Для достаточно простой динамической системы, в которой области устойчивости занимают пренебрежимо малую часть фазового пространства, максимальный показатель Ляпунова $\sigma_{1}$ можно получить аналитически. Для стандартного отображения при больших $K$ это было сделано Чириковым [70]. Линеаризовав стандартное отображение вблизи некоторой точки, не обязательно неподвижной, получим из характеристического уравнения при больших $K$ наибольшее из двух собственных значений в виде
\[
\lambda^{+}=K|\cos \theta| .
\]

Так как вся фазовая плоскость считается стохастической, то величина $\sigma_{1}$ (и $h$ ) определяется просто усреднением $\ln \lambda^{+}$. В данном случае это эквивалентно усреднению по $\theta$ и дает
\[
\sigma_{1}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \ln |K \cos \theta| d \theta=\ln \frac{K}{2} .
\]

Этот аналитический результат сравнивался с численным значением $\sigma_{n}$, полученным для начальных условий на стохастической компоненте. При $K \approx 6$, когда еще можно ожидать количественного согласия с (5.3.8), Чириков получил ${ }^{1}$ ) $\sigma_{n} / \sigma_{1}=1,02$.

Как мы видели в § 4.1, в стандартном отображении островки устойчивости существуют при сколь угодно больших $K$. С увеличением $K$ эти островки уменьшаются, но поскольку они могут существовать вокруг периодических точек произвольно большого периода, то возникает вопрос, не занимают ли они значительную часть фазовой плоскости, что привело бы к неправильному значению КС-энтропии (5.3.8) даже для больших $K$. Чириков исследовал этот вопрос двумя методами. В первом квадрат $2 \pi \times 2 \pi$ разделялся на $100 \times 100$ ячеек и вычислялась доля $\mu_{s}$ ячеек, в которые попадала траектория с начальными условиями на стохастической компоненте. Ясно, что такое «огғубление» может давать правильные результаты только для относительно малых значений $K$, когда
1) Более полные аналитические и численные данные по КС-энтропии для различных отображений приведены в рэботе [73].- Прим. ред.

островки устойчивости достаточно велики. Во втором методе выбиралось некоторое число, скажем $N=100$, траекторий со случайными начальными условиями и определялась доля $\mu_{r}$ тех из них, для которых численное значение КС-энтропии близко к нулю. Естественно ожидать, что $\mu_{s}+\mu_{r} \approx 1$. Результаты этих численных экспериментов представлены в табл. 5.1. Чириков пришел к заключению, что мера устойчивых областей с увеличением $K$ стремится к нулю ${ }^{1}$ ), так что при больших $K$ возможно простое статистическое описание движения.

Таблица 5.1. Численное определение меры стохастической $\left(\mu_{s}\right)$
и регулярной ( $\mu_{r}$ ) компонент стандартного отображения (по данным работы [70], табл. 5.3)