Главная > РЕГУЛЯРНАЯ И СТОХАСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА (Лихтенберг А., Либерман)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Первый критерий перехода к глобальной стохастичности, предложенный Чириковым [67] и позднее усовершенствованный им [70], известен сейчас как критерий перекрытия. В своей простейшей форме он постулирует, что последняя инвариантная поверхность между двумя резонансами разрушается, когда невозмущенные сепаратрисы этих резонансов касаются друг друга. Действительно, интуитивно ясно, что касание стохастических слоев, которые, как мы знаем, окружают сепаратрисы, должно приводить к разрушению всех инвариантных поверхностей в этой области. Строго говоря, критерий перекрытия не является ни необходимым, ни достаточным. С одной стороны, последняя инвариантная поверхность может разрушаться значительно раньше перекрытия рассматриваемых резонансов за счет взаимодействия других резонансов между ними. С другой стороны, возмущение может так исказить сепаратрисы, что они фактически не будут перекрываться вопреки предсказаниям по первому приближению. Фактически численное моделирование показывает, что критерий перекрытия является
1) Напомним, что в этой задаче эффективное возмущение пропорционально 1/u2.

чересчур жестким условием глобальной стохастичности. Он может быть, однако, сделан более эффективным, если учесть ширину стохастического слоя сепаратрисы и некоторые из промежуточных резонансов [70]. В таком виде критерий перекрытия рассматривается в § 4.2. Однако и в простейшем виде этот критерий дает грубую оценку для границы стохастичности и использовался в самых различных задачах Чириковым [67-71], Фордом и сотр. [423], Розенблютом и др. [349] и многими другими (более полную библиографию см. в работе [70]). Следует отметить, что в качестве грубого критерия стохастичности можно использовать также условие потери линейной устойчивости периодических траекторий, которое приводит к границе устойчивости us в примере §3.4.

Используя аналогичную методику, Егер и Лихтенберг [212] вычисляли размер вторичных резонансов между гармониками фазовых колебаний на основных резонансах и невозмущенными колебаниями. Они показали, что при перекрытии первичных резонансов параметр перекрытия вторичных резонансов, т. е. отношение их размера к расстоянию между ними, сравним с параметром перекрытия для первичных резонансов и по индукции это же справедливо и для резонансов более высоких порядков. При этом локальное число вращения для первичного резонанса вблизи его центра равно α=1/4, т. е. здесь возникает вторичный резонанс четвертой гармоники. Изучение резонансной структуры со всей очевидностью показывает, что простой критерий перекрытия является слишком жестким. Численно было найдено, что когда параметр перекрытия для первичных резонансов достигает 2/3 (при этом появляется вторичный резонанс шестой гармоники), то этого достаточно, чтобы разрушить последнюю инвариантную поверхность между первичными резонансами. Такой критерий применялся для многих задач, как, например, ускорение Ферми [274] и циклотронный нагрев [212,275]. Отметим, что усовершенствованный критерий перекрытия Чирикова также связан со вторичными резонансами, но не в центре первичного резонанса, а вблизи его сепаратрисы. Использование вторичных резонансов рассматривается в § 4.3. Соответствующая техника разложения, основанная на резонансной теории возмущений, описана в § 2.4.

Третий метод определения границы стохастичности базируется на анализе линейной устойчивости движения вблизи центра резонанса (его периодической траектории). Идея метода состоит в следующем. Поскольку потеря линейной устойчивости для резонансов с наиболее низкой гармоникой ( k=1 ) является слишком жестким условием, более эффективным критерием может служить линейная устойчивость для тех резонансов на высоких гармониках k, которые расположены вблизи некоторой инвариантной поверхности. Эта гипотеза была численно проверена и подтверждена Грином [164,165]. Более конкретно, гипотеза Грина состоит в том, что существование инвариантной кривой с иррациональным числом вращения α зависит от устойчивости соседних периодических точек, рациональные числа вращения которых сходятся к α. Предполагается также, что эта устойчивость тем выше, чем хуже аппроксимация α рациональными числами. Можно показать ( $4.4 ), что на отрезке (0,1), т. е. между двумя целыми резонансами ( k=1 ), иррациональным числом с наихудшей рациональной аппроксимацией является так называемое золотое сечение 1)αg=(51)/2. Поэтому можно ожидать, что последней инвариантной кривой, которая будет разрушена по мере роста возмущения, является именно кривая с числом вращения α=αg. Это подтверждается и численными данными Грина 2 ). Таким образом, эффективный критерий разрушения всех инвариантных кривых между целыми резонансами сводится к исследованию асимптотической ( k ) устойчивости периодических точек с ααg. Для практической реализации этого критерия требуется быстрая сходимость при k1, обеспечение которой облегчается следующим свойством периодических точек при k. Если возмущение близко к критическому для некоторой инвариантной кривой, то в окрестности приближающих ее периодических точек возникают вторичные резонансы с α=1/6, что соответствует приблизительно границе устойчивости периодических точек. Этот факт связан с другим наблюдением (см. § 4.2), что вблизи границы стохастичности такие же вторичные резонансы появляются и внутри целых резонансов ( k=1 ).

Четвертый метод, предложенный Эсканде и Довейлом [17, 18], также основан на анализе резонансов высоких гармоник в окрестности некоторой инвариантной кривой. Однако в отличие от метода Грина это достигается путем последовательной ренормализации гамильтониана с сохранением его формы. Этот метод не столь эффективен, как предыдущий, и в типичном случае приводит к значению границы стохастичности на 3÷10% ниже фактического согласно численным данным 3 ). Полученные этим методом результаты относятся к более общему с.уучаю двух резонансов произвольной величины. При этом «последняя инвариантная кривая» не связана, вообще говоря, с золотым сечением. Метод и полученные с его помощью результаты обсуждаютея в § 4.5.

В заключение в §4.6 кратко описан вариационный метод определения условий существования инвариантных торов. В гамильтоновой форме он был развит Персивалем [328], а в лагранжевой Персивалем [330] и Қлейном и Пи [228]. Используемая в последней работе техника весьма близка к описанной в п. 2.66 для нахож-
1) Таким же свойством обладают и все иррациональные числа вида ag+m, где m — любое целое.
2) Но противоречит численным экспериментам, описанным в работе [76]. Обсуждение «золотой» гипотезы Грина см. в [76,485]. — Прим. ред.
3) Это расхождение (и даже его знак) может быть связано и с точностью численного определения границы стохастичности при относительно коротком времени счета в [17,18] (см. [70], (4.49) и рис. 5.3).- Прим. ред.

дения периодических траекторий и позволяет получить, как и метод Грина, эффективный критерий разрушения инвариантных торов.

В § 4.7 приводится сравнение различных критериев перехода к глобальной стохастичности и обсуждаются особенности их практического использования. Подчеркивается, что простой критерий перекрытия дает оценку только по порядку величины, но его легко применять в самых разных задачах. В качестве более эффективного критерия в некоторых новых задачах можно отказаться от сложных вычислительных процедур и прямо использовать уже полученньте решения, например результат Грина для стандартного отображения, или вычисления Эсканде и Довейла. Все эти критерии приводят к правилу «двух третей», которое является достаточно эффективным и удобным для использования 1 ). Более подробное обсуждение возможностей различных критериев стохастичности и обширную библиографию можно найти в обзорах Чирикова [70] и Табора [401].

Если система имеет более чем две степени свободы, то резкой границы стохастичности уже не существует. Это связано с тем, что все стохастические слои резонансных сепаратрис в фазовом пространстве связаны между собой. Возникающая при этом диффузия Арнольда является, вообще говоря, очень медленной по сравнению с диффузией в областях глобальной стохастичности. Поэтому в практическом отношении понятие границы стохастичности остается содержательным и для многомерных систем.

1
Оглавление
email@scask.ru