Перейдем теперь к описанию метода [117, 118], позволяющего исследовать разрушение инвариантных кривых между двумя произвольными резонансами. Этот метод основан на изучении структуры фазовой плоскости вблизи инвариантной кривой на все более мелком масштабе. При правильном выборе исследуемой инвариантной кривой можно определить таким путем переход к сильной (или «глобальной») стохастичности.

Основой метода является псследовательная ренормализация исходного гамильтониана таким образом, что каждый новый гамитьтониан сохраняет свою форму, но при этом описывает резонансы все более и более высокого порядка. На каждом этапе ренормализации принимаются во внимание только два наиболее важных резонанса, лежащие по обе стороны от исследуемой инвариантной кривой. Если параметр перекрытия этих резонансов стремится к нулю в процессе ренормализации, то инвариантная кривая существует.

Следуя Эсканде и Довейлу, рассмотрим гамитьтин для частицы, взаимодействующей с двумя волнами:
\[
H_{\omega}=\frac{p^{2}}{2 m}-V_{1} \cos \left(k_{1} x-\omega_{1} t\right)-V_{2} \cos \left(k_{2} x-\omega_{2} t\right),
\]

и введем новые переменные
\[
\begin{array}{c}
\psi=k_{1} x-\omega_{1} t, \\
I=-\frac{p / m-v_{1}}{v_{2}-v_{1}}, \\
\Omega=k_{1}\left(v_{2}-v_{1}\right),
\end{array}
\]

тде $v_{1}=\omega_{1} k_{1}$ и $v_{2}=\omega_{2} / k_{2}$ – фазовые скорости волн. В новых переменных гамильтониан (4.5.1) примет вид
\[
H_{1}=\frac{I^{2}}{2}-M \cos \psi-P \cos k(\psi-\Omega t),
\]

где
\[
k=\frac{k_{2}}{k_{1}}
\]

равно отношению волновых векторов,
\[
M=\frac{V_{1}}{m\left(v_{2}-
u_{1}\right)^{2}}
\]

характеризует «основной» резонанс, а
\[
P=\frac{V_{2}}{m\left(
u_{2}-v_{1}\right)^{2}}
\]
– возмущение. Гамильтониан (4.5.3) описывает движение маятника, возмущенного волной с частотой $\Omega$. Именно такая форма гамильтониана и будет сохраняться при ренормализации. Для невозмущенной системы ( $P=0$ ) с гамильтонианом $H_{0}(J)$ переменные действия $J$ и фазы $\theta$ определяются формулами (1.3.10) и (1.3.11), а частота вращения $\omega(J)$ – соотношением (1.3.13). В предельном случае равномерного вращения ( $M=0$ )
\[
\omega(J)=J=I \text {. }
\]

Исследуем теперь условия существования инвариантной кривой с обратным числом вращения
\[
\frac{1}{\alpha}=Q(J)=\frac{k \Omega}{\omega(J)}
\]

в присутствии возмущения. При этом гамильтониан принимает вид
\[
H=H_{0}(J)-P \cos k[\psi(J, \theta)–\Omega t] .
\]

В стучае вращения
\[
\psi=\theta+\chi(J, \theta),
\]

где $\chi$ – периодично по $\theta$ с периодом $2 \pi$ и выражается через элтиптические функции. Это позволяет разложить $H$ в ряд Фурье
\[
H=H_{0}(J)-P \sum_{n=-\infty}^{\infty} U_{n}(J) \cos [(k-n) \theta-k \Omega t] .
\]

Вторичные резонансы между гармониками частоты вращения $\omega\left(J_{n}\right)$ и основной частотой возмущения $k \Omega$ удовлетворяют условию
\[
(k+n) \omega\left(J_{r}\right)-k \Omega=0,
\]

причем для них
\[
Q_{n}=\frac{k \Omega}{\omega\left(J_{r}\right)}=k+n .
\]

На рис. 4.11 приведен пример таких резонансов ( $k=2$ ) как в исходных переменных $I, \psi$, так и в переменных $J, \theta$. Центр основного, $M$-резонанса расположен при $J_{m}=0$, а режим вращения фазы $\psi$ начинается выше его сепаратрисы для $J>J_{s}=4 \sqrt{M} /$. Возмущающий $P$-резонанс $\left(n=0\right.$ ) расположен около $J_{p} \approx I$ (точнее, $\omega\left(J_{p}\right)=\Omega$ ). На рисунке также приведено несколько вторичных резонансов с $n \geqslant 1$ [см. (4.5.10)], гармоника которых по $\theta$ равна $Q_{n}=k+n[\mathrm{~cm}$. (4.5.9)].

Рассмотрим инвариантную кривую вблизи $J=J_{0}$, расположенную между резонансами $M$ и $P$, с
\[
Q\left(J_{0}\right)=\frac{k \Omega}{\omega\left(J_{0}\right)} .
\]

Пусть $^{1)}$
\[
Q>k–1,
\]

так что кривая лежит между вторичными резонансами $n$ и $n \cdot 1$ (см. рис. 4.11), где $n>1$ – целая часть
\[
z=Q-k=n+\delta k,
\]

а $\delta k=\{z\}_{f}$ – дробная часть $z$. В дальнейшем нам будет удобнее задавать $n$ и $\delta k$, а не $Q$.
1) Если же $Q<k \div 1$, то, переобозначив резонансы в (4.5.1), получим: $Q>k+1$.

Для получения ренормализованного гамильтониана, соответствующего значению $Q$, пренебрежєм в (4.5.9) всеми вторичными резонансами, кроме $n$ и $n+1$. Так как рассматриваемая система не вырождена, то изменение переменной действия мало (см. п. 2.4а), и можно разложить $H_{0}$ по $\Delta J=J-J_{0}$ до квадратичных членов включительно:
\[
\begin{array}{c}
H \approx H_{0}\left(J_{0}\right)+\omega\left(J_{0}\right) \Delta J+\frac{1}{2} G\left(J_{0}\right)(\Delta J)^{2}- \\
-P U_{n}\left(J_{0}\right) \cos [(k+n) \theta-k \Omega t] \ldots P U_{n+1}\left(J_{0}\right) \cos [(k-n+1) \theta-k \Omega t],
\end{array}
\]

где $G$ – обычный параметр нелинейности:
\[
G=\left(\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial J^{2}}\right)_{0} .
\]

Выберем в качестве основного резонанса $\bar{M}$ наиболее близкий к $Q$ вторичный резонанс и обозначим оставшийся резонанс через $\vec{P}$. Произведем каноническое преобразование к таким новым переменным $\bar{I}, \bar{\psi}$, чтобы ренормализованный гамильтониан
\[
\bar{H}=\frac{\bar{I}^{2}}{2}-\bar{M} \cos \psi-\bar{P} \cos \bar{k}(\bar{\psi}-\bar{\Omega} t)
\]

принял вид исходного (4.5.3). При этом
\[
\begin{array}{l}
\bar{\psi}=(k+n+\lambda) \theta-k \Omega t, \\
\bar{\Omega}=\frac{(2 \lambda-1) k \Omega}{(k+n+1-\lambda)}, \\
\bar{z} \equiv \bar{n}+\delta \bar{k}=\frac{(1-\lambda-\delta k)}{(\delta k-\lambda)}, \\
\bar{k}=\frac{(k+n+1-\lambda)}{(k+n+\lambda)}, \\
\bar{M}=P U_{n+\lambda} \beta^{2} G, \\
\bar{P}=P U_{n+1-\lambda} \beta^{2} G,
\end{array}
\]

где снова $\vec{n}$ и $\delta \bar{k}-$ целая и дробная части
\[
\bar{z}=\bar{Q}-\bar{k},
\]
$\lambda(\delta k)$ – единичная ступенчатая функция:
\[
\lambda(\delta k)=\left\{\begin{array}{l}
0, \quad \delta k<\frac{1}{2}, \\
1, \quad \delta k \geqslant \frac{1}{2}
\end{array}\right.
\]

ห
\[
\beta=\frac{(k+n)(k+n+1)}{k} .
\]

Уравнения (4.5.20) определяют ренормализационную группу $\mathscr{T}$ :
\[
\mathscr{T}:(\delta k, n, k, M, P) \rightarrow(\delta \bar{k}, \bar{n}, \bar{k}, \bar{M}, \bar{P}),
\]
т. е. отображение в пространстве параметров, которое допускает последовательные итерации. Аналитическое исследование этого пятимерного (негамильтонова) отображения связано с большими трудностями. Эсканде и Довейл замечают, что $\delta \bar{k}$ и $\bar{n}$ зависят только от $\delta k$, и исследуют неподвижные точки одномерного отображения
\[
\delta \bar{k}=\left\{\frac{(1-\lambda-\delta k)}{(\delta k-\lambda)}\right\}_{f},
\]

которое получается из (4.5.20a). Для неподвижных точек $\delta k_{n}^{\lambda}$ имеем
\[
\begin{array}{r}
\delta k_{n}^{0}=\frac{1}{2}\left(\left(n^{2}+2 n+5\right)^{1 / 2}-n-1\right)=[n+1, n+1, n+1, \ldots], \\
\left.\delta k_{n}^{1}=\frac{1}{2}\left(\left(n^{2}+4 n\right)^{1 / 2}-n\right)=[1, n, 1, n, \ldots], \quad \text { (4.5.246) }\right)
\end{array}
\]

где скобки [ ] означают разложение в непрерывную дробь. В этих неподвижных точках с
\[
Q=Q_{n}^{\lambda}=k+n+\delta k_{n}^{\lambda}
\]

отображение $\mathscr{T}$ переходит в трехмерное отображение
\[
\mathscr{A}_{n}^{\lambda}:(k, X, Y) \rightarrow(\bar{k}, \bar{X}, \bar{Y}),
\]

где $X=2 \sqrt{\bar{M}} / \Omega$ и $Y=2 \sqrt{\bar{P}} / \Omega$ имеют смысл относительной полуширины резонансов. Отображение $\mathscr{M}_{n}^{\lambda}$ имеет две притягивающие точки: $\left(k_{n}^{\lambda}, 0,0\right)$ и $\left(k_{n}^{\lambda}, \infty, \infty\right)$ [117], где $k_{n}^{\lambda}$ – устойчивая неподвижная точка одномерного отображения (4.5.20б). Подставляя $\vec{k}=k=k_{n}^{\lambda}$ в (4.5.20б) и используя (4.5.24), получаем для устойчивого (положительного) корня:
\[
k_{n}^{\lambda}=\delta k_{n}^{\lambda}+1-\lambda .
\]

Если итерации отображения $\mathscr{M}_{n}^{\lambda}$ для начальных ( $k, X, Y$ ) и выбранного $n$ (и соответствующего ему $i$ ) сходятся к первой притягивающей точке, то значения $X$ и $Y$ в процессе ренормализации стремятся к нулю и инвариантная кривая должна существовать. Если же итерации сходятся ко второй притягивающей точке, то инвариантная кривая, по-видимому, разрушена. На рис. 4.12 кривые $Y(X)$ показывают границу между двумя областями притяжения при фиксированном $k$. При заданном отношении $X / Y$ эти кривые дают максимальное (в зависимости от $n$ и $\lambda$, а следовательно, и от $Q_{n}^{\lambda}$ ) значение параметра перекрытия резонансов $S=X+Y$, для которого между резонансами $M$ и $P$ еще существует инвариантная кривая. Цифры в скобках указывают значения $n$, для которых

Рис. 4.12. Зависимость $Y$ от $X$ для $\lambda=1$ и $k=1,2,3,4$ (по данным работы [117]).
Числа в круглых скобках дают значения $n$.

достигается максимум $S$. Слева от крестов на каждой из кривых величина $Q_{n}^{\lambda}$ определяется согласно (4.5.25), а справа резонансы $M$ и $P$ меняются местами, поэтому вместо (4.5.25) имеем
\[
Q_{n}^{\lambda}=k+\left(n+\delta k_{n}^{\lambda}\right)^{-1} \text {. }
\]

Кривые $Y(X)$ непрерывно зависят от $k$, например, кривая с $k=$ $=3 / 2$ расположена примерно посередине между кривыми с $k=1$ и $k=2$. Можно показать, что $(k, X, Y)$ и ( $1 / k, Y, X$ ) определяют одну и ту же систему. Поэтому рис. 4.12 представляет также слу-

чаи с $k=1 / 2 ; 1 / 3 ; 1 / 4$. Для сравнения пунктирная прямая показывает правило двух третей ${ }^{1}$ ): $S=2 / 3$.

Эсканде и Довейл сравнили свои теоретические предсказания для границы стохастичности с результатами численного моделирования системы (4.5.3). Для $X / Y$ в интервале $1-5$ и $k$ в интервале $1 \div 4$ предсказанные критические значения $S$ оказались на $3 \div 10 \%$ ниже численных ${ }^{2}$ ). Было проведено также сравнение с результатами Грина для стандартного отображения, гамильтониан которого можно записать в виде ( $k=1 ; \Omega=1$ ):
\[
H=\frac{I^{2}}{2}-\frac{S^{2}}{16} \sum_{m=-\infty}^{\infty} \cos (\psi-m t) .
\]

Критическое значение Грина $K=0,9716$ соответствует $S=$ $=2 \sqrt{K} / \pi=0,6275$. Если оставить только два резонанса, так что
\[
H=\frac{I^{2}}{2}-\frac{S^{2}}{16} \cos \psi-\frac{S^{2}}{16} \cos (\psi \rightarrow t),
\]

то из данных на рис. 4.12 (для $X=Y$ и $k=1$ ) получаем $S=0,70$ или $K=1,21$ при
\[
Q=Q_{1}^{1}=2+\frac{\sqrt{5}-1}{2} ; \quad \alpha=\frac{1}{Q}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}=1-\alpha_{g} .
\]

Это – одна из двух инвариантных кривых «золотого сечения», найденных Грином. Как и ожидалось, критическое значение $S$ (или $K$ ) для двух резонансов больше, чем для отображения, которое имеет бесконечное число резонансов. Численное моделирование системы (4.5.28) дает $S=0,74$. Это не противоречит полученному на рис. 4.12 значению $S=0,70$, если учесть, что точность численного моделирования непрерывной системы значительно хуже, чем для отображения.

Хотя описанный метод ренормализации и дает достаточно точное значение границы стохастичнссти, он является приближенным. Основная погрешность связана с тем, что на каждом шаге ренормализации учитываются только два из бесконечного числа вторичных резонансов. Это ясно видно из сравнения системы (4.5.27) с бесконечным числом резонансов и (4.5.28) с двумя резонансами. В этом крайнем случае влияние дополнительных резонансов приводит к заметному снижению критического значения с $S=0,74$ до $S=$ $=0,63$. Другие источники ошибок, такие, как разложение только до квадратичных членов в (4.5.15) или учет только некоторых значений $Q_{n}^{\lambda}$, менее существенны.
1) Существенно новый эффект, обнаруженный с помощью ренормализации, состоит в значительном повышении критического параметра перекрытия $S$ при $X \geqslant Y$ или $X \ll Y$. Это связано с «отталкиванием» слабого резонанса сильным (подробнее см. в $[117,464]$ ).- Прим. ред.
2) См. примечание редактора на с. 248.– Прим. ред.

Обобщение метода на автономные системы с двумя степенями свободы и амплитудами $M$ и $P$, зависящими от импульсов, а также на области внутри резонансов, является относительно несложным [118]. Последнее обобщение позволит по-новому исследовать бифуркации периодических траектсрий.