Численные данные для отображения Хенона показывают, как мы видели выше, что структура аттрактора повторяется на все более и более мелких масштабах. Ее можно сопоставить с канторовым множеством, свойства которого позволяют значительно лучше понять природу странного аттрактора. Рассмотрим вначале размерность канторова множества. Для этого нам понадобится общее определение фрактальной размерности. Затем мы рассмотрим простой пример канторова множества и найдем его размерность. И наконец, обсудим некоторые методы вычисления и измерения фрактальной размерности странных аттракторов, уделяя основное внимание ее связи с показателями Ляпунова. Наше изложение следует частично обзорам Треве [411] и Отта [324].
Канторовы множества и фрактальная размерность. Примем следующее определение фрактальной размерности ${ }^{1}$ ):
\[
d(S)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \frac{\ln M(\varepsilon)}{\ln (1 / \varepsilon)},
\]

где $S$ – некоторое множество в $N$-мерном пространстве, а $M(\varepsilon)$ минимальное число $N$-мерных кубов со стороной $\varepsilon$, необходимых для покрытия этого множества. При малых $\varepsilon$ из такого определения следует, что
\[
M(\varepsilon) \sim K \varepsilon^{-d} .
\]

Размерность (7.1.17) называют также емкостью. Для точки, линии и области на двумерной поверхности фрактальная размерность имеет обычные значения $0,1,2$ соответственно. Действительно, необходимое число квадратов со стороной $\varepsilon$ для покрытия точки пропорционально $1 / \varepsilon^{0}$, для линии $M \propto 1 / \varepsilon^{1}$ и для двумерной области $M \propto 1 / \varepsilon^{2}$.

Канторово множество является компактным, метрическим, нигде не плотным, несчетным и может быть нулевой меры. Типичные канторовы множества имеют дробную размерность $(0<d<1$ ) и обладают масштабной инвариантностью, т. е. при соответствующем изменении масштаба подмножество «выглядит» так же, как и исходное множество. Известным примером канторова множества слу-
1) Такое определение размерности введено в работе [521]. Различные понятия размерности и их взаимосвязь обсуждаются в обзоре [522] (см. также [523]).- Прим. ред.

жит так называемое «множество средних третей» (рис. 7.7), которое строится следующим образом. Возьмем закрытый отрезок $[0,1]$ и выбросим из него открытый (без граничных точек) интервал ( $1 / 3$, 2/3). Затем из двух отрезков полученного множества $T_{1}$ аналогичным образом выбросим их «средние трети» и получим новое множество $T_{2}$. Повторяя эту процедуру бесконечное число раз, получим множества $T_{1}, T_{2}, T_{3}, \ldots$ Канторово множество $T$ есть пересечение всех $T_{n}$. Грубо говоря, это пересечение есть «предельное $T_{n}$ » .

Рис. 7.7. Построение множества Кантора.
M – число отрезков длины $е$, необходимое для покрытия множества $T_{n}$.

Из построения следует, что множество $T_{n}$ состоит из $M=2^{n}$ разделенных интервалов длиной $\varepsilon=(1 / 3)^{n}$. Согласно (7.1.17), фрактальная размерность $T$ равна
\[
d=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\ln 2^{n}}{\ln 3^{n}}==\frac{\ln 2}{\ln 3} \approx 0,631 .
\]

Множество $T$ имеет нулевую меру
\[
\lim _{n \rightarrow \infty} \varepsilon M=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}=0 .
\]

Покажем, что множество $T$ несчетно. Для этого представим действительное число $x$ в интервале $(0,1)$ в следующем виде:
\[
x=a_{1}\left(\frac{1}{3}\right)+a_{2}\left(\frac{1}{9}\right)+\ldots+a_{n}\left(\frac{1}{3^{n}}\right)+\cdots \cdot
\]

где $a_{i}$ принимают, вообще говоря, три значения: $0,1,2$. Однако, для того чтобы $x$ принадлежало $T$, необходимо, чтобы все $a_{i}$ принимали только два значения: 0 или 2 (см. рис. 7.7). И наоборот, любая последовательность таких $a_{i}$ определяет $x$, принадлежащее $T$. Но тогда существует взаимно-однозначное соответствие между канторовым множеством и множеством всех двоичных последовательностей, которое представляет все числа в интервале $(0,1)$. Последнее же, как известғо, несчетно.
Связь между фрактальной размерностью и показателями Ляпунова. Существует гипотеза [218], связывающая фрактальную размерность с показателями Ляпунова:
\[
d=j+\frac{\sum_{i=1}^{j} \sigma_{i}}{-\sigma_{j+1}},
\]

где все показатели упорядочены обычным \” образом: $\sigma_{1} \geqslant$ $\geqslant \sigma_{2} \geqslant \geqslant \sigma_{N}$, а $j$ – наибольшее целое число, для которого $\sigma_{1}+\sigma_{2} \div \ldots+\sigma_{j}>0$.

Рассел и др. [356] сравнили (7.1.17) с (7.1.19) для нескольких двумерных отображений и трехмерных потоков. Для двумерных отображений, у которых $\sigma_{1}>0>\sigma_{1}+\sigma_{2}$, (7.1.19) сводится к
\[
d=1-\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}} \text {. }
\]

Для трехмерных потоков с $\sigma_{1}>0>\sigma_{3}, \sigma_{2}=0^{1}$ ) и $\sigma_{1}+\sigma_{3}<0$ получим
\[
d=2-\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{3}} .
\]

Для непосредственного численного определения $d$, согласно (7.1.17), все пространство делится на ячейки со стороной $\varepsilon$. Затем отображение итерируется до тех пор, пока не закончится переходной процесс, после которого движение происходит на аттракторе. При последующих итерациях помечаются те ячейки, в которые попадает траектория. После достаточно большого количества итераций число таких ячеек стремится к $M(\varepsilon)$. Из (7.1.17) следует, что зависимость $\ln M$ от $\ln \varepsilon$ является линейной. Значение $d$ можно определить с помощью подгонки численных данных на эту прямую.

В табл. 7.1, взятой из работы Рассела и др. [356], сравниваются ${ }^{2}$ ) значения $d$, полученные описанным прямым методом
1) Напомним, что для потока один из показателей всегда равен нулю.
2) Фрактальная размерность, которую использовали Каплан и Йорке в своей гипотезе, является информаццонной размерностью. Было показано, что она ограничена сверху емкостью (7.1.17). В то же время Рассел и др. [356] численно определяли емкость, которая, очевидно, очень близка кинформационной размерности по данным табл. 7.1 (подробности см. в работе Фармера [120]).

и согласно (7.1.19), для трех разных двумерных отображений и трехмерного потока. Были выбраны отображения Хенона (7.1.14), (необратимое) отображение Қаплана и Йорке:
\[
\begin{array}{l}
x_{j+1}=2 x_{j}, \quad \bmod 1, \\
y_{j+1}=\alpha y_{j}+\cos 4 \pi x_{j}
\end{array}
\]

Таблица 7.1. Вычисление фрактальной размерности ${ }^{1}$ )

и отображение Заславского:
\[
\begin{array}{l}
x_{i+1}=x_{j}+v\left(1+\mu y_{j}\right)+\varepsilon v \mu \cos 2 \pi x_{j}, \quad \bmod 1, \\
y_{j+1}=\exp (-\Gamma)\left(y_{j} \div \varepsilon \cos 2 \pi x_{j}\right) .
\end{array}
\]

Для отображений Хенона и Заславского непосредственно вычислялся только показатель Ляпунова $\sigma_{1}$, а $\sigma_{2}$ определялось из известной скорости сжатия фазового объема (7.1.10):
\[
\sigma_{1}+\sigma_{2}=\ln |\operatorname{det} \mathbf{M}|
\]

где $\operatorname{det} \mathbf{M}$ равен – для отображения Хенона и $e^{-\Gamma}-$ для отображения Заславского. В случае отображения Қаплана и Йорке $\sigma_{1}=$ $=\ln 2$ и $\sigma_{2}=\ln \alpha$. И наконец, для потока $\sigma_{1}+\sigma_{3}$ находится аналитически, а $\sigma_{1}$ – численно. Во всех случаях наблюдается прекрасное согласие между (7.1.17) и (7.1.19). Использование гипотезы (7.1.19) гораздо проще, чем прямое вычисление по (7.1.17), однако эта гипотеза пока не доказана.

Другие способы определения фрактальной размерности обсуждались в работах Паккарда и др. [326], Фрёлинга и др. [138] и Фармера [120].