Bсе вышеописанные эффекты для автономных систем с двумя степенями свободы имеют место и для систем с более чем двумя степенями свободы. В типичном случае стохастические и регулярные траектории тесно косуществуют в $2 N$-мерном фазовом пространстве и на $(2 N-2)$-мерной поверхности сечения, а стохастические слои расположены вблизи резонансов. Толщина слоев растет с увеличением возмущения, что приводит в конце концов к перекрытию первичных резонансов, движению поперек слоев и сильной стохастичности. Однако при достаточно малом возмущении первичные резонансы не перекрываются. В этом случае возникает новое физическое явление – движение вдоль слоев, или так называемая $д и ф-$ фузия Арнольда.
Диффузия Арнольда. Для двух степеней свободы двумерные инвариантные поверхности (торы) разделяют трехмерный энергетический «объем» в фазовом пространстве на изолированные слои, подобно тому как линии на плоскости выделяют изолированные области (рис. 1.16, a). Но уже для трех степеней свободы трехмерные торы не разделяют пятимерный энергетический «объем», как линии не могут изолировать трехмерную область (рис. 1.16, б). Таким образом, при $N>2$ инвариантные $N$-мерные торы не разделяют ( $2 N-1)$-мерную энергетическую поверхность на отдельные области. Поэтому при $N>2$ в типичном случае все стохастические слои на энергетической поверхности связаны в единую сложную сеть-паутину Арнольда. Эта паутина пронизывает все фазовое пространство, подходя сколь угодно близко к любой его точке. Для началь-

Рис. 1.16. Топология энергетической поверхности (по данным работы [273]). $a$ – двумерная энергетическая повер хность (плоскость) разделяется ин вариантными кривыми на изолированные области; $\sigma$ – трехмерная энергетическая «поверхность» (объем). не разделяется одномерными кривыми.

ных условий на паутине стохастическая траектория пересекает в конце концов любую область энергетической поверхности, даже когда возмущение $\varepsilon \rightarrow 0$. Это и есть диффузия Арнольда.

Слияние стохастических траекторий в единую сеть было доказано [12] для специальной нелинейной системы. В общем случае такого доказательства до сих пор нет, но известно несколько численных примеров диффузии Арнольда. С практической точки зрения возникают два основных вопроса: 1) какова относительная мера стохастической компоненты в интересующей нас области фазового пространства и 2) какова скорость диффузии Арнольда для тех или иных начальных условий. Оценку размеров стохастической компоненты можно получить из критерия перекрытия резонансов (см. гл. 6).

Так же как и в системах с двумя степенями свободы, перекрытие резонансов приводит к образованию стохастического слоя конечной ширины и вызывает движение поперек слоя. Новой особенностью диффузии Арнольда является движение вдоль стохастического слоя, которое возникает при взаимодействии по крайней мере трех резонансов. Схема такого движения изображена на рис. 1.17. В плоскости ( $J_{1}, \theta_{1}$ ) показана проекция резонанса и его стохастического слоя. Ось переменной действия $J_{2}$ перпендикулярна этой плоскости. Для консервативной системы с двумя степенями свободы сохранение энергии и изменение $J_{1}$ только в пределах стохастического слоя ограничивают изменение $J_{2}$. Однако при наличии еще одной степени свободы или в случае зависимости гамильтониана от времени последнее ограничение отпадает, и становится возможным движение вдоль стохастического слоя по $J_{2}$.

Рис. 1.17. Быстрая диффузия идет погерек стохастического слоя, а медлен ${ }^{-}$ ная диффузия Арнольда-вдоль слоя.

При взаимодействии трех резонансов скорость диффузии Арнольда была найдена Чириковым [70] и Теннисоном и др. [406 [11). Это рассматривается в гл. 6. В общем случае взаимодействия многих резонансов строгая оценка сверху была получена Нехорошевым [314]. Однако, вообще говоря, она значительно завышает скорость диффузии. Обзор численных экспериментов по диффузии Арнольда в области взаимодействия многих резонансов [72] дан в гл. 6.