персивалем и его учениками к некоторым нелинейным задачам молекулярной динамики, в частности

для вычисления квазиклассических колебательных уровней энергии многоатомных молекул [332, 333, 329]. Персиваль [331] также использовал этот метод при нахождении перехода к глобальной стохастичности для стандартного отображения. Он получил, что инвариантная кривая с $\alpha=\alpha_{g}$ разрушается при $K=0,9716$. При этом критерием разрушения служила расходимость итераций для коэффициентов Фурье. Хотя полученное им значение $K$ находится в прекрасном согласии с результатом Грина, Персиваль отмечает, что расходимость итераций может объясняться и появлением резонансных знаменателей. Подробности этих исследований можно найти в цитированных выше работах.