Чтобы исследовать структуру вторичных резонансов вблизи сепаратрисы, нужно сначала найти выражение для переменной действия. Это можно сделать либо по теории возмущений, отправляясь от движения по невозмущенной сепаратрисе, либо вычислить действие прямо из точного решения для маятника вблизи сепаратрисы (см. п. 1.3а). Хотя оба метода требуют довольно сложных вычислений, выражение для переменной действия было найдено многими авторами, и мы приведем полученные результаты, не вдаваясь в детали самих вычислений. Ниже мы будем следовать работе Смита [383] и Смита и Перейры [387], где действие было получено непосредственно из точного решенгя.

Гамильтониан маятника (4.1.27) можно записать в переменных $J$, ч согласно (1.3.10) и (1.3.11). Для колебаний маятника имеем
\[
J=\omega_{0}\left(\frac{8}{\pi}\right)\left[\mathscr{E}(x)-\left(1-x^{2}\right) \mathscr{K}(x)\right], \quad x<1,
\]

где $\mathscr{E}$ и $\mathscr{K}$ – полные эллиптические интегралы первого и второго рода, и
\[
2 x^{2}=1+\frac{H}{\omega_{0}^{2}},
\]

откуда $x=1$ при $H=\omega_{0}^{2}=K$, т. е. на сепаратрисе. Частота колебаний маятника, согласно (1.3.13), имеет вид
\[
\omega(x)=\frac{\frac{1}{2} \pi \omega_{0}}{\mathscr{x}(x)},
\]

асимптотическое значение при $x \rightarrow 1$ равно
\[
\omega(x)=\frac{\frac{1}{2} \pi \omega_{0}}{\ln \left[\frac{4}{\left(1-x^{2}\right)^{1 / 2}}\right]} .
\]

Параметр перекрытия вторичных резонансов (4.3.18) можно записать в виде
\[
\frac{2 \Delta \widetilde{J}_{\text {макс }}}{\delta \widetilde{J}}=2\left|\frac{\Lambda_{l} d \omega}{d J}\right|^{1 / 2} \frac{l}{\omega},
\]

где все величины берутся для резонансного значения $J$
\[
l \omega(J)=2 \pi,
\]

и $l$-четное число. Поскольку
\[
\frac{d \omega}{d J}=\frac{d \omega}{d x} \frac{d x}{d J},
\]

то из (4.3.22) и (4.3.23) получим тосле некоторых преобразований
\[
\frac{d \omega}{d J}=-\frac{1}{16} \frac{\omega^{3} J}{\omega_{0}^{4} \chi^{2}\left(1-\chi^{2}\right)} .
\]

Величина $\Lambda_{l}$ определяется из разложения Фурье для третьего члена в (4.1.26) с заменой $2 K \rightarrow V$ и $\theta \rightarrow \theta(J, \varphi)$ из (1.3.11). После довольно громоздких вычислений Смит и Перейра нашли ([387], приложение $\mathrm{A}$ ):
\[
\Lambda_{l}=V \frac{\left(\frac{\imath \tau}{\mathscr{K}(x)}\right)^{2} l q^{l 2}}{1-(-q)^{l}},
\]
$(4.3 .30 a)$ где
\[
\begin{array}{c}
q= \\
=\exp \left\{\frac{-\pi x x^{2}\left[\left(1-x^{2}\right)^{\prime \prime 2}\right]}{\mathscr{x}(x)}\right\} .
\end{array}
\]

Подставляя (4.3.29) и (4.3.30) в (4.3.26), можно получить параметр перекрытия $2 \Delta \widetilde{J}_{\text {макс }} / \delta \tilde{J}$ в зависимости от энергии $H$. Вблизи сепаратрисы $x^{2} \rightarrow 1$ и
\[
q^{l: 2}=\exp \left(-\frac{\pi Q_{0}}{2}\right)
\]
$\alpha$
где $Q_{0}=2 \pi / \omega_{0}$ – отноше-

Рис. 4.6. Относительная доля $r$ фазового пространства, в которой выполняется простой критерий перекрытия, в зависимости от числа вращения $\alpha=\omega_{0} / 2 \pi$ (по данным работы [145]). ние частоты возмущения к частоте малых колебаний маятника. Используя (4.3.30a) с $V=2 K=2 \omega_{0}^{2}$

и опуская малое слагаемое (-q) ; получаем
\[
\Lambda_{l}=16 \pi \omega \exp \left(-\frac{\pi Q_{0}}{2}\right) .
\]

Подставляя это выражение вместе с (4.3.29) в (4.3.26), имеем
\[
\left(\frac{2 \Delta \tilde{J}_{\text {макс }}}{\delta \tilde{J}}\right)^{2}=\frac{16}{\pi} Q_{0}^{3} \exp \left(-\frac{\pi Q_{0}}{2}\right) \frac{1}{1-x^{2}} .
\]

Из (4.2.20) и (4.3.23) находим соотношение
\[
\frac{\omega}{2}=1-x^{2} .
\]

Введем параметр стохастичности $K_{2}$ для вторичных резонансов с помощью условия перекрытия (4.2.1) для стандартного отображения
\[
\left(\frac{2 \Delta \widetilde{J}_{\text {макс }}}{\delta \widetilde{J}}\right)^{2}=\left(\frac{4 K_{2}^{12}}{2 \pi}\right)^{2} .
\]

Приравнивая правые части (4.3.31) и (4.3.33), находим
\[
K_{2}=\frac{8 \pi Q_{0}^{3}}{\omega} \exp \left(-\frac{\pi Q_{0}}{2}\right),
\]

что в точности совпадает (при $w=w_{1}$ ) с результатом (4.2.22), полученным из сепаратрисного отображения.

Фукуяма и др. [145] исследовали простой критерий перекрытия вторичных резонансов в задаче о взаимодействии частицы с волной, используя эллиптические интегралы с некоторыми упрощениями. На рис. 4.6 представлены их результаты для зависимости относительной доли $r$ фазового пространства, где выполняется простой критерий перекрытия [параметр перекрытия (4.3.26) равен единице ], от числа вращения
\[
\alpha=\frac{\omega_{0}}{2 \pi}=\frac{K^{1 / 2}}{2 \pi} .
\]

Видно, что быстрый рост стохастической компоненты происходит примерно при $\alpha \approx 0,2$, т. е. при появлении вторичных резонансов пятой гармоники. Это согласуется с приведенными выше данными.