Рассмотрим эволюцию функции распределения $P(u, n)$, ограничившись, естественно, областью сплошной стохастичности (без островков устойчивости). Примером может служить область $u \leqslant u_{\mathrm{s}}$ (см. п. 3.4 а и б, рис. $1.14,3.12$ и 3.13) для упрощенной модели Улама:
\[
\begin{array}{l}
u_{n+1}=\left|u_{n}+f\left(\psi_{n}\right)\right|, \\
\psi_{n+1}=\psi_{n}+\frac{\Theta M}{u_{n+1}}, \bmod \Theta,
\end{array}
\]

где $\Theta$ – интервал периодичности по фазе (1 или $2 \pi$ ). Пусть эволюция $P(u, n)$ в такой области описывается как некоторый марковский процесс по $u[424]^{2}$ ):
\[
P(u, n+\Delta n)=\int P(u-\Delta u, n) \mathbb{W}_{t}(u-\Delta u, n, \Delta u, \Delta n) d(\Delta u) .
\]

Здесь $W_{t}(u, n, \Delta u, \Delta n)$ – вероятность перехода $u \rightarrow u+\Delta u$ за
1) В отечественной литературе его чаще называют уравнением ФоккераПланка-Колмогорова (ФПК), поскольку строгий вывод этого уравнения, условия его применимости и ковариантная формулировка даны в работах Колмогорова [503, 504].- Прим. ред.
2) См. также $[62,505]$ – Прим. ред.

«время» $\Delta n$. Предположим также, что $\Delta n \gg 1$ и $\Delta u \ll P /(d P / d u)$, т. е. существует такое $\Delta n$, что [для модели (5.4.2)]
\[
1 \ll \Delta n \ll\left(\frac{f_{\text {иакс }}}{P} \frac{d P}{d u}\right)^{-2} .
\]

Тогда можно разложить $P W_{t}$ по первому аргументу. С точностью до членов второго порядка по $\Delta u$ получим
\[
\begin{array}{c}
P(u-\Delta u) W_{t}(u-\Delta u)=P(u) W_{t}(u)-\frac{\partial\left(P W_{t}\right)}{\partial u} \Delta u+ \\
+\frac{1}{2} \frac{\partial^{2}\left(F W_{t}\right)}{\partial u^{2}}(\Delta u)^{2} .
\end{array}
\]

Подставляя это выражение в (5.4.3) и учитывая нормировку
\[
\int W_{t}(u, n, \Delta u, \Delta n) d(\Delta u)=1,
\]

находим уравнение $Ф П К$
\[
\frac{\partial P}{\partial n}=-\frac{\partial}{\partial u}(B P)+\frac{1}{2} \frac{\partial^{2}}{\partial u^{2}}(D P),
\]

где средняя скорость ${ }^{1}$ )
\[
B(u)=\frac{1}{\Delta n} \int \Delta u W_{t}(u, n, \Delta u, \Delta n) d(\Delta u),
\]

а коэффициент диффузии
\[
D(u)=\frac{1}{\Delta n} \int(\Delta u)^{2} W_{!}(u, n, \Delta u, \Delta n) d(\Delta u) .
\]

Соотношение между коэффициентами переноса. Следуя Ландау [250], покажем, что для гамильтоновых систем ${ }^{2}$ )
\[
B=\frac{1}{2} \frac{d D}{d u} .
\]
1) Имеется в виду скорость изменения переменной $u$. В оригинале friction coefficient (коэффициент трения) – менее удачный термин, поскольку такое «трение» существует и в гамильтоновых системах.- Прим. ред.
2) Впервые соотношение такого рода было получено Эйнштейном в теории броуновского движения (см., например, [505], § 21). В работе Ландау использовался принцип детального равновесия, который не всегда выполняется даже и в автономной гамильтоновой системе (см. [506]). Вывод в в тексте основан на независимости вероятности перехода от фазы $\psi$ (аналогично работе Қрылова и Боголюбовє, см. [447], т. 2, с. 5). Поскольку $u$,中 — канонические переменные, то в последнем случае равновесное $P(u)=$ $=$ const, и (5.4.8) сразу следует из (5.4.5). Такой метод получения коэффициента $B$ оказывается наиболее удобным (см., например, [505, 464]). Значение соотношения вида (5.4.8) состонт в том, что прямое вычисление $B$ возможно только во втором порядке теотии возмущений, в то время как для $D$ достаточно первого порядка.- Прим. ред.

Это позволяет записать уравнение ФПК в виде
\[
\frac{\partial P}{\partial n}=\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{D}{2} \frac{\partial P}{\partial u}\right) .
\]

Для доказательства (5.4.8) запишем изменение $u$ с точностью до членов, квадратичных по $\Delta t$ :
\[
u(t+\Delta t)=u(t)+\dot{u} \Delta t+\frac{1}{2} \ddot{u}(\Delta t)^{2},
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\dot{u}=-\frac{\partial H}{\partial \psi}, \\
\ddot{u}=-\frac{\partial^{2} H}{\partial \psi^{2}} \dot{\psi}-\frac{\partial^{2} H}{\partial \psi \partial u} \dot{u}-\frac{\partial^{2} H}{\partial \psi \partial t} .
\end{array}
\]

Из уравнений Гамильтона получаем
\[
\begin{array}{c}
\ddot{u}=-\frac{\partial^{2} H}{\partial \psi^{2}} \frac{\partial H}{\partial u}+\frac{\partial^{2} H}{\partial \psi \partial u}-\frac{\partial H}{\partial \psi}+\frac{\partial^{2} H}{\partial \psi \partial t}=-\frac{\partial}{\partial \psi}\left(\frac{\partial H}{\partial \psi} \frac{\partial H}{\partial u}\right)+ \\
+\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{\partial H}{\partial \psi}\right)^{2}-\frac{\partial}{\partial \psi}\left(\frac{\partial H}{\partial t}\right) .
\end{array}
\]

Отсюда для $\Delta u=u(t+\Delta t)-u(t)$ во втором порядке по $\Delta t$ имеем
\[
\Delta u=-\frac{\partial H}{\partial \psi} \Delta t+\frac{1}{2}(\Delta t)^{2}\left[\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{\partial H}{\partial \psi}\right)^{2}-\frac{\partial}{\partial \psi}\left(\frac{\partial H}{\partial \psi} \frac{\partial H}{\partial u}+\frac{\partial H}{\partial t}\right)\right] .
\]

Усредняя по $\psi$, получаем
\[
\langle\Delta u\rangle_{\Psi}=\frac{1}{2}(\Delta t)^{2} \frac{\partial}{\partial u}\left\langle\left(\frac{\partial H}{\partial \psi}\right)^{2}\right\rangle_{\psi} .
\]

Остальные члены исчезают из-за периодичности $H$ по $\psi$. Аналогично во втором порядке по $\Delta t$ :
\[
(\Delta u)^{2}=\dot{u}^{2}(\Delta t)^{2}=\left(\frac{\partial H}{\partial \Psi}\right)^{2}(\Delta t)^{2} .
\]

Усреднение по $\psi$ дает
\[
\left\langle(\Delta u)^{2}\right\rangle_{\psi}=(\Delta t)^{2}\left\langle\left(\frac{\partial H}{\partial \psi}\right)^{2}\right\rangle_{\psi} .
\]

Сравнивая выражения для $\langle\Delta u\rangle_{\psi}$ и $\left\langle(\Delta u)^{2}\right\rangle_{\psi}$, получаем соотношение (5.4.8). зависит, конечно, не только от переменной действия $u$, но и от фазы $\psi$. Однако при достаточно большом $\Delta n \gg n_{c}$, где $n_{c}$ – время релаксации функции распределелия по фазе, можно усреднить по $\psi: W_{t}(u, \psi) \rightarrow W_{t}(u)=\left\langle W_{t}(u, \psi)\right\rangle_{\psi}$.

Для выяснения условий такого приближения найдем прежде всего направления собственных векторов системы (5.4.2), используя линеаризованное отображение (см. п. 3.3б) с матрицей
\[
\mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc}
1 & f^{\prime} \\
-\rho & 1-\rho f^{\prime}
\end{array}\right),
\]

где $\rho=\Theta M / u^{2}$. Для собственных векторов получаем
\[
(\Delta u, \Delta \psi) \propto\left(f^{\prime}, \lambda_{1,2}-1\right)
\]

где собственные значения даются выражением (3.3.52). При $\lambda_{1} \approx\left|\rho f^{\prime}\right| \geqslant 1$ собственный вектор растяжения направлен почти по фазе ( $f^{\prime} \sim 1$ ). Последнее условие выполняется тем лучше, чем меньше $u$ по сравнению с $u_{s}=(\Theta M)^{1 / 2} / 2$.

Для оценки $n_{c}$ предположим, что начальное распределение сосредоточено в узком интервале $\Delta \psi(0)$, а $\Delta u(0)=0$. Тогда, $\Delta \psi(n) \approx \lambda_{1}^{n} \Delta \psi(0) \approx \rho^{n} \Delta \psi(0)$. Положив $\Delta \psi\left(n_{c}\right) \sim \Theta$, найдем
\[
n_{c} \approx \frac{\ln [\Theta / \Delta \psi(0)]}{\ln \rho},
\]
т. е. $n_{c}$ слабо зависит от начального распределения. Напротив, распределение по $u$ остается локализованным в пределах $\Delta u\left(n_{c}\right)$ $\sim \Theta / \lambda_{1} \sim\left(u / u_{s}\right)^{2} \ll u$. Поэтому можно ожидать, что при $\Delta n \gg n_{c}$ эволюция распределения $P(u)$ описывается уравнением $\left.Ф П \mathrm{~K}^{1}\right)$ с коэффициентами $B$ и $D$ из (5.4.6) и (5.4.7). Остаточные корреляции, однако, сохраняются по крайней мере в течение одного периода отображения. Их влияние будет рассмотрено в п. 5.4г.

Для $u>u_{\mathrm{s}}$ существуют островки устойчивости, движение в которых не описывается уравнением (5.4.5). Для стохастической же компоненты, окружающей островки, простое усреднение по $\psi$ уже неприменимо, поскольку при данном $и$ допустимы не все значения фазы.