Рассмотрим осциллятор с двумя степенями свободы, гамильтониан которого $H$ не зависит от времени. Так как система предполагается интегрируемой, то можно ввести переменные действие – угол (см. п. 1.2 в) и
\[
H\left(J_{1}, J_{2}\right)=E,
\]

где $E$ – сохраняющаяся энергия системы, а $J_{1}, J_{2}$ – интегралы движения. Сохранение энергии позволяет уменьшить размерность области движения в фазовом пространстве с четырех до трех. Сохранение любой из переменных действия позволяет привести эту область к двумерной поверхности в трехмерном пространстве постоянной энергии. Движение по эгой поверхности можно параметризовать с помощью частот, соответствующих каждой из двух степеней свободы:
\[
\theta_{1}=\omega_{1} t+\theta_{10}, \quad \theta_{2}=\omega_{2} t+\theta_{20},
\]

где угловые переменные определены по модулю $2 \pi$.

Рис. 3.1. Интегрируемая система с двумя степенями свободы.
$a$ – движение на торе $J_{1}=$ const, $J_{2}=$ cons; 6 – повер хность сечения Пуанкаре $\theta_{2}=$ $=$ const, треугольники и кружки – две периодические траектории ( $s=6$ ) с разными начальнымн условиями. Сп. периодической траектории.

Движение на торе. Движение описанной системы удобно представить как движение на торе в фазовом пространстве. Такое представление можно обобщить и на системы с бо́льшим числом степеней свободы. Зададим некоторую энергию $E$ и рассмотрим одну из двух степеней свободы, скажем первую. Тогда $J_{1}$ параметризует инвариантные поверхности, т. е. задает «радиусы окружностей», а угол $\theta_{1}$ характеризует положение системы на окружности. Для полного описания необходимо учєсть угол $\theta_{2}$, так что инвариантная поверхность оказывается тором, как показано на рис. 3.1, a. Задание $J_{1}$ и $E$ определяет также $J_{2}$, а вместе с ним и отношение
\[
\alpha=\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}},
\]

поскольку $\omega_{1}=\omega_{1}(\boldsymbol{J})$ и $\omega_{2}=0_{2}(\boldsymbol{J})$. При $\alpha=r^{\prime} s$, где $r, s-$ взаимно простые целые числа, частоты соизмеримы, и движение на торе вырождается в периодическую траекторию, которая замыкается после $r$ оборотов по $\theta_{1}$ и $s$ оборотов по $\theta_{2}$. В общем случае $\alpha$– иррациональное число, и траектория покрывает всю поверхность тора. Поскольку $r$ и $s$ могут быть очень большими, периодические траектории расположены в фазовом пространстве всюду плотно.

Представление о движении на торе особенно полезно, потому что его можно обобщить и на системы с более чем двумя степенями свободы. Сохранение каждой из переменных действия уменьшает размерность инвариантной поверхности на единицу. Так, если у системы с $N$ степенями свободы в $2 N$-мерном фазовом пространстве все $N$ переменных действия сохраняются, движение происходит по $N$-мерной поверхности, или многообразию, и описывается $N$ угловыми переменными. Топологически эта поверхность является $N$-мерным тором, т. е. по аналогии с рис. $3.1, a \quad N$ фазовых переменных взаимно ортогональны и определены по модулю $2 \pi$, а положение поверхности задается переменными действия.

Важным следствием этих представлений является то, что в произвольных канонических переменных
\[
p=p(J, \theta), \quad q=q(J, \theta)
\]

движение интегрируемой системы можно записать в виде
\[
\begin{array}{l}
p(t)=\sum_{m} p_{m}(\boldsymbol{J}) e^{i(m \cdot \omega t+-m \cdot \beta)}, \\
q(t)=\sum_{m} q_{m}(\boldsymbol{J}) e^{i(m \cdot \omega t+m \cdot \beta)},
\end{array}
\]

где $\boldsymbol{m}$ – целочисленный, а $\boldsymbol{\beta}$ – постоянный $N$-мерные векторы. Уравнения (3.1.5) следуют из фурье-разложения по угловым переменным и в общем случае описывают квазипериодические колебания $\boldsymbol{p}$ и $\boldsymbol{q}$.
Для получения периодического решения положим ${ }^{1}$ )
\[
\boldsymbol{m} \cdot \boldsymbol{\omega}=0 .
\]

Так как вектор $\boldsymbol{m}$ имеет целочисленные компоненты, то отношение частот $\omega_{i}$ является рациональным числом, т .е. $\omega_{i}=n_{i} \omega_{0}$, где це-
1) Имеется в виду, что $N=2 .-$ Прим. ред.

лые числа $n_{i}$ не имеют общего множителя. Траектория замыкается через период
\[
T=\frac{2 \pi}{\omega_{0}}=\frac{2 \pi n_{i}}{\omega_{i}},
\]

где $n_{i}$ – число оборотов по $i$-й степени свободы с частотой $\omega_{i}$.
Отображение поворота. При изучении фазовых траекторий, особенно в случае двух степеней свободы, удобно использовать метод сечения Пуанкаре, подробно описанный в п. 1.2б. Для гамильтониана (3.1.1) в качестве поверхности сечения можно выбрать либо плоскость $\left(J_{1}, \theta_{1}\right)\left(\theta_{2}=\right.$ const $)$, либо плоскость $\left(J_{2}, \theta_{2}\right)$ ( $\theta_{1}=$ const $)$. В первом случае последовательные пересечения с плоскостью $\left(J_{1}, \theta_{1}\right)$ отделены друг от друга интервалом времени $\Delta t=2 \pi / \omega_{2}$, причем $J_{1}=$ const (см. рис. 3.1,a). За это время $\theta_{1}$ увеличивается на $\omega_{1} \Delta t=2 \pi \alpha\left(J_{1}\right)$, где $\alpha$ – число вращения. Так как $J_{2}=$ $=J_{2}\left(J_{1}, E\right)$, то при заданном $E$ величину $\alpha$ можно считать функцией только $J_{1}$. Опуская для упрощения записи индекс 1 , получаем уравнения, описывающие переход от $n$-го к ( $n+1$ )-му пересечению:
\[
\begin{array}{l}
J_{n+1}=J_{n}, \\
\theta_{n+1}=\theta_{n}+2 \pi \alpha\left(J_{n+1}\right),
\end{array}
\]

где для дальнейшего мы записали $\alpha$ как функцию $J_{n+1}$, а не $J_{n}$. Отображение (3.1.8) называется отображением поворота ${ }^{\mathbf{1}}$ ). При таком отображении окружности переходят в себя, но число вращения зависит, вообще говоря, от радиуса окружности. При иррациональном $\alpha$ любая траектория равномерно заполняет окружность при $n \rightarrow \infty$. При рациональном $\alpha \leftrightharpoons r / s$, где $r$ и $s-$ взаимно простые числа, получаются периодические траектории с периодом $s$ итераций. Две такие траектории с $s=6$ показаны на рис. 3.1, б.

Отображение поворота не обязательно записывать в переменных действие – угол. Например, уравнения
\[
\begin{array}{l}
x_{n+1}=x_{n} \cos \psi-y_{n} \sin \psi, \\
y_{n+1}=x_{n} \sin \psi+y_{n} \cos \psi,
\end{array}
\]

где $\psi$ – параметр, определяют линейное отображение поворота. Возмущение этого отображения будет описано в п. 3.2г.

Как отмечалось в п. 1.2б, двумерное отображение поворота должно сохранять площадь:
\[
\frac{\partial\left(J_{n+1}, \theta_{n+1}\right)}{\partial\left(J_{n}, \theta_{n}\right)} \equiv\left[\theta_{n+1}, J_{n+1}\right]=1 .
\]

Аналогичное соотношение выполняется и для (3.1.9).
1) В оригинале -twist mapping (закручивающее отображение).- Прим. перев.

Эти результаты обобщаются и на интегрируемые системы с $N$ степенями свободы $\left(H=\right.$ const). Выбирая, скажем, $Q_{N}=$ const в качестве поверхности сечения, получаем отображение поворота для $N-1$ оставшихся пар переменных действие – угол:
\[
\begin{array}{l}
J_{n+1}=J_{n}, \\
\theta_{n+1}=\theta_{n}+2 \pi \alpha\left(J_{n+1}\right),
\end{array}
\]

где $\alpha_{i}=\omega_{i} / \omega_{N}$ – число вращения для $i$-й пары. Условия на скобки Пуассона, эквивалентные сохранению площади двумерного отображения, очевидно выполняются.