Изменение фазы $\theta$ между последовательными пересечениями поверхности $\varphi=0$ определяется полупериодом колебаний вблизи сепаратрисы, который, согласно (1.3.15), равен
\[
T=\omega_{0}^{-1} \ln \frac{32}{|w|},
\]
где величина
\[
w(J)=-\frac{\varepsilon F+\Omega J}{\varepsilon F}
\]
характеризует относительное смещение от сепаратрисы по энергии. Изменение фазы $\theta$ равно при этом просто $\Omega T$. Отсюда число вращения во втором уравнении отображения поворота (3.1.136) равно
\[
2 \pi \alpha=\frac{\Omega}{\omega_{0}} \ln \frac{32}{|w|} .
\]
Так как функция $f$ считается независящей от $J$, то из (3.1.16) сле дует, что можно положить $g \equiv 0$, так что никакого дополнительного изменения фазы не происходит.
Оказывается, что более удобно перейти от $J$ к переменной $w$, определяемой формулой (3.5.24). Тогда отображение принимает вид
\[
\begin{array}{l}
w_{n+1}=w_{n}-w_{0} \sin \theta_{n}, \\
\theta_{n+1}=\theta_{n}+Q_{0} \ln \left|\frac{32}{w_{n+1}}\right|,
\end{array}
\]
где
\[
w_{0}=\frac{\Omega f_{0}}{F}=8 \pi\left(\frac{\Lambda}{F}\right) Q_{0}^{2} \exp \left(-\frac{\pi Q_{0}}{2}\right) .
\]
Это и есть сепаратрисное отображение [70], которое описывает движение в окрестности возмущенной сепаратрисы.
Неподвижные точки и их устойчизость. Мы не будем здесь рассматривать сепаратрисное отображение столь же подробно, как отображение Улама выше, а отметим лишь его наиболее характерные особенности. Оба отображения очень похожи друг на друга, оба относятся к классу явных отображений поворота и их можно представить в виде произведения инволюций (см. п. 3.1б). Оба отображения имеют нелинейность одного типа, которая приводит к увеличению фазового сдвига, а следовательно, и к стохастичности при уменьшении переменной действия ( $и$ или $u$ ).
Неподвижные точки определяются из (3.5.26) условием
\[
Q_{0} \ln \left|\frac{32}{w_{1}}\right|=2 \pi m
\]
Откуда
\[
\begin{array}{c}
w_{\mathbf{1}}= \pm 32 \exp \left(-\frac{2 \pi m}{Q_{0}}\right), \text { где } m \text {-целое число, } \\
\theta_{\mathbf{1}}=0 ; \pi .
\end{array}
\]
Устойчивость неподвижных точек определяется условием (3.3.55)
\[
|\operatorname{Sp} A|=\left|2+\frac{w_{0}}{w_{1}} Q_{0} \cos \theta\right|<2 .
\]
Следовательно, при $w_{1}>0$ все неподвижные точки $\theta_{1}=0$ неустойчивы, а $\theta_{1}=\pi$ устойчивы при
\[
w_{1}>w_{s}=\frac{w_{0} Q_{0}}{4},
\]
или
\[
w_{1}>2 \pi\left(\frac{\Lambda}{F}\right) Q_{c}^{3} \exp \left(-\frac{\pi Q_{0}}{2}\right) .
\]
Как и в случае отображения Ферми, можно ожидать, что величина $w_{s}$ определяет важную границу перехода к сплошной стохастичности при $w<w_{s}$.
Сепаратрисное отображение играет чрезвычайно важную роль в понимании хаотического поведения систем, близких к интегрируемым. Как мы видели выше, резонансы в таких системах всегда окружены сепаратрисами, а сепаратрисное отображение описывает движение в их окрестности, причем это движение является хаотическим при $w \rightarrow 0$. Ввиду такой универсальности сепаратрисное отображение интенсивно изучалось [70] с целью определения границы стохастичности $w_{b}$, которая характеризует ширину стохастического слоя вокруг сепаратрисы, а также для выяснения статистических свойств хаотического движения внутри этого слоя. Результаты этих исследований представлены в гл. 4 и 5 . Далее в гл. 6 будет показано, что движение в окрестности сепаратрисы лежит в основе анализа диффузии Арнольда, которая, вообще говоря, всегда имеет место в системах с тремя и более степенями свободы.
