Рассмотрим движение, описываемое $N$ дифференциальными уравнениями первого порядка
\[
\frac{d x}{d t}=V_{i}(x),
\]

где $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{V}-N$-мерные векторы, тричем $\boldsymbol{V}$ не зависит явно от времени. Фазовое пространство такой системы характеризуется переменными $x_{i}(i=1, N)$ и имеет размерность $N$. Если $\boldsymbol{V}$ – гладкая функция, то решение для потока $\boldsymbol{x}\left(\boldsymbol{x}_{0}, t\right)$ существует при всех $t$. Любая точка фазового пространства однозначно определяет состояние системы (7.1.1). В п. 1.2б уже показывалось, как построить сечение Пуанкаре и соответствующее стображение Пуанкаре для гамильтоновой системы. В диссипативных системах такие отображения сохраняют некоторые, но не все свойства, присущие гамильтоновым системам. Как видно из рис. 1.3 , $a$, на котором изображена поверхность сечения $\sum_{R}$, отображение Пуанкаре строится с помощью интегрирования уравнений (7.1.1) между двумя последовательными пересечениями траектории с $\sum_{R}$. Отображение имеет вид
\[
\boldsymbol{x}_{n+1}=f\left(x_{n}\right),
\]

где $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{f}$ – векторы размерности $N-1$. Если функция $\boldsymbol{V}(\boldsymbol{x})$ является гладкой, а вектор $V$ нигде не касается $\sum_{R}$, то можно показать, что $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ также гладкая функция. Более того, поскольку решение $\boldsymbol{x}\left(\boldsymbol{x}_{0}, t\right)$ существует для всех $t$, то функция $\boldsymbol{f}$ обратима, т. е. уравнения (7.1.2) можно однозначно разрешить относительно $\boldsymbol{x}_{n}$ :
\[
x_{n}=f^{-1}\left(x_{n+1}\right) .
\]

Это соответствует изменению зғака времени и интегрированию (7.1.1) от $\boldsymbol{x}_{n+1}$ до $\boldsymbol{x}_{n}$.
1) См. также [526-529].- Прим. перев.

Сжатие фазового объема. По теореме Лиувилля (п. 1.2б) при движении гамильтоновой системы єе фазовый объем сохраняется. В противоположность этому в диссипативных системах фазовый объем в среднем сжимается.
Вычислим изменение малого элемента объема $\Delta \tau$ в точке $x_{0}$ :
\[
\Delta \tau\left(x_{0}, t\right)=\prod_{i} \Delta x_{i}
\]

где
\[
\Delta x_{i}\left(x_{0}, t\right)=\frac{\partial x_{i}\left(x_{0}, t\right)}{\partial x_{i_{0}}} \Delta x_{i_{0}} .
\]

Скорость изменения $\Delta \tau$ равна
\[
\backslash(x) \equiv \frac{1}{\Delta \tau} \frac{d(\Delta \tau)}{d t}=\sum_{i} \frac{1}{\Delta x .} \frac{d\left(\Delta x_{i}\right)}{d t} .
\]

Из (7.1.5) имеем
\[
\frac{d\left(\Delta x_{i}\right)}{d t}=\frac{\partial}{\partial x_{i 0}} \frac{d x_{i}\left(x_{0}, t\right)}{d t} \Delta x_{i 0} .
\]

Используя (7.1.1) вблизи $t=0$, для нормированного изменения объема получаем из (7.1.6) при $t \rightarrow 0$ :
\[
\Lambda=\sum_{i} \frac{\partial V_{i}}{\partial x_{i}}=\operatorname{div} \boldsymbol{V} .
\]

Локальная величина $\Lambda$ зависит от $\boldsymbol{x}(t)$ и может быть как положительной (растяжение), так и отрицательной (сжатие). Однако под диссипативными мы понимаем такие системы, для которых фазовый объем в среднем сжимается. Записывая среднюю скорость сжатия как
\[
\Lambda_{0}\left(x_{0}\right)=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \ln \left|\frac{\Delta \tau\left(x_{0}, t\right)}{\Delta \tau\left(x_{0}, 0\right)}\right|,
\]

потребуем, чтобы $\Lambda_{0}<0$ для всех $\boldsymbol{x}_{0}$.
Для $N$-мерного отображения локальный объем $\Delta \tau$ сжимается за одну итерацию в $|\operatorname{det} \boldsymbol{M}(\boldsymbol{x})|$ раз, где $\mathbf{M}$ – матрица Якоби для отображения. Скорость сжатия равна
\[
\Lambda(x)=\frac{1}{\Delta \tau} \frac{d(\Delta \tau)}{d n}=\ln |\operatorname{det} M(x)|,
\]

где $n$ – число итераций. Усредняя эту величину вдоль траектории, так же как и в (7.1.9), получим $\Lambda_{0}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)$.

Общий случай диссипативных систем с произвольной зависимостью $\Lambda(\boldsymbol{x})$ мало исследован. В большинстве известных задач $\Lambda(x)=-c$, где $c$ – положительная постоянная, т. е. имеет место однородное сжатие всего фазового объема. Очевидно, что для таких систем $\Lambda_{0}=-c$.

Показатели Ляпунова. Среднюю скорость сжатия фазового объема можно выразить через показатели Ляпунова, которые были определены в п. 5.2б для гамильтоновых систем. То же самое определение остается в силе и для диссипативных систем. Для $N$-мерного фазового пространства имеется $N$ показателей, которые можно упорядочить следующим образом:
\[
\sigma_{1} \geqslant \sigma_{2} \geqslant \text {. . } \geqslant \sigma_{N},
\]

где $\sigma_{1}=\sigma_{\text {макс }}-$ наибольший показатель, а один из остальных показателей, соответствующий смещению вдоль траектории, равен нулю. Используя (5.2.14) и (5.2.16), для средней скорости сжатия получаем
\[
\Lambda_{0}=\sum_{i=1}^{N} \sigma_{i}
\]

Определение величины $\Lambda_{0}$ согласно (7.1.9) и (7.1.11), равно как и определение самих показателей Ляпунова, применимо как для потоков, так и для отображений, включая отображение Пуанкаре, соответствующее исходному потоку. В последнем случае $N-1$ показателей $\sigma_{i}$ пропорциональны соответствующим показателям потока [см. (5.2.20)], а нулевой показатель опускается.

Хаотическое движение, как и в гамильтоновых системах, связано с экспоненциальной расходимостью близких траекторий, т.е. для хаотического движения $\sigma_{i}>0$. С другой стороны, фазовый объем должен сжиматься. Из эти двух фактов следует, что хаотическое движение для одно- и двумерных потоков невозможно ${ }^{1}$ ). Для двумерного случая ( $N=2$ ) отображение Пуанкаре одномерное (и обратимое), поэтому из (7.1.11) следует, что $\Lambda_{0}=\sigma_{1}$. Такое отображение не может быть одновременно и диссипативным $\left(\Lambda_{0}<0\right)$ и хаотическим $\left(\sigma_{1}>0\right)$. Поэтому наиболее простыми системами с хаотическим поведением являются трехмерные потоки или двумерные отображения. В последнем случае для хаотического движения должно быть $\sigma_{1}>0$ и $\sigma_{1}+\sigma_{2}<0$.

В некоторых предельных случаях из обратимых отображений c $N \geqslant 2$ можно получить одномерные необратимые отображения. Их поведение исследуется в § 7.2. Для таких отображений связь растяжения фазового объема с расходимостью близких траекторий нарушена, и при $\sigma_{1}>0$ возникает ограниченное хаотическое движение. Қак будет показано, многие многомерные диссипативные системы приближенно можно свести к одномерным отображениям.
Простые аттракторы. Так как фазовый объем в диссипативных системах сжимается до нуля, то устойчивое стационарное движение
1) Фактически теорема Пуанкаре – Бендиксона утверждает, что хаотическое движение невозможно для любых двумерных потоков, как диссипативных, так и недиссипативных. Мы уже убедились в этом для гамильтоновых систем с одной степенью свободы (двумерное фазовое пространство).

в $N$-мерной системе должно происходить на «поверхности» меньшей размерности. Грубо говоря, такую поверхность и называют аттрактором. Более точно, мы будем называть аттрактором, следуя Лэнфорду [254], такое подмножество $X$ фазового пространства, которое удовлетворяет следующим условиям:
1) $X$ инвариантно относительно потока;
2) существует (открытая) окрестность $X$, которая сжнмается к $X$ под действием потока;
3) никакая часть $X$ не является переходной ${ }^{1}$ );
4) $X$ нельзя разложить на два непересекающихся инвариантных множества.

Областью притяжения аттрактора $X$ является множество состояний в фазовом пространстве, которые стремятся к $X$ при $t \rightarrow \infty$. Обычно для $N$-мерного потока имеется конечное число аттракторов $X_{1}, \ldots, X_{M}$, хотя известны примеры и с бесконечным числом аттракторов. С точностью до меры нуль все начальнье состояния лежат в области притяжения одного из $M$ аттракторов (см. рис. 7.1).
1) То есть траектория не уходит из нее при $t \rightarrow \infty .-$ Прим. ред.

Для одномерных потоков единственными аттракторами являются устойчивые неподвижные точки, или устойчивые фокусы (аналогично точке $X_{\mathbf{1}}$ на рис. 7.1). Напэимер, для уравнения
\[
\frac{d x}{d t}=-V(x, \mu)
\]

Рис. 7.2. Бифуркации в одномерных и двумерных потоках.
$a$– тангенциальная бифуркация; 6 – смена устойчивости; $в$ – бифуркация удвоения; $?$ – обратная бифуркация удвоения; $\partial$ – бифуркация Хопфа; e-обратная бифуркация Хопфа. Случаи ( $a-2$ ) типичны для одномерных потоков; случаи ( $a-e$ ) – для двумерных потоков. Сплошные кривые – устойчивые решения, пунктирныс кривые – неустойчивые решения.

где $V=\mu-x^{2}$, а $\mu$ – некоторый параметр, положение неподвижных точек получается из условия $d x / d t=0$ или $V=-\partial U / \partial x=0$ и равно $\pm \sqrt{\mu}$. Исследуя потенциал $U(x, \mu)$ вблизи неподвижных точек, найдем, что точка $x=+\sqrt{\mu}$ устойчива, а точка $x=$ $=-\sqrt{\mu}$ неустойчива. При $\mu<0$ неподвижные точки для действительных $x$ отсутствуют. Появлєние двух неподвижных точек при прохождении $\mu$ через нуль иллюстрируется на рис. $7.2, a$ и является примером тангенциальной бифуркации. Существуют бифуркации и других типов. Так, для $V=\mu x-x^{2}$ происходит смена устойчивости (рис. 7.2,б). Для $V=\mu x-x^{3}$ имеет место бифуркация удвоения ${ }^{1}$ ) (рис. 7.2, в), при которой вместо одного устойчи-
1) В оригинале – pitchfork bifurcation (бифуркация типа «вилки»).Прим. перев.

вого фокуса возникают два. Возможна также и обратная бифуркация удвоения (рис. 7.2 , г). За исключением особых случаев, только эти бифуркации и встречаются в одномерных потоках.

Для ограниченного двумерного потока на плоскости, согласно теореме Пуанкаре-Бендиксона, имеются только два типа аттракторов: 1) устойчивые неподвижные точки, или устойчивые фокусы, и 2) простые замкнутые кривые, или предельные циклы (кривая $X_{2}$ на рис. 7.1). Покажем, как образуется предельный цикл для системы
\[
\begin{array}{l}
\frac{d r}{d t}=\mu r-r^{2}, \\
\frac{d \theta}{d t}=\omega_{0}>0,
\end{array}
\]

где $r, \theta$ – полярные координаты. При $\mu<0$ правая часть (7.1.12а) всегда отрицательная и траектория свертывается к фокусу $r=0$. Для $\mu>0$ вблизи $r=0$ скорость $r$ положительна и неподвижная точка $r=0$ перестает быть притягивающей. Поскольку $\dot{r}>0$ для всех $r<\mu$ и $\dot{r}<0$ для $r>\mu$, то траектория стремится к предельному циклу $r(t)=\mu, \theta(t)=\omega_{0} t+\theta_{0}$.

Превращение устойчивого фокуса в предельный цикл при прохождении $\mu$ через нуль (рис. 7.2,2) называется бифуркацией Хопфа. Возможна также и обратная бифуркация Хопфа (рис. 7.2, е). На рис. 7.2, $a$-e показаны все типичные бифуркации в двумерных потоках ${ }^{1}$ ).