Модельное отображение. Рассмотрим явное отображение поворота (3.1.17)
\[
\begin{array}{l}
J_{n+1}=J_{n}+f(\mu) \sin \theta_{n}, \\
\theta_{n+1}=\theta_{n}+2 \pi \alpha\left(J_{n+1}, \mu\right),
\end{array}
\]

где $J, \theta$ – канонические переменные, а $\mu$ – дополнительный параметр. Вводя периодическую $\delta$-функцию, эти уравнения можно записать в форме гамильтоновых дифференциальных уравнений типа (3.1.34). Пусть теперь изменение параметра $\mu$ описывается независимым уравнением
\[
\mu_{n+1}=\mu_{n}+\zeta_{n},
\]

где $\zeta_{n}$ – случайная переменная. Тогда в системе (6.3.19) с $\mu=$ $=\mu_{n+1}$ возникает внешняя диффузия, аналогичная описанной в п. 6.3а. Такой подход использовался Чириковым [71] и Коэном и Раулэндсом [80] при исследовании процессов переноса в магнитных ловушках.

Для упрощения анализа линеаризуем отображение (6.3.19) по переменным $J$ и $\mu$ в окрестности $\mu=\mu_{0}$ и неподвижной точки $\left(J_{0}, \theta_{0}\right)$, положив $\theta_{0}=0$ и определив $J_{0}$ из уравнения $\alpha\left(J_{0}, \mu_{0}\right)=k$, где $k$ – целое число. В результатє получаем расширенное стандартное отображение:
\[
\begin{array}{l}
I_{n+1}=I_{n}-K \sin \theta_{n}, \\
\theta_{n+\mathbf{1}}=\theta_{n}+I_{n+\mathbf{1}}+P_{n+1}, \\
P_{n+1}=P_{n}+\xi_{n / \tau^{1 / 2},}
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
I_{n}=2 \pi-\frac{\partial \alpha}{\partial J_{0}}\left(J_{n}-J_{0}\right), \\
P_{n}=2 \pi \frac{\partial \alpha}{\partial \mu_{0}}\left(\mu_{n}-\mu_{0}\right), \\
K=2 \pi f\left(\mu_{0}\right) \frac{\partial \alpha}{\partial J_{0}}, \\
\xi_{n}=2 \pi \frac{\partial \alpha}{\partial \mu_{\mathrm{c}}} \tau^{1 / 2} \zeta_{n} .
\end{array}
\]

Здесь $K$ – параметр стохастичности; $\xi_{n}$ – нормированная случайная переменная: $\left\langle\xi_{n}\right\rangle=0$ и $\left\langle\xi_{n}^{2}\right\rangle=1$, а
\[
\tau=\left(2 \pi \sigma \frac{\partial \alpha}{\partial \mu_{0}}\right)^{-2}
\]
– безразмерный параметр, характеризующий случайную величину $\zeta_{n}\left(\left\langle\zeta_{n}^{2}\right\rangle=\sigma^{2}\right)$. Иначе говоря, $\tau$ равно числу итераций отображения, за которое средний квадрат $P$ становится равным единице:
\[
\left\langle P^{2}\right\rangle=n / \tau \text {. }
\]

Если $K \gg 1$, то резонансы перекрываются и диффузия по $I$ определяется приближенно квазилинейным выражением (5.4.21б):
\[
D_{1}=\frac{\left\langle(\Delta I)^{2}\right\rangle}{2}=\frac{K^{2}}{4} .
\]

В этом случае фаза $\theta$ является полностью стохастической, и диффузия не зависит от внешнего шума по параметру $\mu$. При $\tau \ll 1$ внешний шум полностью хаотизирует $\theta$ за одну итерацию отображения, и скорость диффузии оказывается предельной (6.3.26) независимо от величины $K$. Нас, однако, интересует случай совместного действия резонансов и внешнего шума (ср. п. 6.3a), который имеет место при выполнении условий
\[
K \ll 1 ; \quad \tau \gg 1 .
\]

В этой области изменения переменных $I$ и $P$ за одну итерацию малы, так что разностные уравнения (6.3.21) можно аппроксимировать следующей системой дифференциальных уравнений ${ }^{1}$ ):
\[
\begin{array}{l}
\frac{d I}{d n}=K \sin \theta, \\
\frac{d \theta}{d n}=I+P, \\
\frac{d P}{d n}=\xi / \tau^{1 / 2} .
\end{array}
\]

Диффузия резонанса. Уравнения (6.3.28а) и (6.3.28б) имеют гамильтониан
\[
H=I^{2} / 2+P(n) I+K \cos \theta,
\]

описывающий «блуждающий» резонанс с центром при $I=-P(n)$. Используя (6.3.25), получаем
\[
\left\langle I^{2}\right\rangle=\left\langle P^{2}\right\rangle=\frac{n}{\tau} .
\]
1) В отличие от отображения (6.3.21) уравнения (6.3.28) описывают единственный резонанс $I+P=0 .-$ Прим. ред.

Локальный коэффициент диффузни внутри резонанса ${ }^{1}$ ) равен
С другой стороны, частота фазовых колебаний $\omega_{0} \approx$ $\approx K^{1 / 2}$, и условие (6.3.32a) принимает вид
\[
S \sim K^{32} \tau \gg 1 .
\]

Рис. 6.19. Связь между резонансным каналированием (а) (п. 6.3а) и диффуэией резонанса (б) (п. 6.3б).
Фактически замена переменных
\[
\begin{array}{c}
P^{\prime}=K^{-12} P, \\
I^{\prime}=K^{-1 \cdot 2} I, \\
n^{\prime}=K^{1 / 2} n
\end{array}
\]

показывает, что $S$ является единственным параметром уравнений (6.3.28).
1) Точнее коэффициент диффузии вместе с резонансом. – Прим. ред.

Хотя локальный коэффициент диффузии представляет некоторый интерес и сам по себе, более важно знать среднюю скорость диффузии. Ее можно найти следующим образом. Если пренебречь диффузией вне резонанса (ср. п. Ј.5б) ${ }^{1}$ ), то средняя скорость диффузии пропорциональна доле времени, проводимого траекторией внутри резонанса, которая в свою очередь пропорциональна фазовой площади, занимаемой резоғансом. Используя гамильтониан (6.3.29) и учитывая периодичность исходного отображения (6.3.21) по $I$, получаем для относительной фазовой площади резонанса
\[
f_{r}=\frac{4(2 K)^{1 / 2} \int_{0}^{\pi}(1-\cos \theta)^{1 / 2} d \theta}{(2 \pi)^{2}}=\frac{4 K^{1 / 2}}{\pi^{2}} .
\]

Отсюда средний коэффициент диффузии
\[
\langle D\rangle=D_{r} f_{r}=\frac{2}{\pi^{2}} \frac{K^{1 / 2}}{\tau} .
\]

Помимо диффузии вместе с рєзонансом происходит еще и диффузия внутри резонанса. Последний эффект был рассмотрен Коэном и Раулэндсом [81], которые получили поправку к (6.3.31) при $K \ll 1$ :
\[
D_{r}=\frac{1}{2 \tau}\left(1+\frac{1}{2-K / 2}\right) .
\]

Неясно, однако, справедлива ли эта поправка в случае длительной диффузии при многократном попадании в резонансы. Қак бы то ни было, эта поправка составляет всего около $50 \%$. По-видимому, такого же порядка и другие ошио́ки, в частности, из-за приближений вблизи сепаратрисы ${ }^{2}$ ). Поэтому можно принять выражение (6.3.33) в качестве разумной оценки средней скорости диффузии.

Связь с резонансным каналированием. Сравним расчет козффициента диффузии вдоль резонанса $D_{\text {кан }}$ в п. 6.3 а с проведенным выше расчетом $D_{r}$. Мы покажем, что при некоторых упрощающих предположениях эти задачи можно связать друг с другом.

Рис. $6.19, a$ напоминает схему расчета $D_{\text {кан }}$. Внешняя диффузия с коэффициентом $D_{\perp E}$ перпендикулярно энергетической поверхности вызывает диффузию вдоль резонанса со скоростью
\[
D_{\text {кан }}=D_{\perp E} / \sin ^{2} \psi .
\]
1) Более подробно этот вопрос рассмотрен в работе [71].- Прим.1 ред.
2) По-видимому, имеется в виду нерезонансная диффузия вблизи резонанса. Согласно работе [71], эта поправка становится заметной только при $S \geq 10^{3}$. С другой стороны, соотношение (6.3.33) совпадает с точностью лучшей $10 \%$ с результатом Рютова Ступакова [357], полученным ранее другим методом. Поэтому поправка Коэна и Раулэндса остается проблематичной. Если понимать ее как результат прохождения резонанса, то в рассматриваемом режиме Будкера ( $S \gg 1$ ) прохождение является медленным, и средний эффект многих прохождений близок к нулю (см. [467]).Прим. ред.

На рис. $6.19,6$ показано то же самое в новых переменных $I_{1}^{\prime}, I_{2}^{\prime}$, так что внешняя диффузия с коэффициентом $D$. идет теперь по линии $I_{2}^{\prime}$, а вектор резонанса $m$ направлен по $I_{1}^{\prime}$. При этом величина $D_{\perp E}$ и угол $\psi$ не изменяются. Наконец, на рис. 6.19 , в мы еще раз переходим к новым переменным
\[
P=I_{2}^{\prime} \operatorname{ctg} \psi, \quad I=I_{1}^{\prime},
\]

что эквивалентно растяжению масштаба по $I_{2}^{\prime}$ в $\operatorname{ctg} \psi$ раз.
Линия резонанса проходит теперь под углом $45^{\circ}$, а коэффициент внешней диффузии возрастает
\[
D_{P}=D_{\perp E} \operatorname{ctg}^{2} \psi \text {. }
\]

Рассматривая $P$ как параметр и используя (6.3.30), находим, что компонента диффузии по $I$ равна $D_{r}=D_{P}$. Сравнивая (6.3.35) и (6.3.4), получаем
\[
D_{r}=D_{\text {кан }} \cos ^{2} \psi \text {. }
\]

Этим устанавливается соответствие между резонансным каналированием и диффузией резонанса ${ }^{1}$ ).

Аналогичные соотношения можно получить и для многих степеней свободы, используя ортогональную метрику, описанную Чириковым [70].