В литературе рассматривалось несколько моделей ускорения Ферми, которые приводят к различным отображениям на поверхности сечения Пуанкаре. Модель Улама показана на рис. 3.11, a. Точное

Рис. 3.11. Модели ускорения Ферми.
$a$ – модель улама: частица совершает колебания между неподвижной и осциллирующей стенками; 6 – модель Пустыльникова: частица отражается от осциллирующей стенки в поле тяжести с ускорением $g$.

отображение для этой модели исследовано Заславским и Чириковым [443] и Либерманом и Лихтенбергом [274] для пилообразной зависимости скорости стенки от времени $\dot{x}_{w}(t)$, Брахичем [38] для пилообразной и параболической функции $\dot{x}_{w}(t)$, а Лихтенбергом и др. [272] в случае произвольной скорости $\dot{x_{w}}(t)$. «Упрощенное» отображение для модели Улама, в котором пренебрегается смещением подвижной стенки, было введено Либерманом и Лихтенбергом [274] и исследовалось ими для произвольной скорости стенки ${ }^{1}$ ). Пустыльников [339] исследовал другую модель (рис. 3.11,б), в которой частица сталкивается только с одной осциллирующей стенкой и возвращается к ней в постоянном поле тяжести ${ }^{2}$ ). Здесь также можно ввести упрощенное отображение, которое приводится к стандартному отображению (см. п. 4.1б).
1) В случае пилообразной скорости такое отображение исследовано также в работе [443].- Прим. ред.
2) Эта модель была введена и исследована Заславским $[481, \S 2 Б]$. Прим. ред.

Точное отображение Улама. В случае когда скорость подвижной стенки задается пилообразной функцией времени, Заславский и Чириков получили следующую систему точных разностных уравнений движения частицы:
\[
\begin{array}{l}
u_{n+1}= \pm u_{n}+\left(\psi_{n}-\frac{1}{2}\right), \\
\psi_{n+1}=\frac{1}{2}-2 u_{n+1}+\left[\left(\frac{1}{2}-2 u_{n+1}\right)^{2}+\right. \\
\left.+4 \varphi_{n} u_{n+1}\right]^{1 / 2}, \quad\left(u_{n+1}>\frac{1}{4} \psi_{n}\right), \\
\psi_{n+1}=1-\psi_{n}+4 u_{n+1},\left(u_{n+1} \leqslant \frac{1}{4} \psi_{n}\right), \\
\varphi_{n}=\psi_{n}+\frac{\psi_{n}\left(1-\psi_{n}\right)+l / 4 a}{4 u_{n+1}}, \quad \bmod 1 .
\end{array}
\]

Здесь $a$ – амплитуда колебаний стенки, $l$ – минимальное расстояние между стенками, $u_{n}$ – безразмерная скорость частицы (амплитуда скорости стенки равна 1/4), $n$ – число столкновений с подвижной стенкой, $\psi_{n}$ – фаза подвижной стенки в момент столкновения. Фаза $\psi$ изменяется от 0 до $1 / 2$ при движении стенки из положения $A$ в положение $B$ и от $1 / 2$ до 1 при обратном движении (см. рис. $3.11, a$ ). Знак плюс в выражении (3.4.1а) соответствует соотношению (3.4.1б) на предыдущем шаге, знак минус – соотношению (3.4.1в).

Хотя уравнения (3.4.1) и является точными, они не сохраняют фазовую площадь, т. е. переменные $u$ и $\psi$ оказываются неканоническими. Чтобы перейти к каноническим переменным, запишем, следуя Лихтенбергу и др. [272 ], разностные уравнения в переменных, относящихся к столкновениям частицы с неподвижной стенкой. Введем $\bar{u}_{n}=v_{n} / 2 \omega a$ – новую нормированную скорость частицы и $\theta_{n}$ – фазу подвижной стенки в момент $n$-го столкновения частицы с неподвижной стенкой. Будем считать, что движение подвижной стенки задается выражением $x_{w}=a F(\psi)$, где $F$ – четная периодическая функция фазы $\psi=\omega t$ с периодом $2 \pi$. Тогда получим следующую систему неявных уравнений, аналогичную (3.4.1):
\[
\begin{aligned}
\bar{u}_{n+1} & =\bar{u}_{n}-F^{\prime}\left(\psi_{c}\right), \\
\theta_{n+1} & =\psi_{c}+\frac{\left[\pi M+\frac{1}{2} F\left(\psi_{c}\right)\right]}{\bar{u}_{n+1}}, \\
\boldsymbol{\psi}_{c} & =\theta_{n}+\frac{\left[\pi M+\frac{1}{2} F\left(\psi_{c}\right)\right]}{\bar{u}_{n}} .
\end{aligned}
\]

Здесь $\psi_{c}$ – фаза подвижной стенки в момент столкновения с частицей после ее $n$-го столкновения с неподвижной стенкой, $M=$ $=l / 2 \pi a$, а $F^{\prime}$ – импульс, получаемый частицей при столкновении. Легко видеть, что скорость частицы $v$ является канонически сопряженной ее расстоянию $x$ до неподвижной стенки, а фаза $\theta$ играет роль переменной времени, сопряженной энергии частицы $E=\bar{u}^{2}$. Это означает, что если в расширенном фазовом пространстве $(v, x,-E, t)$ выбрать поверхность сечения $x=0$, то для оставшейся пары переменных ( $-E, \theta$ ) отображение (3.4.2) сохраняет площадь. В самом деле, найдя якобиан непосредственно из системы (3.4.2), получаем
\[
\frac{\partial\left(E_{n+1}, \theta_{n+1}\right)}{\partial\left(E_{n}, \theta_{n}\right)}=1 .
\]

Упрощенное отображение Улама. Система уравнений (3.4.1) существенно упрощается, если пренебречь смещением колеблющейся стенки. Такая упрощенная модель сохраняет наиболее характерные черты физически более реальной исходной модели и вместе с тем легко обобщается на случай произвольного закона скорости стенки. Мы проведем сравнение результатов численных экспериментов для точного и упрощенного отображений. Каноническими переменными упрощенного отображения являются скорость частицы перед $n$-м столкновением с движущейся стенкой и фаза колебаний стенки. При пилообразном законе изменения скорости стенки отображение имеет вид
\[
\begin{array}{c}
u_{n+1}=\left|u_{n}+\psi_{n}-\frac{1}{2}\right|, \\
\psi_{n+1}=\psi_{n}+\frac{M}{u_{n+1}}, \quad \bmod 1 .
\end{array}
\]

Здесь $u=v / V$ – безразмерная скорость частицы, $V / 4$ – амплитуда скорости стенки, $M=l / 16 a$, безразмерное время пролета равно $M / u=2 l / v T$, где $T=(32 a / V)^{1 / 3}$ период колебаний стенки. В выражении (3.4.4а) стоит абсолютная величина, тем самым учитывается изменение направления скорости при $u<1$, которое имеет место в точном отображении (3.4.1). В наиболее интересной области $u>1$ это несущественно.

Упрощенное отображение можно получить и непосредственно из точного (3.4.1) при $l / a \gg 1$ и $u \gg 1$. Упрощенные уравнения легко обобщаются на случай нелинейной зависимости $f(\psi)=$ $=-F^{\prime}(\psi)$ в (3.4.2). Например, отображение
\[
\begin{array}{c}
u_{n+1}=\left|u_{n}+\left(2 \psi_{n}-1\right)\left[1-\left(2 \psi_{n}-1\right)^{2}\right]\right|, \\
\psi_{n+1}=\psi_{n}+\frac{M}{u_{n+1}}, \quad \bmod 1
\end{array}
\]

соответствует кубической зависимости, а отображение
\[
\begin{array}{l}
u_{n+1}=\left|u_{n}+\sin \psi_{n}\right|, \\
\psi_{n+1}=\psi_{n}-\frac{2 \pi M}{u_{n+1}}
\end{array}
\]
– синусоидальной (аналитической) зависимости. В последнем случае интервал изменения фазы $\psi$ принят равным $2 \pi$, а не 1 . Все эти отображения сохраняют фазовую площадь. Нелинейные законы изменения скорости стенки являются фактически более регулярными, чем «линейный», в том смысле, что для первых функция $f(\psi)$ более гладкая в точке $\psi=0$. Қак отмечалось ранее, для существования инвариантных кривых, согласно теореме КАМ, необходимо, чтобы возмущение имело достаточное число непрерывных производных. В случае пилообразного закона изменения скорости стенки уже само возмущение (скорость) является разрывным, и поэтому можно думать, что в этом случае не существует инвариантных кривых, пересекающих весь интервал изменения фазы $\psi$. Мы увидим, что это и в самом деле так. Более того, по крайней мере для отображения Ферми мы сможем определить, сколько же непрерывных производных требуется для применимости теоремы КАМ.