Предельные циклы занимают конечную часть интервала по параметру. Для остальных значений параметра движение неустойчиво и плотно покрывает конечный интервал по $x$ при почти всех началь-

Рис. 7.16. Показатель Ляпунова равен среднему значению $\ln |d f / d x|$ вдоль траектории.

ных $x_{0}$, а близкие траектории расходятся экспоненциально. Такое движение получило название хаотического (см., например, [261, 297 1). При его исследовании мсжно использовать некоторые методы, описанные в гл. 5 для гамильтоновых отображений. Особое значение имеет показатель Ляпунова $\sigma$ и равновесное инвариантное распределение $P(x)$.

Показатель Ллпунова. Для одномерного отображения имеется единственный показатель Ляпунова см. (5.2.8) ]:
\[
\sigma\left(x_{0}\right)=\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \ln \left|\frac{d f}{d x_{i}}\right| .
\]

Значение $\sigma$ положительно (см. рис. 7.16), если среднее по траектории от $\left|f^{\prime}\right|$ больше 1. За исключением множества меры нуль, не зависит от выбора начального значения $x_{0}$. При $\sigma>0$ движение хаотическое, а при $\sigma<0$ существует предельный цикл. Зависимость о от параметра $C$ является обычно сложной. На рис. 7.17 представ-

Рис. 7.17. Зависимость показателя Ляпунова о от параметра $C$ для квадра, тичного отображения (по данным работы [368]).
Для $\sigma>0$ движение хаотическое, а для $\sigma<0$ – периодическое. Сглаженная криная построена по 300 точкам с равномерным шагом по $C$.

лен пример такой зависимости [368], полученной численным пу тем для квадратичного отображения. Значения $\sigma$ определя.тись по формуле (7.2.46) с $N=10^{5}$ (число итераций) для каждой нз 300 равномерно расположенных по $C$ точек. Ясно видны относительно широкие интервалы по $C$ с $\sigma<0$, которые отвечают периодическим движениям с небольшим периодом. Для движения с большим периодом соответствующие им интервалы по $C$ становятся меньше расстояния между точками на рисунке и потому не видны. Хьюберман и Рудник [204] показали, что вблизи критического значения $C_{x}$ для хаотического движения $\sigma \propto\left|C-C_{\infty}\right|^{\eta}$, где $\eta=\ln 2 / \ln \delta \approx$ $\approx 0,4498$.

Показатель Ляпунова не зависит от (обратимой) замены переменных [323]. Действительно, пусть
\[
\bar{x}=g(x),
\]

где $g^{\prime}
eq 0$. Тогда исходное отображение
\[
x_{n+1}=i\left(x_{n}\right)
\]

перейдет в отображение
\[
\bar{x}_{n+1}=\bar{f}\left(\bar{x}_{n}\right)
\]

с показателем Ляпунова
\[
\bar{\sigma}=\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \ln \left|\frac{d \bar{x}_{i+1}}{d \bar{x}_{i}}\right| .
\]

Согласно (7.2.47), получим
\[
\frac{d \bar{x}_{i+1}}{d \bar{x}_{i}}=\frac{\left(d g / d x_{i+1}\right) d x_{i+1}}{\left(d g / d x_{i}\right) d x_{i}},
\]

откуда $\vec{\sigma}=\sigma$.
Инвариантные распределения. Будем говорить, что $P(x)$ является инвариантным распределением для отображения $T$, если
\[
P(x)=T P(x) .
\]

Другие названия – инвариантная мера ${ }^{1}$ ) или распределение вероятности. Примем, далее, что $P(x)$ нормировано на единицу:
\[
\int P(x) d x=1 .
\]

В общем случае отображение имеет много инвариантных распределений. Из них выделенным является равновесное распределение, которое получается итерированием отображения и для которого среднее по времени равно фазовому среднему. Для предельного цикла периода $n$ распределение дискретно и представляет собой сумму $\delta$-функций в неподвижных точках с коэффициентом $1 / n$. Для хаотического движения распределение $P(x)$ может быть разрывным, однако в типичном случае имеются конечные интервалы по $x$ с ненулевым $P(x)$.

Численно $P(x)$ можно получить из (7.2.52). Для отображения с одним максимумом в силу сохранения «числа траекторий» имеем
\[
P(x) d x=P\left(x_{1}\right) d x_{1}+P\left(x_{2}\right) d x_{2},
\]

где точки $x_{1}, x_{2}$ – прообразы точки $x$ (рис. 7.18). Записывая $d x d x_{1}=|d f d x|_{x_{1}}$ и т. д., получаем
\[
P(x)=\frac{P\left(x_{1}\right)}{|d f / d x|_{1_{1}}}+\frac{P\left(x_{2}\right)}{|d f / d x|_{x_{2}}} .
\]
1) Существование инвариантной иеры (сосредоточенной на аттракторе), позволяющее распространить эргодическую теорию на диссипативные системы, было доказано для широкого класса динамических систем Боголюбовым и Крыловым (см. [447], т. 1, с. 411 ). Инвариантная мера единственна, ес.ли существует только один аттрантор (одна «эргодическая компонента» движения (ср. п. 5.2a), или «строгая эргодичность» [486], с. 43). Равновесным распределением ниже в основном тексте называется инвариантное распределение, сосредоточенное на одном аттракторе. Для него временные и фазовые средние совпадают в пределах области притяжения этого аттрактора.-Прим. ред.

Аналитически это функциональное уравнение решается в редких случаях. Однако его можно решить численно по следующей схеме:
a) выбираем некоторое начальное $P_{i}=P_{1}(x)$;
б) вычисляем $P_{i+1}$ по (7.2.55) с $P_{i}$ в правой части;
в) повторяем «б» до получения достаточной сходимости.
Этот метод иллюстрируется на рис. 7.19 [368] для отображения $(7.2 .5)$ с $\mu=4$. Показаны первые три итерации $P_{i}$ с начальным распределением $P_{1}(x)=1$. В данном случае имеет место быстрая сходимость к инвариантному распределению
\[
P(x)=\frac{1}{\pi}[x(1-x)]^{-12},
\]

Рис. 7.18. Построение инвариантного распределения $P(x)$. «Число траекторий» на отрезке $d x$ равно числу траекторий, прищедиих из «прообразов» $d x_{1}$ in $d x_{2}$.

которое будет получено аналитически ниже. Для $\mu=3,8$ и $\mu=$ 3,825 описанный метод дает ннвариантные распределения, показанные на рис. 7.20. В этих случаях движение, по-видимому, также является хаотическим в некотором интервале по $x$. Знание инвариантного распределения позволяет заменять усреднение по времени усреднением по $x$. Например, можно вычислять показатель Ляпунова по формуле:
\[
\sigma=-\int d x P(x) \ln \left|\frac{d f}{d x}\right| .
\]

При обратимой замене переменной $\vec{x}=g(x)$ новое инвариантное распределение получается из условия
\[
\bar{P}(\bar{x}) \overline{d x}=P(x) d x .
\]

Рис. 7.19. Численное определение инвариантного распределения $P(x)$ для отображения (7.2.5) с $\mu=4$ (по данным работы [368]).
Показано начальное распределение (1) и его первые три итерацин.

Pıс. 7.20. Численно найденное инвариантное распределение $P(x)$ для двух значений $\mu$ отображения (7.2.5) (по данным работы [368]).
Выдиы разрыны функцип $P(x)$ и обратные бифуркацни при уветичении $\mu$.

Треуго.гное отображение $^{\mathbf{1}}$ ). В качестве примера рассмотрим простое «треугольное» отображение (рис. 7.21). Оно имеет единственный максимум $f(1 / 2)=a$, но не относится к квадратичным. Производная $f^{\prime}$ равна $+2 a$ в левой части и $-2 a$ в правой части отображения. Ясно, что движение является хаотическим для $a>1 / 2$, поскольку все траектории расходятся экспоненциально (см. рис. 7.16), Инвариантное распределение находится из (7.2.55):

Рис. 7.21. Симметричное треугольноє отображение.

Для $a=1$ имеется очевидное решение $P(x)=1$. Показатель Ляпунова равен (7.2.56):
\[
\sigma=\int_{0}^{1} d x \ln 2=\ln 2 .
\]

Поскольку $\sigma>0$, движение является хаотическим. Рассмотрим теперь отображение
\[
f(x)=4 x(1-x) .
\]

Введем новую переменную
\[
\vec{x}=\left(\frac{2}{\pi}\right) \arcsin (\sqrt{x}),
\]
1) В оригинале – tent map (отображение, похожее на палатку).- Прим. перев.

тогда (7.2.58) перейдет в треугольное отображение с $a=1$ :
\[
\bar{f}(\vec{x})=\left\{\begin{array}{ll}
\overline{2 x}, & 0<\bar{x}<\frac{1}{2}, \\
2-2 \bar{x}, & \frac{1}{2}<\bar{x}<1 .
\end{array}\right.
\]

Из (7.2.57) с $\bar{P}(\bar{x})=1$ получим инвариантное распределение для отображения (7.2.58):
\[
P(x)=\frac{d \bar{x}}{d x}=\frac{1}{\pi}[x(1-x)]^{-12},
\]

которое можно сравнить с численными данными на рис. 7.19. Показатель Ляпунова для отображения (7.2.58) равен
\[
\sigma=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{1} \frac{\ln |4(1-2 x)|}{[x(1-x)]^{1 \cdot 2}} d x=\ln 2 .
\]

Отметим, что отображения (7.2.58) и (7.2.60) имеют одинаковую величину $\sigma$, поскольку она инвариантна относительно преобразования переменной. Соответственно любое обратимое преобразование квадратичного отображения (7.2.4) сохраняет функцию $\sigma(C)$, показанную на рис. 7.17 .

Для отображения (7.2.58) [и «зеркального» квадратичного отображения (7.2.4) с $C=-1$ ] точное решение имеет вид
\[
x_{n}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \cos \left(2^{n+1} \varphi_{0}\right)=\sin ^{2}\left(2^{n} \varphi_{0}\right),
\]

где $\varphi_{0}$ определяется начальным условием $x_{0}$. Статистические свойства отображения (7.2.58) исследовались в работе [416]. Было показано также, что движение является эргодическим и перемешивающим с экспоненциальной расходимостью близких траекторий ${ }^{1}$ ).

Обратные бифуркации хаотического движения. При изменении параметра $C$ квадратичного отображения (7.2.4) от $C_{0}=1 / 2$ до $C_{\infty}=$ $=-0,78497 \ldots$ возникает «дерево» бифуркаций, показанное на рис. 7.14. Какова природа движения для $C<C_{\infty}$ ?

Эта область исследовалась Лоренцем [284], Колле и Экманом [82] и Хеллеманом [182 ], ее качественная структура представлена на рис. 7.22. Точки показываюг $x_{n}$ в стационарном режиме $(1000<n<4000)$ для разных значений параметра $C$. Ясно видны полосы с хаотическим движением (при $C<C_{\infty}$ ). При уменьшении $C$ от значения $C=C_{\infty}$ эти полосы сливаются и испытывают обратные бифуркации в точках $C=C_{n}^{*}$. Видны также бифуркации предель-
1) Это вытекает, в частности, из свойств более простого отображения $\varphi_{n+1}=2 \varphi_{n}, \bmod 2 \pi$ для фазы в (7.2.62) (см, конец п. 5.2в),-Прия. ред.

ных циклов более длинного основного периода 6,5 и 3 , «разрезающие» хаотическую область. Для обратных бифуркаций хаотических полос выполняется закон подобия с теми же константами $\delta$ и $\alpha$, что и для бифуркаций предельных циклов при $C>C_{\infty}$. Эти результаты Гроссмана и Томае [170] можно получить также из описанной в п. 7.26 приближенной теории ренормализации [182].

Рис. 7.22. Численное моделирование последовательности обратных бифуркаций удвоення для квадратичного огображения (по данным работы [82]). Для каждого значения $C$ отложены 3000 значений $x_{n}(1000<n<4000)$. Видны полосы хаотического движения для $C<C_{\infty}$, которыс сливаются при $C=C_{k}^{*}$, Отмечены интервалы (по $C$ ) предельных циклов: 1 – периода 3; 2- периода $5: 3$ – пернода 6.

Спектр мощности. «Шумовое» движение в хаотическом режиме можно охарактеризовать его спектром мощности $P(\omega, C)$, где $\omega-$ частота, а $C$ – параметр. В отличие от таких свойств хаотического движения, как показатели Ляпунова, спектр мощности легко измерять экспериментально. В частности, представляет интерес вид спектра при бифуркационных знатениях $C_{k}^{*}$ вблизи критического $C_{\infty}$, где происходит слияние полос хаотического движения. Движение в этих полосах представляет собой суперпозицию периодических колебаний и шума:
\[
x_{n}=\sum_{j} A_{j} e^{i \omega_{j} n}+r(n) .
\]

Определим фурье-амплитуду посредством формулы
\[
X_{N}(\omega, C)=\frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} x_{n} e^{-i \omega n} .
\]

Тогда спектр мощности равен $(\omega>0)^{1}$ )
\[
P(\omega, C)=\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{N}{2 \pi}\left|X_{N}(\omega, C)\right|^{2}=\sum_{j}\left|A_{j}\right|^{2} \delta\left(\omega-\omega_{j}\right)+|r(\omega, C)|^{2} .
\]

Он состоит из острых пиков (периодические переходы между полосами, аналогичные движению на предельном цикле при $C>C_{\infty}$ ) и широкополосного шума (хаотическое движение внутри полос). Следуя Хьюберману и Зисоку [205], получим сначала универсальный закон подобия для полной мощности в непрерывном спектре (7.2.68) для $\mathscr{N}(C)$. При $C=-1$ (см. рис. 7.22) движение обладает перемешиванием ${ }^{2}$ ). Болеє того, как показано в работе $[170]$, корреляционная функция
\[
\mathscr{E}(n)=\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}\left(x_{i}-\langle x\rangle\right)\left(x_{i+n}-\langle x\rangle\right),
\]

где
\[
\langle x\rangle=\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_{i}
\]

является в этом случае «б-функцией», т. е.
\[
\mathscr{C}(n)=\left\{\begin{array}{ll}
W^{2}, & n=0, \\
0, & n
eq 0 .
\end{array}\right.
\]

Это очень сильное статистическое свойство, означающее полное ${ }^{3}$ )
1) Спектр «мощности» (точнее спектральная плотность), он же спектр корреляционной функции б’ ( $n$ ) (см. ниже), или просто спектр (в эргодической теории) определяется как преобразование Фурье от $\mathscr{C}(n)$ :
\[
P(\omega)=\frac{1}{2 \pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \mathscr{C}(n) \cos (\omega n) .
\]

Для дискретного времени спектр определен по модулю $2 \pi$ и обладает зеркальной симметрией $P(\omega)=P(2 \pi-\omega)$. Переход к непрерывному времени соответствует только интервалу частоты $(0, \pi)$ с независимыми фурье-компонентами. Простое изложение спектрального анализа случайных процессов см., например, в работе [519]. – Прим. ред.
2) Это следует из положительности КС-энтропии (см. выше).- Прим. ред.
3) Равенство нулю конкретной корреляционной функции не означает «полное отсутствие корреляций. Существование определенных корреляций следует просто из функциональной зависимости $x_{n+1}=f\left(x_{n}\right)$. – Прим. ред.

отсутствие корреляций уже через одну итерацию отображения1). Величина $W$ в (7.2.66) есть срєднеквадратичный размер единой полосы хаотического движения при $C=-1$. Қаждая обратная бифуркация удваивает число полос и уменьшает их ширину. В соответствии с законом подобия (7.2.36) и (7.2.37) для половины полос ширина уменьшается в $\alpha$ раз, а для остальных – в $\alpha^{2}$ раз. Среднеквадратичная ширина одной полосы удовлетворяет закону
\[
W_{k+1}=\left(\frac{1}{2 \alpha^{2}}+\frac{1}{2 \alpha^{4}}\right)^{1.2} W_{k}
\]
( $k$ – номер бифуркации), или
\[
W_{k}=W_{0} \beta^{-k},
\]

где
\[
\beta=\frac{\sqrt{2} \alpha^{2}}{\sqrt{\alpha^{2}+1}} \approx 3,29 .
\]

Заметим, что $2 \beta=\gamma$ [см. (7.2.45)]. Полная мощность в пределах основной частоты отображения $2 \pi$ равна
\[
\mathcal{P}(C)=\int_{0}^{2 \pi} d \omega|r(\omega, C)|^{2}=\mathscr{C}_{r}(0),
\]

где корреляционная функция $\mathscr{C}_{r}$ определяется только хаотической частью движения $\left[x_{n} \rightarrow r_{n}\right.$, см. (7.2.63)]. Поэтому $\mathscr{C}_{r}(0)=W_{k}^{2}$ и
\[
\mathscr{N}\left(C_{k}^{*}\right)=\mathscr{N}_{0} \beta^{-2 k} .
\]

Но бифуркационные значения $C_{k}^{*}$ сами удовлетворяют закону подобия
\[
C_{k}^{*}-C_{\infty}=\left(C_{0}^{*}-C_{\infty}\right) \delta^{-k} .
\]

Исключая $k$, приходим к новому закону подобия
\[
\mathcal{P}(C) \propto\left(C_{\infty}-C\right)^{\sigma},
\]

где
\[
\sigma=\frac{2 \ln \beta}{\ln \delta} \approx 1,544
\]
– универсальная постоянная. Хьюберман и Зисок [205] проверили этот результат путем численного моделирования отображения (7.2.5) и получили прекрасное согласие.
1) Заметим, что для многих систем с хаотическим движением корреляции убывают совсем не так быстро, иногда только как степень $n$ [60]. [В указанной работе исследовались полностью интегрируемые системы и «убывание» коррелящий связано не с динамикой системы, а с методом вычисления корреляций. По поводу медленного убывания корреляций см. предисловие редактора перевода и цитированную там литературу.- Прим. ред.]

Спектральная плотность хаотического движения была найдена в работе [434], следуя методу Фейгенбаума [123] (см. п. 7.2б). Полученный результат можно представить в виде
\[
r\left(\omega, C_{k}^{*}\right)=g_{k}(\omega) \tilde{r}\left(2^{k} \omega\right) .
\]

Здесь $|\tilde{r}(\omega)|^{2}$ – спектр движения при $C \leftrightharpoons-1$, который можно приближенно считать однородным (белый шум)¹). Фурье-амплитуды
\[
g_{k}(\omega)=\sum_{j=1}^{2^{k}} W_{j k} e^{-i \omega j}
\]

Рис. 7.23. Спектр мощности при трех значениях $C$ в обратной последовательности бифуркаций для квадратичного отображения (по данным работы [434]).
Ломиная кривая – численные данныс; илавпая кривая, смещенная для удобства вниз,тсория без учета дискретного спектра.

характеризуют систему хаотических полос шириной $W_{j k}(j=1$, $2, \ldots 2^{k}$ ) и находятся из рекуррентного соотношения ${ }^{2}$ )
\[
g_{k+1}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2} \alpha}\left(1-\frac{e^{i \omega}}{\alpha}\right) g_{k}(2 \omega),
\]
1) См. (7.2.66); заметим также, что значение частоты $2^{k} \omega$ (в 7.2.72) берется по модулю $2 \pi$ [см. (7.2.68)].- Прим. ред.
2) При $C \rightarrow C_{\infty}$ этот закон подобия определяет масштабно-инвариантную структуру как непрерывного (с $\left|g_{0}\right|^{2}=1$ ), так и дискретного (с $\left|g_{0}\right|^{2}=$ $\left.=\left|A_{0}\right|^{2} \delta(\omega)\right)$ спектра [кроме $\omega=\pi$ (см. [520]), для которого справедливо соотношение (7.2.40) ]. При переходе от спектральной плотности к амплитудам гармоник $\left(g_{k} \rightarrow X^{(k)}\right)$ правую часть (7.2.74) нужно разделить на $\sqrt{2}$ (интеграл от $\delta(2 \omega)$ равен $1 / 2$ ). Обратим внимание, что законы подобия (7.2.40), (7.2.44) и (7.2.74) разные: в первом фиксирована частота, а во втором – номер гармонике колебаний. Из (7.2.74) следует также, что масштабный мно-

причем, согласно (7.2.72), $g_{0}=1$. На рис. 7.23 показаны численные данные для спектра мощности при трех значениях параметра $C$. Соответствующий универсальный спектр $\left|g_{k}\right|^{2}$, полученный с помощью (7.2.74), представлен сплошными линиями, которые сдвинуты по вертикали для удобства сравнения. Согласие с численными данными весьма хорошее. Напомним, что дискретный спектр в теорию не включен.