Геометрическая картина. Вернемся к гамильтониану (6.1.7)
\[
H_{0}=I_{1}^{2}+\left(6 I_{2}\right)^{2} \text {, }
\]

резонансные и энергетические поверхности (линии) которого показаны на рис. 6.2. На рис. 6.16 в увеличенном масштабе изображен участок рис. 6.2, ограниченный пунктиром. Введем резонансное возмущение
\[
H_{1}=V_{R}\left(I_{1}, I_{2}\right) \cos \left(6 \theta_{1}-\theta_{2}\right) .
\]

Вектор единственного резонанса $m_{R}=(6,-1)$ определяет направление фазовых колебаний вдоль невозмущенной энергетической поверхности, как показано на рис. 6.16. Пунктиром показана полная ширина резонанса, ограничивающая максимальную амплитуду фазовых колебаний. Це:тр колебаний лежит на линии резонанса в точке $A$.
1) Қак и в случае диффузии Арнольда, здесь существует область Нехорошева (п. 6.2 в), в которой диффузия идет под действием комбинационных резонансов высоких гармоник. Для модуляционной диффузии такой режим наблюдался, по-видимому, в численных экспериментах [513].- Прим. ред.
2) Отметим также, что описанная выше модуляционная диффузия, и особенно диффузия Арнольда в тонком с.ое, становится практически интересной только в присутствии (слабого) внешнего шума, который распространяет такую диффузию на все начальные условия. Можно сказать также, что средняя скорость внешней диффузии резко возрастает за счет диффузии в стохастических слоях (см. [70, §7.7]).- Прим. ред.
3) Авторы используют термин «resonance streaming» (резонансное течение).- Прим. перев.

Рассмотрим теперь влияние не сохраняющего энергию внешнего шума, который мы будем характеризовать мгновенным смещением системы из точки $a$ в точху $b$ на расстояние $l$ (рис. 6.16). При этом центр колебаний сдвигается вдоль линии резонанса из точки $A$ в точку $B$ на расстояние
\[
L=l \frac{\sin \chi}{\sin \psi} .
\]

Рис. 6.16. Резонансное каналирование (по данным работы [405]).
Под действием внешнего шума система переходит из точки $a$ в точку $b$, а центр фазовых колебаний смещается из точки $A$ в точку $B$.
За много случайных смещений среднее от $\sin ^{2} \chi$ будет порядка единицы, тогда как $\sin \psi \approx$ const локально. В результате при $\psi \ll 1$ скорость диффузии вдоль резонанса резко возрастает. Будем называть такую диффузию резонансным каналированием. Определим коэффициент диффузии вдоль резонанса формулой
\[
D_{\text {кан }}=\frac{1}{2} R\left\langle L^{2}\right\rangle,
\]

где $R$ — число случайных смещений системы в единицу времени. Сравним это с классической диффузией по нормали к энергетической поверхности:
\[
D_{-E}=\frac{1}{2} R\left\langle l^{2} \sin ^{2} \chi\right\rangle
\]

Отсюда
\[
D_{\text {кан }}=\frac{D_{\perp E}}{\sin ^{2} \psi} .
\]

Pacчет диффузии. Если коэффициент внешней диффузии $D_{0}$ не зависит от направления на плоскости $\left(I_{1}, I_{2}\right)$, то $D_{E}=D_{0}$ и $D_{\text {кан }}=$ $=D_{0} / \sin ^{2} \psi$. В случае анизотропной диффузии предположим, что тензор внешней диффузии имеет вид
\[
\mathrm{D}=\left(\begin{array}{ll}
D_{1} & 0 \\
0 & D_{2}
\end{array}\right)
\]
т. е. оси $I_{1}$ и $I_{2}$ совпадают с главными направлениями D. Тогда начальное распределение в виде $\delta$-функции эволюционирует по закону [62]
\[
F=\frac{1}{4 \pi t\left(D_{1} D_{2}\right)^{2}} \exp \left(-\frac{I_{1}^{2}}{4 D_{1} t}-\frac{I_{2}^{2}}{4 D_{2} t}\right) .
\]

Введем новые переменные $I_{1}^{\prime}, I_{2}^{\prime}$, соответствующие повороту осей на угол $\theta$, так что ось $I_{2}^{\prime}$ направлена перпендикулярно энергетической поверхности (рис. 6.16). Имеем
\[
\left(\begin{array}{l}
I_{1} \\
I_{2}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
I_{1}^{\prime} \\
I_{2}^{\prime}
\end{array}\right) .
\]

Подставляя эго соотношение в (6.3.5) и интегрируя по $I_{1}^{\prime}$, получаем
\[
\int F^{\prime}\left(I_{1}^{\prime}, I_{2}^{\prime}, t\right) d I_{1}^{\prime} \propto \exp \left(-\frac{\left(I_{2}^{\prime}\right)^{2}}{4 D_{t . E} t}\right),
\]

где
\[
D_{\perp E}^{-1}=\frac{\frac{1}{2}\left(D_{1}^{-2}+D_{2}^{-2}\right) \sin ^{2} 2 \theta+D_{1}^{-1} D_{2}^{-1} \cos ^{2} 2 \theta}{D_{1}^{-1} \cos ^{2} \theta+D_{2}^{-1} \sin ^{2} \theta}
\]
— коэффициент диффузии по $I_{2}^{\prime}$. Зная $D_{\perp_{E}}$, из (6.3.4) находим $D_{\text {кан }}$.

Другой метод состоит в выборе таких новых переменных $\bar{I}$, в которых тензор диффузии становится изотропным. Иначе говоря, константы метрики $g^{i_{j}}$ нового пространства действий выбираются так, чтобы
\[
D^{i j}=\bar{D}_{0} g^{i j},
\]

где $D^{i j}$ — компоненты исходного тензора внешней диффузии, а

$\bar{D}_{0}$ — коэффициент изотропной диффузии. Если, например,
\[
\mathbf{D}=\bar{D}_{0}\left(\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 36
\end{array}\right)
\]

то новые элементы длины равны
\[
\begin{array}{l}
d s_{1}=d I_{1} / \sqrt{g^{11}}=d I_{1}, \\
d s_{2}=d I_{2} / \sqrt{g^{22}}=d I_{2} / 6 .
\end{array}
\]

После этого можно, но не обязательно, сделать формальное преобразование к новым переменным
\[
\bar{I}_{1}=I_{1}, \quad \bar{I}_{2}=\frac{1}{6} I_{2} .
\]

В обоих случаях диффузия будет изотропной. Эти преобразования иллюстрируются на рис. 6.17 для невозмущенного гамильтониана
\[
H_{0}=I_{1}^{2}+I_{2}^{2}
\]

и тензора диффузии (6.3.9). В новых переменных (6.3.11) невозму. щенный гамильтониан (6.3.12) принимает вид
\[
\bar{H}_{0}=\bar{I}_{1}^{2}+\frac{D_{2}}{D_{1}} \bar{I}_{2}^{2}=\bar{I}_{1}^{2}+\left(6 \bar{I}_{2}\right)^{2} .
\]

Замена переменных соответствует производящей функции
\[
F_{2}=\theta_{1} \bar{I}_{1}+6 \theta_{2} \bar{I}_{2},
\]

откуда
\[
\vec{\theta}_{1}=\frac{\partial F_{2}}{\partial \bar{I}_{1}}=\theta_{1} ; \quad \vec{\theta}_{2}=\frac{\partial F_{2}}{\partial \bar{I}_{2}}=6 \theta_{2} .
\]

Старое условие резонанса $\omega_{1}-\omega_{2}=0$ заменяется новым
\[
6 \bar{\omega}_{1}-\bar{\omega}_{2}=0,
\]

или в переменных действия
\[
\bar{I}_{2}=\bar{I}_{1} \sqrt{\frac{D_{1}}{D_{2}}}=\frac{\bar{I}_{1}}{6} .
\]

Тем самым мы фактически пришли к модели невозмущенного гамильтониана (6.1.7). Используя (6.3.13) и (6.3.16), находим $\sin ^{2} \psi=$ $=4 D_{1} D_{2} /\left(D_{1}+D_{2}\right)^{2}$ и соответственно величину коэффициента диффузии центров колебаний в пространстве новых переменных
\[
\frac{1}{\sin ^{2} \psi}=\frac{\bar{D}_{\text {кан }}}{\bar{D}_{0}}=\frac{\left(D_{1}+D_{2}\right)^{2}}{4 D_{1} D_{2}} \approx 9,5 .
\]

Скорость диффузии в исходных пејеменных получается с помощью обратного преобразования переменных.

Следуя Теннисону [405], рассмотрим пример резонансного каналирования для гамильтониана
\[
H=I_{1}^{2}+\left(6 I_{2}\right)^{2}+V_{R} \cos \left(6 \theta_{1}-\theta_{2}\right)
\]

Рис. 6.17. Изменение масштаба и преобразование переменных для перехода к изотропной диффузии (см. текст).
Прямая линия — резонанс связи; пунктирная линия — линия постоянной энергии.
с $V_{R}=10^{-5}$. Будем считать, что внешний шум вызывает периодические (с периодом $T=1$ ) смещения $\Delta I_{1}=0, \Delta I_{2}=10^{-5} \sin r_{n}$, где $r_{n}$ — случайные числа, равномерно распределенные в интервале $(0,2 \pi)$. На рис. 6.18 показаны последовательные положения системы, усредненные по интервалам $\Delta t=500$ и соединенные прямыми линиями. Начальные условия (точка $I$ на рис. 6.18) выбирались на линии резонанса (пунктирная линия). В процессе диффузии траектория в конце концов выходит из резонанса и оканчивается в точке $F$. Диффузия вдоль резонанса и есть резонансное каналирование. Движение под острым углом к резонансной линии связано с прохождением резонанса (ср. рис. 5.17). Оно идет почти

Рис. 6.18. Резонансное каналирование для модели (6.3.17) (по данным работы [405]).
Ломаная линия — численные данные для траектории движения, усредненной на интервалах $\Delta t \approx 500 \approx 3 T_{0}$, где $T_{0}$ — период малых фазовых колебаний; $I, F-$ начальная и конечная точки траектории; пунктнрная линия — линия резонанса.

вдоль линии постоянной энергии. Наконец, вертикальное движение по обе стороны от точки $F$ есть результат медленной классической диффузии по $I_{2}$ вдали от резонанса.

Резонансное каналирование возможно лишь для достаточно сильного (широкого) резонанса, когда время внешней диффузии поперек резонанса
\[
\tau_{D}=\frac{\left(\Delta I_{R}\right)^{2}}{2 D_{\perp R}}
\]

велико по сравнению с периодом фазовых колебаний
\[
\tilde{\omega}_{R} \tau_{D}>2 \pi .
\]

Здесь $\Delta I_{R}$ и $D_{\perp R}$ — полная ширина резонанса и скорость внешней диффузии, перпендикулярная линии резонанса, а $\tilde{\omega}_{R}$ — частота фазовых колебаний. В примере Теннисона $\Delta I_{R} \approx 3 \times 10^{-3}$, $D_{\perp R} \approx 10^{-8}, \tau_{D} \approx 450, \tilde{\omega}_{R} \approx 0,03$, так что условие $\tilde{\omega}_{R} \tau_{D} \approx$ $\approx 14>2 \pi$ выполняется.

Резонансное каналирование при условии (6.3.18) соответствует так называемой банановой диффузии частиц в тороидальных магнитных ловушках при редких столкновениях. Такое название происходит от формы инвариантных кривых внутри резонанса (см. рис. $6.22, a)^{1}$ ). С ростом уровня шума условие (6.3.18) перестает выполняться и происходит переход к режиму, при котором скорость диффузии не зависит от величины шума,- к так называемому режиму плато ${ }^{2}$ ). Чириков [71] и Коэн и Раулэндс [80] исследовали этот режим на модели, описанной в п. 6.3б. Мы отложим обсуждение этого режима до § 6.4, где рассматривается диффузия частиц в тороидальных магнитных ловушках при наличии резонансов. Наконец, при еще большей интенсивности шума резонансная структура уже не играет никакой роли, и возникает третий режим чисто классической диффузии. В § 6.4 мы обсудим также и этот режим. Средняя скорость диффузии в системе со многими (неперекрывающимися) резонансами зависит также от доли фазового пространства, занятого резонансами.

Резонансное каналирование имеет место и в многомерных системах [405]. Внешняя диффузия усиливается вдоль резонансной поверхности в направлении проекции на нее вектора резонанса $\left.{ }^{3}\right) \boldsymbol{m}_{R}$.

Теннисон [405] полагает, что такого типа диффузия может быть причиной «раздувания» встречных пучков в накопительных кольцах. Возможно также, что подобное усиление диффузии имеет место и в различных установках магнитного удержания и нагрева плазмы. Теннисон отметил также, что в диссипативных системах с затуханием по обеим степеням свободы резонансное каналирование может привести к быстрому увеличению одной из переменных действия. Он сравнивает это с двнжением парусной лодки против
1) В отечественной литературе используется также термин «диффузия Будкера», который первым предсказал и дал оценку такой диффузии (см. примечание редактора на с. 336 и [71]) — Прим. ред.
2) В отечественной литературе он называется также режимом ГалееваСагдеева, которые построили теорию диффузии в этих условиях [510,71]. В рассматриваемой задаче такой режим имеет место только в случае многих резонансов. — Прим. ред.
3) В отличие от двух степеней свободы усиление внешней диффузии возможно здесь, вообще говоря, и в том с.тучае, когда внешний шум сохраняет энергию, например, при рассеянии частицы (см. работу [405], рис.8).Прим. ред.

ветра. Представим себе, что на рис. 6.16 лодка находится в точке $a$ и может двигаться только вдоль линии резонанса. Пусть плоскость паруса параллельна вектору $\boldsymbol{m}_{P}$, а ветер, диссипативная сила, давит в направлении от $a$ к $b$. Тогда если наклон линии резонанса отрицательный, то результирующая сила будет направлена от $A$ к $B$, и лодка будет идти «на ветер» по $I_{2}$, хотя при этом полная энергия системы будет уменьшаться.