Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Предельные циклы занимают конечную часть интервала по параметру. Для остальных значений параметра движение неустойчиво и плотно покрывает конечный интервал по $x$ при почти всех началь- Рис. 7.16. Показатель Ляпунова равен среднему значению $\ln |d f / d x|$ вдоль траектории. ных $x_{0}$, а близкие траектории расходятся экспоненциально. Такое движение получило название хаотического (см., например, [261, 297 1). При его исследовании мсжно использовать некоторые методы, описанные в гл. 5 для гамильтоновых отображений. Особое значение имеет показатель Ляпунова $\sigma$ и равновесное инвариантное распределение $P(x)$. Показатель Ллпунова. Для одномерного отображения имеется единственный показатель Ляпунова см. (5.2.8) ]: Значение $\sigma$ положительно (см. рис. 7.16), если среднее по траектории от $\left|f^{\prime}\right|$ больше 1. За исключением множества меры нуль, не зависит от выбора начального значения $x_{0}$. При $\sigma>0$ движение хаотическое, а при $\sigma<0$ существует предельный цикл. Зависимость о от параметра $C$ является обычно сложной. На рис. 7.17 представ- Рис. 7.17. Зависимость показателя Ляпунова о от параметра $C$ для квадра, тичного отображения (по данным работы [368]). лен пример такой зависимости [368], полученной численным пу тем для квадратичного отображения. Значения $\sigma$ определя.тись по формуле (7.2.46) с $N=10^{5}$ (число итераций) для каждой нз 300 равномерно расположенных по $C$ точек. Ясно видны относительно широкие интервалы по $C$ с $\sigma<0$, которые отвечают периодическим движениям с небольшим периодом. Для движения с большим периодом соответствующие им интервалы по $C$ становятся меньше расстояния между точками на рисунке и потому не видны. Хьюберман и Рудник [204] показали, что вблизи критического значения $C_{x}$ для хаотического движения $\sigma \propto\left|C-C_{\infty}\right|^{\eta}$, где $\eta=\ln 2 / \ln \delta \approx$ $\approx 0,4498$. Показатель Ляпунова не зависит от (обратимой) замены переменных [323]. Действительно, пусть где $g^{\prime} перейдет в отображение с показателем Ляпунова Согласно (7.2.47), получим откуда $\vec{\sigma}=\sigma$. Другие названия — инвариантная мера ${ }^{1}$ ) или распределение вероятности. Примем, далее, что $P(x)$ нормировано на единицу: В общем случае отображение имеет много инвариантных распределений. Из них выделенным является равновесное распределение, которое получается итерированием отображения и для которого среднее по времени равно фазовому среднему. Для предельного цикла периода $n$ распределение дискретно и представляет собой сумму $\delta$-функций в неподвижных точках с коэффициентом $1 / n$. Для хаотического движения распределение $P(x)$ может быть разрывным, однако в типичном случае имеются конечные интервалы по $x$ с ненулевым $P(x)$. Численно $P(x)$ можно получить из (7.2.52). Для отображения с одним максимумом в силу сохранения «числа траекторий» имеем где точки $x_{1}, x_{2}$ — прообразы точки $x$ (рис. 7.18). Записывая $d x d x_{1}=|d f d x|_{x_{1}}$ и т. д., получаем Аналитически это функциональное уравнение решается в редких случаях. Однако его можно решить численно по следующей схеме: Рис. 7.18. Построение инвариантного распределения $P(x)$. «Число траекторий» на отрезке $d x$ равно числу траекторий, прищедиих из «прообразов» $d x_{1}$ in $d x_{2}$. которое будет получено аналитически ниже. Для $\mu=3,8$ и $\mu=$ 3,825 описанный метод дает ннвариантные распределения, показанные на рис. 7.20. В этих случаях движение, по-видимому, также является хаотическим в некотором интервале по $x$. Знание инвариантного распределения позволяет заменять усреднение по времени усреднением по $x$. Например, можно вычислять показатель Ляпунова по формуле: При обратимой замене переменной $\vec{x}=g(x)$ новое инвариантное распределение получается из условия Рис. 7.19. Численное определение инвариантного распределения $P(x)$ для отображения (7.2.5) с $\mu=4$ (по данным работы [368]). Pıс. 7.20. Численно найденное инвариантное распределение $P(x)$ для двух значений $\mu$ отображения (7.2.5) (по данным работы [368]). Треуго.гное отображение $^{\mathbf{1}}$ ). В качестве примера рассмотрим простое «треугольное» отображение (рис. 7.21). Оно имеет единственный максимум $f(1 / 2)=a$, но не относится к квадратичным. Производная $f^{\prime}$ равна $+2 a$ в левой части и $-2 a$ в правой части отображения. Ясно, что движение является хаотическим для $a>1 / 2$, поскольку все траектории расходятся экспоненциально (см. рис. 7.16), Инвариантное распределение находится из (7.2.55): Рис. 7.21. Симметричное треугольноє отображение. Для $a=1$ имеется очевидное решение $P(x)=1$. Показатель Ляпунова равен (7.2.56): Поскольку $\sigma>0$, движение является хаотическим. Рассмотрим теперь отображение Введем новую переменную тогда (7.2.58) перейдет в треугольное отображение с $a=1$ : Из (7.2.57) с $\bar{P}(\bar{x})=1$ получим инвариантное распределение для отображения (7.2.58): которое можно сравнить с численными данными на рис. 7.19. Показатель Ляпунова для отображения (7.2.58) равен Отметим, что отображения (7.2.58) и (7.2.60) имеют одинаковую величину $\sigma$, поскольку она инвариантна относительно преобразования переменной. Соответственно любое обратимое преобразование квадратичного отображения (7.2.4) сохраняет функцию $\sigma(C)$, показанную на рис. 7.17 . Для отображения (7.2.58) [и «зеркального» квадратичного отображения (7.2.4) с $C=-1$ ] точное решение имеет вид где $\varphi_{0}$ определяется начальным условием $x_{0}$. Статистические свойства отображения (7.2.58) исследовались в работе [416]. Было показано также, что движение является эргодическим и перемешивающим с экспоненциальной расходимостью близких траекторий ${ }^{1}$ ). Обратные бифуркации хаотического движения. При изменении параметра $C$ квадратичного отображения (7.2.4) от $C_{0}=1 / 2$ до $C_{\infty}=$ $=-0,78497 \ldots$ возникает «дерево» бифуркаций, показанное на рис. 7.14. Какова природа движения для $C<C_{\infty}$ ? Эта область исследовалась Лоренцем [284], Колле и Экманом [82] и Хеллеманом [182 ], ее качественная структура представлена на рис. 7.22. Точки показываюг $x_{n}$ в стационарном режиме $(1000<n<4000)$ для разных значений параметра $C$. Ясно видны полосы с хаотическим движением (при $C<C_{\infty}$ ). При уменьшении $C$ от значения $C=C_{\infty}$ эти полосы сливаются и испытывают обратные бифуркации в точках $C=C_{n}^{*}$. Видны также бифуркации предель- ных циклов более длинного основного периода 6,5 и 3 , «разрезающие» хаотическую область. Для обратных бифуркаций хаотических полос выполняется закон подобия с теми же константами $\delta$ и $\alpha$, что и для бифуркаций предельных циклов при $C>C_{\infty}$. Эти результаты Гроссмана и Томае [170] можно получить также из описанной в п. 7.26 приближенной теории ренормализации [182]. Рис. 7.22. Численное моделирование последовательности обратных бифуркаций удвоення для квадратичного огображения (по данным работы [82]). Для каждого значения $C$ отложены 3000 значений $x_{n}(1000<n<4000)$. Видны полосы хаотического движения для $C<C_{\infty}$, которыс сливаются при $C=C_{k}^{*}$, Отмечены интервалы (по $C$ ) предельных циклов: 1 — периода 3; 2- периода $5: 3$ — пернода 6. Спектр мощности. «Шумовое» движение в хаотическом режиме можно охарактеризовать его спектром мощности $P(\omega, C)$, где $\omega-$ частота, а $C$ — параметр. В отличие от таких свойств хаотического движения, как показатели Ляпунова, спектр мощности легко измерять экспериментально. В частности, представляет интерес вид спектра при бифуркационных знатениях $C_{k}^{*}$ вблизи критического $C_{\infty}$, где происходит слияние полос хаотического движения. Движение в этих полосах представляет собой суперпозицию периодических колебаний и шума: Определим фурье-амплитуду посредством формулы Тогда спектр мощности равен $(\omega>0)^{1}$ ) Он состоит из острых пиков (периодические переходы между полосами, аналогичные движению на предельном цикле при $C>C_{\infty}$ ) и широкополосного шума (хаотическое движение внутри полос). Следуя Хьюберману и Зисоку [205], получим сначала универсальный закон подобия для полной мощности в непрерывном спектре (7.2.68) для $\mathscr{N}(C)$. При $C=-1$ (см. рис. 7.22) движение обладает перемешиванием ${ }^{2}$ ). Болеє того, как показано в работе $[170]$, корреляционная функция где является в этом случае «б-функцией», т. е. Это очень сильное статистическое свойство, означающее полное ${ }^{3}$ ) Для дискретного времени спектр определен по модулю $2 \pi$ и обладает зеркальной симметрией $P(\omega)=P(2 \pi-\omega)$. Переход к непрерывному времени соответствует только интервалу частоты $(0, \pi)$ с независимыми фурье-компонентами. Простое изложение спектрального анализа случайных процессов см., например, в работе [519]. — Прим. ред. отсутствие корреляций уже через одну итерацию отображения1). Величина $W$ в (7.2.66) есть срєднеквадратичный размер единой полосы хаотического движения при $C=-1$. Қаждая обратная бифуркация удваивает число полос и уменьшает их ширину. В соответствии с законом подобия (7.2.36) и (7.2.37) для половины полос ширина уменьшается в $\alpha$ раз, а для остальных — в $\alpha^{2}$ раз. Среднеквадратичная ширина одной полосы удовлетворяет закону где Заметим, что $2 \beta=\gamma$ [см. (7.2.45)]. Полная мощность в пределах основной частоты отображения $2 \pi$ равна где корреляционная функция $\mathscr{C}_{r}$ определяется только хаотической частью движения $\left[x_{n} \rightarrow r_{n}\right.$, см. (7.2.63)]. Поэтому $\mathscr{C}_{r}(0)=W_{k}^{2}$ и Но бифуркационные значения $C_{k}^{*}$ сами удовлетворяют закону подобия Исключая $k$, приходим к новому закону подобия где Спектральная плотность хаотического движения была найдена в работе [434], следуя методу Фейгенбаума [123] (см. п. 7.2б). Полученный результат можно представить в виде Здесь $|\tilde{r}(\omega)|^{2}$ — спектр движения при $C \leftrightharpoons-1$, который можно приближенно считать однородным (белый шум)¹). Фурье-амплитуды Рис. 7.23. Спектр мощности при трех значениях $C$ в обратной последовательности бифуркаций для квадратичного отображения (по данным работы [434]). характеризуют систему хаотических полос шириной $W_{j k}(j=1$, $2, \ldots 2^{k}$ ) и находятся из рекуррентного соотношения ${ }^{2}$ ) причем, согласно (7.2.72), $g_{0}=1$. На рис. 7.23 показаны численные данные для спектра мощности при трех значениях параметра $C$. Соответствующий универсальный спектр $\left|g_{k}\right|^{2}$, полученный с помощью (7.2.74), представлен сплошными линиями, которые сдвинуты по вертикали для удобства сравнения. Согласие с численными данными весьма хорошее. Напомним, что дискретный спектр в теорию не включен.
|
1 |
Оглавление
|