Напомним (см. рис. 5.2) определение характеристического показателя Ляпунова $\sigma$ для траектории $\boldsymbol{x}(t)$ и близкой к ней $\boldsymbol{x}+\boldsymbol{w}$, где $w$ – касательный вектор:
\[
\begin{array}{c}
\sigma\left(x_{0}, w_{0}\right)= \\
=\lim _{\substack{t \rightarrow \infty \\
d(0) \rightarrow 0}} \frac{1}{t} \ln \frac{d(t)}{d(0)} .
\end{array}
\]

В системах, близких к интегрируемым, аналитический и численный расчет показателей $\sigma$ (особенно максимального $\sigma \rightleftharpoons \sigma_{1}$ ) широко используется в качестве критерия стохастичности. Отметим прежде всего [57], что в ин-
Рис. 5.5. Линейный рост расстояния $d(t)$ между близкими траекториями в интегрируемой системе на примезе отображения поворота. тегрируемых гамильтоновых системах все $\sigma$ равны нулю. Рассмотрим в качестве примера движение на торе [в проекции на плоскость $(J, \theta)$ см. рис. 3.1, $a$ ]:
\[
\begin{array}{l}
J(t)=J_{c}, \\
\theta(t)=\theta_{0} \div \omega(J) t .
\end{array}
\]

Как показано на рис. 5.5, траектории в этом случае представляют собой окружности, а расходимость близких траекторий оказывается максимальной, когда вектор $w=(\Delta J, 0)$, т. е. направлен вдоль радиуса. Для двух близких траекторий имеем
\[
\begin{array}{l}
\theta_{1}(t)=\theta_{0}+\omega_{0} t, \\
\theta_{2}(t)=\theta_{0}+\omega_{0} t-\omega_{0}^{\prime} d_{0} t,
\end{array}
\]

где $\omega_{0}^{\prime}$ – производная по $J$. Расстояние между траекториями равно
\[
d^{2}(t)=J_{0}^{2}\left(\theta_{2}-\theta_{1}\right)^{2}+d_{0}^{2}=d_{0}^{2}\left[\left(\omega_{0}^{\prime} J_{0} t\right)^{2}+1\right]
\]

и при больших $t$ растет линейно со временем. Тогда из (5.2.8) имеем
\[
\sigma_{1}=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{2 t} \ln \left[\left(\omega_{0}^{\prime} J_{0} t\right)^{2}-1\right]=0 .
\]

С другой стороны, в хаотической области
\[
\begin{array}{c}
d(t)-d_{0} e^{\sigma_{1}(x) t}, \\
\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \ln \frac{d}{c_{0}^{\prime}}=\sigma_{1}>0 .
\end{array}
\]