Собственные значения линеаризованного отображения являются корнями уравнения (3.3.6):
\[
\left(\begin{array}{lr}
a_{11}-\lambda & a_{12} \\
a_{21} & a_{29}-\lambda
\end{array}\right)=0,
\]

или
\[
\lambda^{2}-\lambda \mathrm{Sp} A+1=0,
\]

где
\[
\mathrm{Sp} \mathbf{A}=a_{11}+a_{22}
\]

и $\operatorname{det} \mathrm{A}=1$ ввиду сохранения площади. Корни уравнения (3.3.51) равны
\[
\lambda_{1,2}=\frac{\mathrm{SpA}}{2} \pm i\left[1-\left(\frac{\mathrm{SpA}}{2}\right)^{2}\right]^{1 / 2} .
\]

Произведение корней $\lambda_{1} \lambda_{2}=1$, а их сумма $\lambda_{1}+\lambda_{2}$ есть вещественное число. Возможны три случая.
1. Корни $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ являются комплексно сопряженными и лежат на единичной окружности ( $\sigma
eq 0$ ):
\[
\lambda_{1,2}=e^{ \pm i \sigma} .
\]

Это соответствует устойчивым решениям, причем
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{Sp} A=2 \cos \sigma, \\
|S p A|<2 .
\end{array}
\]
2. Корни действительны и взаимно обратны
\[
\lambda_{2}=\lambda_{1}^{-1}
eq \pm 1 \text {, }
\]

так что
\[
\left|\lambda_{1,2}\right|=e^{ \pm \sigma}
\]

и
\[
|\mathrm{Sp} A|=|2 \operatorname{ch} \sigma|>2 .
\]

Это соответствует экспоненциально растущему и убывающему решениям. Первое (неустойчивое) решение может быть двух видов:
\[
\operatorname{SpA}>2\left(\lambda_{1}>1\right) \text { и } \mathrm{Sp} \mathrm{A}<-2\left(\lambda_{\mathbf{1}}<-1\right) .
\]
3. Корни равны
\[
\lambda_{1}=\lambda_{2}= \pm 1
\]

Существование этих трех случаев следует также и непосредственно из симметрии собственных значений. Выясним теперь физический смысл этих решений.
Эллиптические траектории. В случае 1 общее решение имеет вид
\[
\begin{aligned}
\Delta J_{n} & =a \cos n \sigma+b \sin n \sigma, \\
\Delta \theta_{n} & =c \cos n \sigma+d \sin n \sigma
\end{aligned}
\]

и описывает движение по эллипсу вокруг периодической точки. Уравнение эллипса можно получить из инвариантной квадратичной формы (3.3.30). Введя обозначения $p=\Delta J$ и $q=\Delta \theta$, чтобы

подчеркнуть, что $\Delta J, \Delta \theta$ не обязаны быть переменными действие угол, получаем
\[
a_{12} q^{2}+\left(a_{11}-a_{22}\right) q p-a_{21} p^{2}=Q .
\]

Диагонализуем теперь матрицу А спомощью преобразования (3.3.10). При этом координатные оси поворачиваются на угол $\chi$ и совпа-

Рис. 3.9. Приведение эллиптических и гиперболических траекторий к нормальной форме.
$a$ – после поворота осей и изменения масштаба эллипс переходит в окружность; 6 после поворота асимптоты (пунктирные прямые) располагаются симметрично относительно координатных осей.

дают с главными осями матрицы А. Перекрестный член в (3.3.61) пропадает (рис. $3.9, a$ ), и мы получаем
\[
a_{12}^{\prime}{q^{\prime 2}}^{2}-a_{21}^{\prime} p^{\prime 2}=Q
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{tg} 2 \chi=\frac{a_{11}-a_{22}}{a_{12}+a_{21}}, \\
a_{11}^{\prime}=a_{22}^{\prime}=\frac{1}{2} \mathrm{Sp} \mathrm{A},
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{c}
a_{12}^{\prime}-a_{21}^{\prime}=a_{12}-a_{21}, \\
a_{12}^{\prime} a_{21}^{\prime}=\frac{1}{2}(\mathrm{Sp} \mathrm{A})^{2}-1 .
\end{array}
\]

Последние два уравнения можно разрешить относительно иедиагональных элементов матрицы А. В случае $1 a_{12}^{\prime}$ и $a_{21}^{\prime}$ имеют противоположные знаки, и выражение (3.3.62) переходит в уравнение эллипса с отношением полуосей
\[
R=\frac{p_{\text {макс }}^{\prime}}{q_{\text {макс }}^{\prime}}=\left|\frac{a_{12}^{\prime}}{a_{21}^{\prime}}\right|^{1 / 2} .
\]

Наконец, преобразование $p^{\prime}=R^{1 / 2} \bar{p}, q^{\prime}=R^{-1 / 2} \bar{q}$ переводит траекторию в окружность, а отображение сводится к простому линейному повороту на угол $\sigma$. Если ввести нелинейные члены, пропорциональные более высоким степеням $\Delta \boldsymbol{x}$, то получим возмущенное отображение поворота со всей своей сложной иерархической структурой, показанной на рис. 3.5.
Гиперболические траектории. В случае 2 общее решение имеет вид-
\[
\begin{array}{l}
\Delta J_{n}=a \lambda_{1}^{n}+b \lambda_{1}^{-n}, \\
\Delta \theta_{n}=c \lambda_{1}^{n}+d \lambda_{1}^{-n}
\end{array}
\]

и описывает движение по одной или по обеим ветвям гиперболы,
Производя поворот к главным осям (см. рис. 3.9, б), снова приходим к уравнению (3.3.62). Однако теперь $a_{12}^{\prime}$ и $a_{21}^{\prime}$ имеют одинаковый знак, и мы получаем гиперболу с асимптотами
\[
p^{\prime}= \pm R q^{\prime} .
\]

Переписав (3.3.66) в этой повернутой системе координат, видим, что при положительной величине $\lambda_{1}$ движение происходит только по одной ветви гиперболы. Если же $\lambda_{1}$ — отрицательная величина, то при каждой итерации отображения $p^{\prime}$ и $q^{\prime}$ отражаются относительно начала координат и движение происходит по обеим ветвям гиперболы, как показано на рис. 3.10 .

В обычном случае, когда эллиптические и гиперболические периодические точки чередуются, гиперболические траектории остаются на одной ветви гиперболы. Примером может служить маятник с гамильтонианом (1.3.6), который для простоты мы перепишем в виде
\[
H=\frac{1}{2} p^{2}-\cos \varphi=\text { const. }
\]

Соответствующие траектории в фазовом пространстве показаны на рис. 1.4. Линеаризуя гамильтониан в окрестности неподвижных точек $p=0$ и $\varphi=2 \pi n$, получаем
\[
p^{2}+(\Delta \varphi)^{2}=\text { const. }
\]

Аналогично в окрестностях точек $p=0$ и $\varphi=\pi(n+1)$
\[
p^{2}-(\Delta \varphi)^{2}=\text { const. }
\]

Очевидно, что выражение (3.3.69) описывает эллипсы, а (3.3.70) гиперболы. Это соответствует неподвижным точкам $\varphi=0$ и $\varphi=\pi$, как показано на рис. 1.4.

Гиперболические точки второго вида (с отражением) также важны для нашего анализа. Қак будет видно из дальнейшего, такие точки возникают при сильном возмущении, когда эллиптическая точка превращается в гиперболическую с отражением. В этом

Рис. 3.10. Три последовательных отображения начальной точки $x_{1}$. $a$ – вблизи обыкновенной гиперболической гочки $\lambda_{1}>1 ; \sigma$ – вблизи гиперболической точки с өтражением $\lambda_{1}<-1$.

случае все неподвижные точки отображения $T^{R}$ становятся гиперболическими, и движение в окрестности данного резонанса становится стохастическим. Это будет явно показано в § 3.4.
Случай равных собственных значений. Случай 3 , когда $\lambda_{1}=\lambda_{2}=$ $= \pm 1$, особый в том смысле, что он является пограничным между устойчивым и неустойчивым движениями. При $\lambda_{1}=\lambda_{2}=1$, переходя к главным осям, отображение можно привести к виду
\[
\left(\begin{array}{l}
p_{n+k}^{\prime} \\
q_{n+k}^{\prime}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
a_{21} & 1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
p_{n}^{\prime} \\
q_{n}^{\prime}
\end{array}\right) .
\]

Это отображение описывает сдвиг вдоль прямой $p^{\prime}=$ const $^{1}$ ). Линия неподвижных точек соответствует $p_{0}^{\prime}=0$. Аналогично этому
1) Возможен также случай, когда $a_{21}^{\prime}=0$, а $a_{12}^{\prime}=a_{12}$. При этом сдвиг происходит вдоль прямой $q^{\prime}=$ const.

при $\lambda_{1}=\lambda_{2}=-1$ сдвиг происходит вдоль двух прямых $p^{\prime}=$ $= \pm$ const. Начальному условию $p_{0}^{\prime}=0$ соответствует луч. Периодические точки с периодом 2 лежат на прямой $p_{0}^{\prime}=0$, причем если $q_{0}^{\prime}>0$, то $q_{k}^{\prime}=-q_{0}^{\prime}$ и т. д. Согласно теореме Пуанкаре Биркгофа, при включении нелинейного возмущения, некоторые из этих периодических точек сохраняются и ведут с ростом возмущения к бифуркациям, которые будут рассмотрены в п. 3.4г. В $\S 4.4$ мы покажем также, что случай $\lambda_{1}=\lambda_{2}=-1$ особенно важен при определении перехода между ограниченным и неограниченным стохастическим движением по методу Грина [165].