Рассмотрим развитый Грином $[164,165]$ метод, который позволяет найти точную границу перехода к глобальной стохастичности. Этот метод постулирует соответствие между двумя следующими свойствами системы (рис. 4.7): 1) разрушение инвариантной кривой с иррациональным числом вращения $\alpha$ и 2) потеря устойчивости периодических точек, число вращения которых $r / s \rightarrow \alpha$ при $s \rightarrow \infty(r, s-$ взаимно простые числа).
Средний вычет. Для линеаризованного отображения, заданного матрицей А вблизи периодической точки (см. п. 3.3б), вычет определяется как
\[
R=\frac{1}{4}(2-\mathrm{Sp} \mathrm{A}) \text {. }
\]

Сравнение с (3.3.54) показывает, что для $0 \leqslant R \leqslant 1$
\[
R=\sin ^{2}\left(\frac{\sigma}{2}\right),
\]

где $\sigma$ – сдвиг фазы на одну итерацию отображения. Поэтому периодическая точка устойчива при условии
\[
0<R<1 .
\]

Матрица А вычисляется с помощью (3.3.43) и (3.3.44) и для перио-

Рис. 4.7. К методу Грина.
Периодические точки 1 с $\alpha_{n}=r / s(s=12)$ приближают инвариантную кривую 2 с иррациональным числом вращения $\alpha$.

дической точки с $\alpha=r / s$ стандартного отображения ее можно записать в виде
\[
\mathrm{A}=\prod_{i=1}^{s}\left(\begin{array}{rr}
1 & K \cos \theta_{i} \\
1 & 1+K \cos \theta_{i}
\end{array}\right) .
\]

Из полученного выражения в принципе можно найти вычет $R$. Јднако более удобным методом нахождения вычета является предтавление его в виде детерминанта, как показано Хеллеманом и

Баунтисом [183]:

Соответствующая матрица размерности $s \times s$ является тридиагональной с дополнительными элементами – 1 в двух углах. Если $K$ велико, то $R \propto K^{s}$. Грин покєзал, что это верно также и для малых $K$, и на этом основании принял такую же зависимость и для всех $K$. Следовательно, вычет экспоненциально зависит от периода $s$. Для больших $s$ значение $R$ стремится к нулю в устойчивом случае и неограниченно возрастает в неустойчивом. Естественно поэтому исследовать поведение величины
\[
f=\left(\frac{|R|}{\beta}\right)^{1 / s},
\]

которую Грин назвал средним вьчетом. Постоянная $\beta \sim 1$ выбирается из условия быстрой сходимости при численном итерировании, что дает возможность получать надежные результаты для относительно малых $s$. Условие устойчивости имеет вид: $f<1$.
Золотое сечение. Можно показать (см., например, [227]), что наилучшим способом аппроксимации иррационального числа рациональными является разложение первого в непрерывную дробь. Для иррационального $\alpha$ на отрезке $(0,1)$ такое разложение можно представить в виде
\[
\alpha=\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\frac{1}{a_{3}+\ldots}}}
\]

и символически записать как $\alpha=\left[a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots\right]$, где $a_{n}$ – положительные целые числа. Значение $a_{1}$ равно целой части $1 / \alpha$

и т. д. ${ }^{\mathbf{1}}$. Разложение в непрерывную дробь единственно, а подходящие дроби $r_{n} / s_{n}=\left[a_{1}, \ldots, a_{n}\right] \fallingdotseq \alpha_{n}$ наилучшим образом аппроксимируют $\alpha$ в том смысле, что не существует других дробей $r / s$, которые были бы ближе к $\alpha$ для $s \leqslant s_{n}$. Можно показать, что знаки последовательных разностей ( $\left.\alpha-r_{n} / s_{n}\right)$ противоположны, а сходимость
\[
\left|\alpha-\frac{r_{n}}{s_{i 2}}\right| \leqslant \frac{1}{s_{n} s_{n-1}}
\]

является квадратичной по $s$ для больших $s$. В качестве примера возьмем число $\alpha=\pi-3=0,14159 \ldots$, т. е. дробную часть $\pi$. Разложение его в непрерывную дробь имеет вид
\[
\pi-3=[7,15,293, . .] .
\]

Большие значения $a_{n}$ ясно указьвают на быструю сходимость подходящих дробей.

Можно ожидать, что инвариантная кривая, которая разрушается последней с ростом возмуцения, имеет чйсло вращения $\alpha$, которое хуже всего приближается рациональными числами, т. е. разложение которого в непрерывную дробь содержит минимальные $a_{n}$. Очевидно, что таким является число ${ }^{2}$ )
\[
\alpha_{g}=[1,1,1, \ldots]=\frac{\sqrt{5}-1}{2},
\]

особые свойства которого были давно известны и которое получило название золотого сечения. Поэтому для определения границы стохастичности нужно исследовать устойчивость периодических точек с $\alpha_{g n} \rightarrow \alpha_{g}$. Численные исследования стандартного отображения, действительно, показывают, что последняя инвариантная кривая имеет $\alpha \approx \alpha_{g}$, подтверждая тем самым интуитивное предположение Грина ${ }^{3}$ ). Любое отображение, которое можно локально аппроксимировать стандартным отображением, будет обладать этим же свойством. Однако резонансная структура стандартного отображения весьма специфична (она является однородной по импульсу). В более общем случае это уже не так [117]. Мы обсудим этот вопрос в $\S 4.5$.

При численном исследовании устойчивости сходимость улучшается, если начальное значение $R$ уже близко к предельному
1) Подобно тому как разложение в десятичную дробь ( $\alpha=\Sigma g_{n} k^{-n}$; $k=10$ ) можно представить в виде отображения $\beta_{n+1} \stackrel{=}{=} \beta_{n}, \bmod 1 ; g_{n} \doteq$ $=\left[k \beta_{n}\right]$, разложению в непрерывную дробь соответствует отображение: $\beta_{n+1}=1 / \beta_{n}, \bmod 1 ; a_{n}=\left[1 / \beta_{n}\right]$. Оба отображения, кстати говоря, приводят к хаотическому движению для почти всех $\alpha$ (см., например, [486], гл. 7 и ниже).- Прим. ред.
2) Это «очевидное» заключение обманчиво. Например, если не ограничиваться положительными $a_{n}$, то $\alpha_{g}-1=[-3,3,-3, \ldots] .-$ Прмм. ред.
${ }^{3}$ ) В действительности ситуация как раз обратная: исходя из этого предположения, Грин исследовал устойчивость периодических точек только для $\alpha=\alpha_{g}$ (см. п. 4.4 ниже).-Прим. ред.

при $s \rightarrow \infty$. Грин численно показал, что в случае золотого сечения для критического значения $K=K_{c}$ вычет стремится к пределу
\[
R\left(\alpha_{g}, K_{c}\right)=\frac{1}{4} .
\]

Поэтому при $\beta=1 / 4$ в (4.4.6) $f$ становится ближе к единице, и можно ожидать более быстрой сходимости. Это, действительно, подтверждается численными данными.

Метод Грина позволяет также найти условия разрушения инвариантных кривых на фазовой плоскости. Наиболее устойчивой будет инвариантная кривая с числом вращения вида
\[
\alpha=\left[a_{1}, \ldots ., a_{n}, 1,1, \ldots .\right] \text {, }
\]

где $a_{1}, \ldots, a_{n}$ характеризуют определенную область фазовой плоскости. Численные результаты показывают, что и в этом случае вычет имеет тот же предел (4.4.11), а значение $\beta=1 / 4$ обеспечивает быструю сходимость.

Помимо разложения в непрерывную дробь, можно использовать и другие аппроксимации а и соответствующие им системы периодических точек. Например, Лансфорд и Форд [286] использовали представление $\alpha^{-1}=k \pm 1 / n$, где $k, n$ – целые числа, причем $n$ пробегает значения в интервале $1<n \leqslant n_{0}$. Этот метод оказался удобным, хотя и не очень точным. Еще один метод, основанный на фрактальных диагрсммах, был предложен Шмидтом и Билеком [364]. Мы сравним его с методом Грина в п. 4.4б.

Другие результаты. В работе Грина [165] получены и другие интересные результаты. Рассмотрим кратко некоторые из них. Прежде всего из (4.4.2) следует, что значение $R=1 / 4$ соответствует $\sigma=\pi / 3$. Это означает, что разрушение инвариантных кривых в какой-либо области фазового пространства соответствует возникновению вторичных резонансов шестой гармоники вокруг периодических эллиптических точек с большими $s \rightarrow \infty$. Но то же самое происходит в стандартном отображении и для неподвижной точки ( $s=1$ ), т. е. в противоположном пределе по $s$. Фактически численные результаты Грина показывают, что все периодические траектории с $\alpha=\alpha_{g n}$ обладают этим свойством.

Другой результат Грина имеет большое практическое значение для проведения численных исследований. Он показал (подробнее см. §5.5), что при численном счете траектории, лежащей на инвариантной кривой, ошибки счета значительно больше вдоль кривой, чем поперек ${ }^{1}$ ). Поэтому численное определение самой инвариантной кривой можно производить на очень большом числе итераций без существенного ее искажения.

Наконец, укажем, что метод Грина можно использовать для проверки интегрируемости системы. Если $R=0$ во всем фазовом
1 По этому поводу см. также работу [57].- Прим. ред.

пространстве, то собственные значения линеаризованного отображения равны $\lambda_{1}=\lambda_{2}=1$, а матрица отображения имеет вид (3.3.71). Это означает отсутствие эезонансной структуры движения и поэтому такая система является, по-видимому, полностью интегрируемой.