Обратимся теперь к модуляционной диффузии, при которой хаотическое движение происходит вдоль системы перекрывающихся резонансов, вызванных медленной модуляцией возмущения. Следуя Чирикову и др. [76], рассмотрим модельный гамильтониан
\[
H=\frac{1}{2} I_{1}^{2}-k \cos \left(\theta_{1}+\lambda \sin \Omega t\right)+\frac{1}{2} I_{2}^{2}-\varepsilon \cos \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right),
\]

Рис. 6.12. Схема резонансов при модуляционной диффузии.
где $\lambda$ и $\Omega$ — амплитуда и частота фазовой модуляции соответственно, а $\varepsilon$ — малый параметр связи. Используя разложение
\[
\cos \left(\theta_{1}+\lambda \sin \Omega t\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \mathscr{F}_{n}(\lambda) \cos \left(\theta_{1}+n \Omega t\right),
\]

получаем мультиплет резонансов с центром в $\omega_{1}=I_{1}=0$ и эффективной шириной приблизительно $2 \Omega$, так как функции Бесселя $\mathscr{F}_{n}(\lambda)$ быстро убывают при $|n| \geq \lambda$. Мультиплет показан на рис. 6.12 в виде нескольких вертикальных линий на плоскости частот $\omega_{1}, \omega_{2}$. Если резонансы мультиплета перекрываются, то возникает широкий стохастический слой, по которому и идет модуляционная диффузия.

Перекрытие в мультиплете. Движение внутри мультиплета описывается гамильтонианом

Действуя, как и в п. 2.4а, получим $G=1$ и $F=k \mathscr{F}_{n}(\lambda)$. Полная ширина сепаратрисы для каждого из резонансов мультиплета определяется формулой (2.4.31)
\[
2 \Delta I_{\text {макс }}=2 \Delta \omega_{\text {макс }}=4(F / G)^{1 / 2}=4 \sqrt{k\left|\mathscr{F}_{n}(\lambda)\right|} .
\]

Расстояние же между резонансами по частоте равно $\delta \omega=\Omega$. Используя правило двух третей (п. 4.1б) ${ }^{1}$ ), запишем условие перекрытия
\[
\frac{2 \Delta \omega_{\text {макс }}}{\Omega}>\frac{2}{3} .
\]

Подставляя (6.2.51) в (6.2.52) и принимая в качестве $\mathscr{F}_{n}(\lambda)$ среднеквадратичное значение $(\pi \lambda)^{-1 / 2}$, приводим условие $(6.2 .52$ ) к виду
\[
k \geq \Omega^{2} \sqrt{\lambda} / 20 \text {. }
\]

Если движение, описываемое гамильтонианом (6.2.50), связано с третьей степенью свободы, то неравенство (6.2.53) есть также условие модуляционной диффузии. Если же возмущение меньше этой границы, то остается только диффузия Арнольда. Отметим неожиданное следствие оценки (6.2.53): чем меньше частота модуляции, тем ниже граница перекрытия по возмущению $\left(k \propto \Omega^{2}\right.$ ). На первый взгляд это противоречит нашей интуиции об адиабатических возмущениях, согласно которой с ростом отношения частот влияние резонансов уменьшается ${ }^{2}$ ). Это противоречие разрешается, если принять во внимание, что стохастичность связана с прохождением резонанса, а это происходит только дважды за период модуляции $2 \pi / \Omega$. Поэтому при $\Omega \rightarrow 0$ скорость диффузии также стремится к нулю.

Отметим, что поскольку ширина мультиплета уменьшается с уменьшением $\Omega$ при заданном $\lambda$, то при
\[
k \geq \Omega^{2} \lambda^{5 / 2} / 13
\]

ширина $\lambda \Omega<\Delta \omega_{\text {макс }}$. В этом случае весь мультиплет сливается в единый резонанс ${ }^{3}$ ), а скорость диффузии по стохастическому
1) В данном случае это правило не улучшает точность оценки, поскольку амплитуды и фазы соседних резонансов различны.- Прим. ред.
2) Эту интуицию следует подправить: при прохождении резонанса (вследствие модуляции), как и при прохождении частоты осциллятора через нуль, адиабатичность всегда нарушается независимо от скорости прохождения.Прим. ред.
3) По этой причине оценка (6.2.54) неточна — ширину слившегося резонанса следует определять по полной смплитуде возмущения $k$ [см. (6.2.48)], а не по амплитуде гармоники $k \mathscr{g}_{n}(\lambda)[\mathrm{cm} \cdot(6.2 .50)]$. В результате получаем $k \geq \Omega^{2} \lambda^{2} / 16 .-$ Прим. ред.

слою этого резонанса падает. Три режима ${ }^{\mathbf{1}}$ ) движения в модуляционном слое, определяемые неравенствами (6.2.53) и (6.2.54), схематически показаны на рис. 6.13.

Эти три режима были описаны Теннисоном [404] для модели взаимодействия встречных протонных пучков в проекте накопительного кольца Брукхейвенской лаборатории (США). В этой модели Теннисона использовалась модуляция частоты:
\[
\frac{d J_{1}}{d t}=k \sin \psi_{1}, \quad \frac{d \psi_{1}}{d !}=J_{1}+\bar{\lambda} \cos \Omega t,
\]

Рис. 6.13. Три режима движения внутри мультиплета в зависимости от частоты модуляции $\Omega$ (по данным работы [276]).
$a$ — большая частота $\Omega$, модуляционные резонансы не перекрываются, слабая диффузия Арнольда вдоль отдельных стохастических әлоев; 6 — промежуточная частота $\Omega$, резонансы перекрываются, сильная модуляционная диффузия вдоль широкого слоя; в очень малая частота $\Omega$, все резонансы сливаются в один, диффузия Арнольда вдоль еднного стохастического слоя.

тогда как в рассмотренной выше модели (6.2.48) модулируется фаза:
\[
\frac{d I_{1}}{d t}=k \sin \left(\theta_{1}+\lambda \sin \Omega t\right), \quad \frac{d \theta_{1}}{d t}=I_{1} .
\]

Обе модели сводятся друг к другу путем замены переменных с производящей функцией
\[
F=J_{1}\left(\theta_{1}+\lambda \sin \Omega t\right),
\]
1) Существует также и четвертый, промежуточный, режим захвата для $k \geqslant \Omega^{2} \lambda$.

причем $\lambda=\bar{\lambda} / \Omega$. На рис. 6.14 показан эффект модуляции для стандартного отображения (при $K=0,007$ ), что соответствует уравнениям (6.2.55), если заменить $k$ на $K \delta_{1}(t)$, где $\delta_{1}(t)$ — периодическая $\delta$-функция (3.1.33). При $\bar{\lambda}=0$ (рис. $6.14, a$ ) имеется единственный резонанс с шириной $2 \Delta I_{\text {макс }}=4 K^{1 / 2}$. При $\bar{\lambda}=0,63$ и последовательно уменьшающейся частоте $\Omega$ на рис. 6.14 , б виден мультиплет неперекрывающихся резонансов; на рис. 6.14 , в — частичное перекрытие резонансов; на рис. 6.14 , г — полное перекрытие резонансов.
Диффузия вдоль мультиплета. Вернемся к гамильтониану (6.2.48). Диффузию вдоль перекрывающихся резонансов мультиплета (по $I_{2}$ ) можно вычислить в модели стохастической накачки. Продольная часть гамильтониана имеет вид
\[
H_{\|}=\frac{1}{2} I_{2}^{2}-\varepsilon \cos \left(\theta_{1}(t)-\theta_{2}\right) .
\]

Отсюда [ср. (6.2.7) ]:
\[
\frac{d H_{\|}}{d t}=-\varepsilon \frac{d}{d t} \cos \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right)+\varepsilon \sin \left(\theta_{1}-\theta_{2}\right) \frac{d \theta_{2}}{d t} .
\]

Первый член приводит лишь к малым осцилляциям $H_{\|}$, которыми мы пренебрегаем. В результате получаем
\[
\Delta H_{\|} \approx \varepsilon \int \sin \varphi \frac{d \theta_{2}}{d t} d t
\]

где фаза $\varphi(t)=\theta_{1}-\theta_{2}$.
Для вычисления $\varphi(t)$ нужно невозмущенное движение $\theta_{1}(t)$ и $\theta_{2}(t)$. Положив в (6.2.57) $\varepsilon=0$, запишем решение в виде
\[
\theta_{2}(t)=\omega_{2} t-\chi_{0}-\pi / 2 \text {. }
\]

Получить $\theta_{1}(t)$ из (6.2.50) можно лишь приближенным методом. Считая $k$ малым параметром возмущения, запишем (6.2.50) в виде
\[
H_{0}=\frac{1}{2} I_{1}^{2}
\]

и
\[
H_{1}=-k \sum_{n} \mathscr{F}_{n}(\lambda) \cos \left(\theta_{1}+n \Omega t\right) .
\]

Используя каноническую теорию возмущений (п. 2.2б) и замечая, что $\left\langle H_{1}\right\rangle=0$, из (2.2.44) получаем в первом порядке по $k: \bar{H}=H_{0}$, $\bar{I}_{1}=I_{0}=$ const, $\bar{\theta}_{1}=I_{0} t$, а для производящей функции — выражение [см. (2.2.45)]:
\[
S_{1}=k \sum_{n} \frac{\mathscr{J}_{n}(\lambda)}{n \Omega+\bar{I}_{1}} \sin \left(\theta_{1}+n \Omega t\right) .
\]

Рис. 6.14. Фазовая плоскость стандартного отображения при модуляци $K=0,007$. $a$ — модуляция отсутствует; $6-2$— частота модуляции последовательнсти частоты.

Подставляя в (6.2.60б) $\theta_{1}=\bar{\theta}_{1}=I_{0} t$ и используя (6.2.61), находим
\[
\theta_{1}(t)=I_{0} t+k \sum_{n} \frac{\mathscr{T}_{n}(\lambda)}{\left(n \Omega+I_{0}\right)^{2}} \sin \left[\left(I_{0}+n \Omega\right) t\right] .
\]

В качестве грубого приближения оставим в этой сумме один (наибольший) член с $n \approx \lambda$. Тогда
\[
\begin{aligned}
\varphi(t) \approx\left(I_{0}-\omega_{2}\right) t & +\chi_{0}+\pi / 2+k R \mathcal{F}_{\lambda}(\lambda) /\left(I_{0}+\lambda \Omega\right)^{2} \times \\
& \times \sin \left(I_{0}+\lambda \Omega\right) t,
\end{aligned}
\]

где в подгоночном параметре $R$ учитывается «эффективное» число членов в сумме (6.2.62). Выражєние (6.2.63) является основным приближением при анализе движения в модуляционном слое.
Коэффициент модуляционной циффузии можно определить как
\[
D\left(\omega_{2}\right)=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T}\left\langle\left[\Delta H_{\|}(T)\right]^{2}\right\rangle_{I_{0}, x_{Q}},
\]

где усреднение ${ }^{1}$ ) по $I_{0}$ производится по всей стохастической области $\left|I_{0}\right|<\lambda \Omega$. Подставляя сюдє (6.2.58), получаем
\[
\begin{array}{c}
D\left(\omega_{2}\right)=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2 T} \frac{\varepsilon^{2}}{2 \lambda \Omega}\left\langle\int_{-\lambda \Omega}^{\lambda \Omega} d I_{0} \int_{-T}^{T} d t^{\prime \prime} \omega_{2} \sin \varphi\left(t^{\prime \prime}\right) \times\right. \\
\left.\times \int_{-T}^{T} d t^{\prime} \omega_{2} \sin \varphi\left(t^{\prime}\right)\right\rangle_{\chi_{0}} .
\end{array}
\]

Используя (6.2.63) и снова разлагая по функциям Бесселя, находим
\[
\sin \varphi(t)=\sum_{j} A_{j}\left(I_{0}\right) \cos \left\{\left[(j+1) I_{0}+j \lambda \Omega-\omega_{2}\right] t+\chi_{0}\right\},
\]

где
\[
A_{j}\left(I_{0}\right)=\mathscr{F}_{i}\left[\frac{k R \mathscr{F}_{\lambda}(\lambda)}{\left(I_{0}+\lambda \Omega\right)^{2}}\right] .
\]

Интегрирование в (6.2.65) по $t^{\prime \prime}$ дает
\[
\int_{-\infty}^{\infty} d t^{\prime \prime} \sin \varphi\left(t^{\prime \prime}\right)=\sum_{j} A_{j}\left(I_{0}\right) \cos \chi_{0} \frac{2 \pi}{j+1} \delta\left(I_{0}+\frac{j \lambda \Omega}{j+1}-\frac{\omega_{2}}{j+1}\right) .
\]

Интегрируя далее, сначала по $I_{0}$, а затем по $t^{\prime}$, получаем
\[
D\left(\omega_{2}\right)=\frac{\varepsilon^{2} \omega_{2}^{2}}{2 \lambda \Omega} \sum_{j} \frac{2 \pi}{j+1} A_{j}^{2}\left(\frac{\omega_{2}-j \lambda \Omega}{j+1}\right)\left\langle\cos ^{2} \chi_{0}\right\rangle .
\]
1) Усреднение по $\chi_{0}$ требует поясяения. Фактически важна разность фаз $\varphi(0)=\chi_{0}+\pi / 2[\mathrm{~cm} .(6.2 .63)]$, которая, как и $I_{0}$, не является на самом деле постоянной вследствие стохастического движения при перекрытии резонансов в мультиплете.- Прим. ред.

Здесь сумма по $j$ ограничена $\delta$-функцией в (6.2.67):
\[
j=\frac{\omega_{2}-I_{0}}{I_{0}+\lambda \Omega} .
\]

При изменении $I_{0}$ от $-\lambda \Omega$ до $\lambda \Omega$ целое $j$ изменяется от
\[
l\left(\omega_{2}\right)=\left[\frac{1}{2}\left(1+\frac{\omega_{2}}{\lambda \Omega}\right)\right]
\]

до бесконечности. Аргумент функции Бесселя в (6.2.66б) обычно мал ${ }^{1}$ ), так что доминирующим является член с $j=l$. Опуская остальные члены и усредняя по $\chi_{0}$, получаем окончательный результат
\[
D\left(\omega_{2}\right)=\frac{\pi}{2} \frac{\varepsilon^{2} \omega_{2}^{2}}{(l+1) \lambda \Omega} \mathscr{g}_{l}^{2}\left[\frac{k R(l+1)^{2} \mathscr{F}_{\lambda}(\lambda)}{\left(\omega_{2}+\lambda \Omega\right)^{2}}\right] .
\]

С ростом $\omega_{2}$ величина $l$ изменяется скачками, как это следует из (6.2.68). Соответственно график зависимости $D\left(\omega_{2}\right)$ имеет вид серии убывающих «плато» (рис. 6.15). Основное плато ( $l=0$ ) соответствует частотам $0<\omega_{2}<\lambda \Omega$, а остальные расположены в интервалах
\[
(2 l-1) \lambda \Omega<\omega_{2}<(2 l+1) \lambda \Omega .
\]

На основном плато $\mathscr{F}_{0} \approx 1$ и коэффициент диффузии
\[
D_{\text {пл }}=\frac{\pi}{2} \frac{\varepsilon^{2} \omega_{2}^{2}}{\lambda \Omega} .
\]

Относительно большая скорость диффузии объясняется тем, что внутри модуляционного слоя (см. рис. 6.12) выполняется условие точного резонанса $\omega_{1}=I_{0}=\omega_{2}$.

На рис. 6.15 представлены численные значения приведенного коэффициента диффузии
\[
D_{n}=\frac{D}{\left(\varepsilon^{2} \omega_{2}^{2} / \Delta \omega\right)},
\]

как функции $\omega_{2} / \Delta \omega$. Здесь вместо $\lambda \Omega$ использована фактическая полуширина модуляционного слоя $\Delta \omega \approx 1,3 \lambda \Omega, \lambda=10, \quad \Omega=$ $=10^{-2}, k=5 \times 10^{-4}$. Ясно видно основное плато со средним значением $D_{n}=1,6$, что хорошо согласуется с величиной $\pi / 2$ из (6.2.71). При $\omega_{2}>\Delta \omega$ скорость диффузии резко падает, а затем, с ростом $\omega_{2}$, уменьшается ступеғчатым образом. Это как раз то, что предсказывает теория (6.2.69).

Для количественного сравнения с численными результатами необходимо определить параметр $R$. Это было сделано путем под-
1) Если $k \leqslant k_{1} \sim \Omega^{2} \lambda^{7 / 3}$ [см. (6.2.69), $\mathcal{F}_{\lambda}(\lambda) \sim \lambda^{-1 / 3}$ ], что почти совпадает с границей слияния резонансов мультиплета (6.2.54).-. Прим. ред.

гонки формулы (6.2.69) к численным данным на краю двух последних плато ( $l=2, l=3$ ). Подставив найденное значение $R \approx 5,3$ в (6.2.69), получим зависимость $D_{n}\left(\omega_{2} / \Delta \omega\right)$, представленную на рис. 6.15 сплошной линией. Если учесть, что в теории использовалось существенное упрощение (6.2.63), согласие можно считать

Рис. 6.15. Зависимость приведенного коэффициента диффузии $D_{n}$ от величины $\omega_{2} / \Delta \omega$.
Точки — численные данные; сплошная линия — теория (6.2.69); $\lambda=10 ; \Omega=10^{-2}$; $k=\bar{j} \times 10^{-4} ; \Delta \omega=1,3 \lambda \Omega$.

вполне удовлетворительным. Отметим, что теория предсказывает резкий спад $D_{n}\left(\omega_{2}\right)$ после каждого плато и что все плато, кроме основного ( $l=0$ ), имеют некоторый наклон. В пределах каждого плато скорость диффузии спадает по закону
\[
D_{n}\left(\omega_{2}\right) \propto\left(1+\frac{\omega_{2}}{\Delta \omega}\right)^{-4 l} \rightarrow\left(\frac{\omega_{2}}{\Delta \omega}\right)^{-4 l},
\]

где последнее выражение относится к $l \gg 1$. Все эти предсказания находятся в разумном согласии с численными данными ${ }^{1}$ ).