Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Модельное отображение. Рассмотрим явное отображение поворота (3.1.17) где $J, \theta$ — канонические переменные, а $\mu$ — дополнительный параметр. Вводя периодическую $\delta$-функцию, эти уравнения можно записать в форме гамильтоновых дифференциальных уравнений типа (3.1.34). Пусть теперь изменение параметра $\mu$ описывается независимым уравнением где $\zeta_{n}$ — случайная переменная. Тогда в системе (6.3.19) с $\mu=$ $=\mu_{n+1}$ возникает внешняя диффузия, аналогичная описанной в п. 6.3а. Такой подход использовался Чириковым [71] и Коэном и Раулэндсом [80] при исследовании процессов переноса в магнитных ловушках. Для упрощения анализа линеаризуем отображение (6.3.19) по переменным $J$ и $\mu$ в окрестности $\mu=\mu_{0}$ и неподвижной точки $\left(J_{0}, \theta_{0}\right)$, положив $\theta_{0}=0$ и определив $J_{0}$ из уравнения $\alpha\left(J_{0}, \mu_{0}\right)=k$, где $k$ — целое число. В результатє получаем расширенное стандартное отображение: где Здесь $K$ — параметр стохастичности; $\xi_{n}$ — нормированная случайная переменная: $\left\langle\xi_{n}\right\rangle=0$ и $\left\langle\xi_{n}^{2}\right\rangle=1$, а Если $K \gg 1$, то резонансы перекрываются и диффузия по $I$ определяется приближенно квазилинейным выражением (5.4.21б): В этом случае фаза $\theta$ является полностью стохастической, и диффузия не зависит от внешнего шума по параметру $\mu$. При $\tau \ll 1$ внешний шум полностью хаотизирует $\theta$ за одну итерацию отображения, и скорость диффузии оказывается предельной (6.3.26) независимо от величины $K$. Нас, однако, интересует случай совместного действия резонансов и внешнего шума (ср. п. 6.3a), который имеет место при выполнении условий В этой области изменения переменных $I$ и $P$ за одну итерацию малы, так что разностные уравнения (6.3.21) можно аппроксимировать следующей системой дифференциальных уравнений ${ }^{1}$ ): Диффузия резонанса. Уравнения (6.3.28а) и (6.3.28б) имеют гамильтониан описывающий «блуждающий» резонанс с центром при $I=-P(n)$. Используя (6.3.25), получаем Локальный коэффициент диффузни внутри резонанса ${ }^{1}$ ) равен Рис. 6.19. Связь между резонансным каналированием (а) (п. 6.3а) и диффуэией резонанса (б) (п. 6.3б). показывает, что $S$ является единственным параметром уравнений (6.3.28). Хотя локальный коэффициент диффузии представляет некоторый интерес и сам по себе, более важно знать среднюю скорость диффузии. Ее можно найти следующим образом. Если пренебречь диффузией вне резонанса (ср. п. Ј.5б) ${ }^{1}$ ), то средняя скорость диффузии пропорциональна доле времени, проводимого траекторией внутри резонанса, которая в свою очередь пропорциональна фазовой площади, занимаемой резоғансом. Используя гамильтониан (6.3.29) и учитывая периодичность исходного отображения (6.3.21) по $I$, получаем для относительной фазовой площади резонанса Отсюда средний коэффициент диффузии Помимо диффузии вместе с рєзонансом происходит еще и диффузия внутри резонанса. Последний эффект был рассмотрен Коэном и Раулэндсом [81], которые получили поправку к (6.3.31) при $K \ll 1$ : Неясно, однако, справедлива ли эта поправка в случае длительной диффузии при многократном попадании в резонансы. Қак бы то ни было, эта поправка составляет всего около $50 \%$. По-видимому, такого же порядка и другие ошио́ки, в частности, из-за приближений вблизи сепаратрисы ${ }^{2}$ ). Поэтому можно принять выражение (6.3.33) в качестве разумной оценки средней скорости диффузии. Связь с резонансным каналированием. Сравним расчет козффициента диффузии вдоль резонанса $D_{\text {кан }}$ в п. 6.3 а с проведенным выше расчетом $D_{r}$. Мы покажем, что при некоторых упрощающих предположениях эти задачи можно связать друг с другом. Рис. $6.19, a$ напоминает схему расчета $D_{\text {кан }}$. Внешняя диффузия с коэффициентом $D_{\perp E}$ перпендикулярно энергетической поверхности вызывает диффузию вдоль резонанса со скоростью На рис. $6.19,6$ показано то же самое в новых переменных $I_{1}^{\prime}, I_{2}^{\prime}$, так что внешняя диффузия с коэффициентом $D$. идет теперь по линии $I_{2}^{\prime}$, а вектор резонанса $m$ направлен по $I_{1}^{\prime}$. При этом величина $D_{\perp E}$ и угол $\psi$ не изменяются. Наконец, на рис. 6.19 , в мы еще раз переходим к новым переменным что эквивалентно растяжению масштаба по $I_{2}^{\prime}$ в $\operatorname{ctg} \psi$ раз. Рассматривая $P$ как параметр и используя (6.3.30), находим, что компонента диффузии по $I$ равна $D_{r}=D_{P}$. Сравнивая (6.3.35) и (6.3.4), получаем Этим устанавливается соответствие между резонансным каналированием и диффузией резонанса ${ }^{1}$ ). Аналогичные соотношения можно получить и для многих степеней свободы, используя ортогональную метрику, описанную Чириковым [70].
|
1 |
Оглавление
|