Первый критерий перехода к глобальной стохастичности, предложенный Чириковым [67] и позднее усовершенствованный им [70], известен сейчас как критерий перекрытия. В своей простейшей форме он постулирует, что последняя инвариантная поверхность между двумя резонансами разрушается, когда невозмущенные сепаратрисы этих резонансов касаются друг друга. Действительно, интуитивно ясно, что касание стохастических слоев, которые, как мы знаем, окружают сепаратрисы, должно приводить к разрушению всех инвариантных поверхностей в этой области. Строго говоря, критерий перекрытия не является ни необходимым, ни достаточным. С одной стороны, последняя инвариантная поверхность может разрушаться значительно раньше перекрытия рассматриваемых резонансов за счет взаимодействия других резонансов между ними. С другой стороны, возмущение может так исказить сепаратрисы, что они фактически не будут перекрываться вопреки предсказаниям по первому приближению. Фактически численное моделирование показывает, что критерий перекрытия является
1) Напомним, что в этой задаче эффективное возмущение пропорционально $1 / u^{2}$.

чересчур жестким условием глобальной стохастичности. Он может быть, однако, сделан более эффективным, если учесть ширину стохастического слоя сепаратрисы и некоторые из промежуточных резонансов [70]. В таком виде критерий перекрытия рассматривается в § 4.2. Однако и в простейшем виде этот критерий дает грубую оценку для границы стохастичности и использовался в самых различных задачах Чириковым [67-71], Фордом и сотр. [423], Розенблютом и др. [349] и многими другими (более полную библиографию см. в работе [70]). Следует отметить, что в качестве грубого критерия стохастичности можно использовать также условие потери линейной устойчивости периодических траекторий, которое приводит к границе устойчивости $u_{\mathrm{s}}$ в примере $\S 3.4$.

Используя аналогичную методику, Егер и Лихтенберг [212] вычисляли размер вторичных резонансов между гармониками фазовых колебаний на основных резонансах и невозмущенными колебаниями. Они показали, что при перекрытии первичных резонансов параметр перекрытия вторичных резонансов, т. е. отношение их размера к расстоянию между ними, сравним с параметром перекрытия для первичных резонансов и по индукции это же справедливо и для резонансов более высоких порядков. При этом локальное число вращения для первичного резонанса вблизи его центра равно $\alpha=1 / 4$, т. е. здесь возникает вторичный резонанс четвертой гармоники. Изучение резонансной структуры со всей очевидностью показывает, что простой критерий перекрытия является слишком жестким. Численно было найдено, что когда параметр перекрытия для первичных резонансов достигает $2 / 3$ (при этом появляется вторичный резонанс шестой гармоники), то этого достаточно, чтобы разрушить последнюю инвариантную поверхность между первичными резонансами. Такой критерий применялся для многих задач, как, например, ускорение Ферми [274] и циклотронный нагрев $[212,275]$. Отметим, что усовершенствованный критерий перекрытия Чирикова также связан со вторичными резонансами, но не в центре первичного резонанса, а вблизи его сепаратрисы. Использование вторичных резонансов рассматривается в § 4.3. Соответствующая техника разложения, основанная на резонансной теории возмущений, описана в § 2.4.

Третий метод определения границы стохастичности базируется на анализе линейной устойчивости движения вблизи центра резонанса (его периодической траектории). Идея метода состоит в следующем. Поскольку потеря линейной устойчивости для резонансов с наиболее низкой гармоникой ( $k=1$ ) является слишком жестким условием, более эффективным критерием может служить линейная устойчивость для тех резонансов на высоких гармониках $k$, которые расположены вблизи некоторой инвариантной поверхности. Эта гипотеза была численно проверена и подтверждена Грином $[164,165]$. Более конкретно, гипотеза Грина состоит в том, что существование инвариантной кривой с иррациональным числом вращения $\alpha$ зависит от устойчивости соседних периодических точек, рациональные числа вращения которых сходятся к $\alpha$. Предполагается также, что эта устойчивость тем выше, чем хуже аппроксимация $\alpha$ рациональными числами. Можно показать ( $\$ 4.4$ ), что на отрезке $(0,1)$, т. е. между двумя целыми резонансами ( $k=1$ ), иррациональным числом с наихудшей рациональной аппроксимацией является так называемое золотое сечение $\left.{ }^{1}\right) \alpha_{g}=(\sqrt{5}-1) / 2$. Поэтому можно ожидать, что последней инвариантной кривой, которая будет разрушена по мере роста возмущения, является именно кривая с числом вращения $\alpha=\alpha_{g}$. Это подтверждается и численными данными Грина ${ }^{2}$ ). Таким образом, эффективный критерий разрушения всех инвариантных кривых между целыми резонансами сводится к исследованию асимптотической ( $k \rightarrow \infty$ ) устойчивости периодических точек с $\alpha \rightarrow \alpha_{g}$. Для практической реализации этого критерия требуется быстрая сходимость при $k \gg 1$, обеспечение которой облегчается следующим свойством периодических точек при $k \rightarrow \infty$. Если возмущение близко к критическому для некоторой инвариантной кривой, то в окрестности приближающих ее периодических точек возникают вторичные резонансы с $\alpha=1 / 6$, что соответствует приблизительно границе устойчивости периодических точек. Этот факт связан с другим наблюдением (см. § 4.2), что вблизи границы стохастичности такие же вторичные резонансы появляются и внутри целых резонансов ( $k=1$ ).

Четвертый метод, предложенный Эсканде и Довейлом [17, 18], также основан на анализе резонансов высоких гармоник в окрестности некоторой инвариантной кривой. Однако в отличие от метода Грина это достигается путем последовательной ренормализации гамильтониана с сохранением его формы. Этот метод не столь эффективен, как предыдущий, и в типичном случае приводит к значению границы стохастичности на $3 \div 10 \%$ ниже фактического согласно численным данным ${ }^{3}$ ). Полученные этим методом результаты относятся к более общему с.уучаю двух резонансов произвольной величины. При этом «последняя инвариантная кривая» не связана, вообще говоря, с золотым сечением. Метод и полученные с его помощью результаты обсуждаютея в § 4.5.

В заключение в $§ 4.6$ кратко описан вариационный метод определения условий существования инвариантных торов. В гамильтоновой форме он был развит Персивалем [328], а в лагранжевой Персивалем [330] и Қлейном и Пи [228]. Используемая в последней работе техника весьма близка к описанной в п. 2.66 для нахож-
1) Таким же свойством обладают и все иррациональные числа вида $a_{g}+m$, где $m$ – любое целое.
2) Но противоречит численным экспериментам, описанным в работе [76]. Обсуждение «золотой» гипотезы Грина см. в $[76,485]$. – Прим. ред.
3) Это расхождение (и даже его знак) может быть связано и с точностью численного определения границы стохастичности при относительно коротком времени счета в $[17,18]$ (см. [70], (4.49) и рис. 5.3).- Прим. ред.

дения периодических траекторий и позволяет получить, как и метод Грина, эффективный критерий разрушения инвариантных торов.

В § 4.7 приводится сравнение различных критериев перехода к глобальной стохастичности и обсуждаются особенности их практического использования. Подчеркивается, что простой критерий перекрытия дает оценку только по порядку величины, но его легко применять в самых разных задачах. В качестве более эффективного критерия в некоторых новых задачах можно отказаться от сложных вычислительных процедур и прямо использовать уже полученньте решения, например результат Грина для стандартного отображения, или вычисления Эсканде и Довейла. Все эти критерии приводят к правилу «двух третей», которое является достаточно эффективным и удобным для использования ${ }^{1}$ ). Более подробное обсуждение возможностей различных критериев стохастичности и обширную библиографию можно найти в обзорах Чирикова [70] и Табора [401].

Если система имеет более чем две степени свободы, то резкой границы стохастичности уже не существует. Это связано с тем, что все стохастические слои резонансных сепаратрис в фазовом пространстве связаны между собой. Возникающая при этом диффузия Арнольда является, вообще говоря, очень медленной по сравнению с диффузией в областях глобальной стохастичности. Поэтому в практическом отношении понятие границы стохастичности остается содержательным и для многомерных систем.