Рассмотрим свойства одномерных отображений вида
\[
x_{n+1}=f\left(x_{n}, C\right) \text {, }
\]

где $C$ – некоторый параметр. Қак мы уже видели, к таким отображениям сводятся более сложные диссипативные системы ${ }^{1}$ ). Они возникают также и как самостоятельные простые модели некоторых систем. Например, переменная $x_{n}$ может описывать популя-

Рис. 7.8. Типичный пример одномерного необратимого отображения.

цию какого-то вида в $n$-й год, а $f$ – влияние окружающей среды. Пусть задана начальная популяция $x_{0}$. Как будет изменяться эта популяция? Как ее эволюция зависит от окружающей среды?

Ниже мы ограничимся функциями $f$ некоторого определенного вида. Если $f$ – линейная функция, то решение (7.2.1) тривиально. В случае обратимой функции $f$ (монотонная зависимость от $x$ ) движение также простое и не обладает хаотическими свойствами. Стационарные состояния являются периодическими, а бифуркации типа удвоения периода отсутствуют. Как будет видно ниже, хао-
1) Это справедливо, если исходная система имеет только один положительный показатель Ляпунова.

тическое движение связано ${ }^{1}$ ) с областями вблизи $f^{\prime}(x)=0$. Поэтому мы ограничимся простейшим интересным случаем, когда $f(x)$ имеет единственный максимум (или минимум). Типичная $f(x)$ в этом случае схематически изображена на рис. 7.8. Для малых $x$ происходит увеличение $x$, а для больших – уменьшение. Такое отображение может, например, моделировать окружающую среду, в которой рост популяции ограничен запасами пищи и загрязнением окружающей среды.

Итерируя (7.2.1), можно проследить за эволюцией $x$ для любого заданного $x_{0}$. Можно также исследовать поведение (7.2.1) графически:
a) по $x_{0}$ находим $x_{1}=f\left(x_{0}\right)$, двигаясь вертикально вверх (см. рис. 7.8$)$;
б) переводим $x_{1}$ на ось $x$, деигаясь горизонтально до пересечения с прямой $f=x$;
в) повторяя «а» и «б», находим $x_{2}, x_{3}$ и т. д. Из рис. 7.8 видно, что отображение необратимо, поскольку одному и тому же $x_{1}$ соответствуют два начальных состояния $x_{0}$ и $x_{0}^{\prime}$. Поэтому обратное отображение будег неоднозначным.
Для случая, изображенного на рис. 7.8 , вне зависимости от выбора $x_{0}$ решение сходится к точке $x_{11}$, которая является неподвижной точкой отображения:
\[
x_{11}=f\left(x_{11}\right) \text {. }
\]

Ясно также, что $x_{11}$ – устойчивая (притягивающая) неподвижная точка. Другая неподвижная точка $x=0$ является неустойчивой (отталкивающей).
Квадратичные отображения. Как уже упоминалось, переход к хаосу для одномерного отображения с одним максимумом определяется поведением отображения вблизи его экстремума. Для типичного случая, когда $f^{\prime}=0$, но $f^{\prime \prime}
eq 0$, отображение локально квадратично. Разложение в ряд Тейлора вблизи экстремума приводит к квадратичному отображению общего вида
\[
z_{n+1}=a+b z_{n}+c z_{n}^{2} \text {. }
\]

Линейным преобразованием его можно привести к нормальной форме, которую мы и будем называть квадратичным отображением:

где
\[
x_{n+1}=f\left(x_{n}\right) \text {, }
\]
\[
f\left(x_{n}\right)=2 C x_{n}+2 x_{n}^{2} \text {. }
\]
1) Это условие не является необходимым для хаоса, как показывает рассмотренный ранее пример (5.2.32), а также отображение Лоренца (рис. 1.21). Напротив, области с $f^{\prime}=0$ способствуют устойчивости (регулярности) движения, так как они уменьшают показатели Ляпунова [см. (7.2.46) ]. Поэтому рассматриваемая ниже теория бифуркаций удвоения периода в окрестности $f^{\prime}(x)=0$ есть прежде всего теория сложного разрушения такой устойчивости.- Прим. ред.

Представляют интерес две области параметра $C$. Для $0<C<2$ интервал $-C<x<0$ переходит в себя, как показано на рис. $7.9, a$ и б. Для $-1<C<1 / 2$ переходит в себя интервал $-1 / 2<x<$ $<1 / 2-C$ (см. рис. $7.9, \beta-e$ ). Отметим, что эти два интервала значений $C$ перекрываются (см. рис. $7.9,6$ и в), а движение в обоих случаях аналогично и отличается только тем, какой отрезок $x$ переходит в себя. Особое значение имеет точка $x^{*}=-C / 2$, в которой функция $f$ экстремальна.

Рис. 7.9. Қвадратичное отображение (7.2.4) для различных значений параметра $C$.
Сплошная кривая показывает отрезок $x$, переходящий в себя. Случай $\mathrm{I}:-C<x<0$; д) $-12<C<0 ; e)-1<C<-1 / 2$.

Другая удобная форма квадратичного отображения получается путем замены $x=-(\mu / 2)$ y и $C=\mu / 2$ в (7.2.4). Это приводит к так называемому логистическому отображению:
\[
y_{n+1}=\mu y_{n}\left(1-y_{n}\right) \text {. }
\]

Для $0<\mu<4$ интервал $0<y<1$ переходит в себя. Это соответствует значениям $C$ в интервале $0<C<2$ (рис. $7.9, a$ и б). Отображение (7.2.5) использовалось как для изучения общих свойств одномерных отображений, так и в некоторых задачах популяционной биологии. На рис. 7.10 показано отображение (7.2.5) для двух значений $\mu$. Оба отображения, (7.2.4ј и (7.2.5), являются эквивалентными представителями общего квадратичного отображения (7.2.3).
Зеркальная симметрия. Қвадратичные отображения обладают симметрией, которая приводит к одному и тому же поведению для двух разных значений параметра. Действительно, производя в (7.2.4) линейную замену
\[
x=\bar{x}+\frac{1}{2}-C,
\]

Рис. 7.10. Отображение (7.2.5) для $0<\mu<4$.
Интервал $0<y<1$ преобразуется сам в себя.
получаем
\[
\bar{x}_{n+1}=2 \bar{C}_{x_{n}}+2 \bar{x}_{n}^{2},
\]

где новый параметр $\bar{C}$ равен
\[
\bar{C}=1-C .
\]

Из сравнения (7.2.7) и (7.2.4) следует, что квадратичные отображения с параметрами, равными $C$ и $1-C$, обладают одними и теми же свойствами. Иначе говоря, отображение (7.2.4) симметрично относительно $C=1 / 2$. Аналогично, троизводя замену
\[
y=\left(1-\mu^{-1}\right)-\left(1-2 \mu^{-1}\right) \bar{y}
\]

в отображении (7.2.5), получаем
\[
\bar{y}_{n+1}=\bar{\mu} \bar{y}_{n}\left(1-\bar{y}_{n}\right),
\]

где
\[
\bar{\mu}=2-\mu,
\]
т. е. отображение симметрично относительно $\mu=1$.