Построим классический адиабатический инвариант с точностью до первого порядка для гамильтониана (2.3.6). В нулевом порядке таким инвариантом является действие $J$, связанное с быстрой степенью свободы. Чтобы учесть эффект возмущения $\varepsilon H_{1}$, произведем, как и в п. 2.2б, преобразование от $J, \theta, \boldsymbol{y}$ к $\bar{J}, \bar{\theta}, \bar{y}$, такое, что новый гамильтониан
\[
\bar{H}=\bar{H}_{0}+\varepsilon \bar{H}_{1}+\text {. . . }
\]

не будет зависеть от «быстрой» фазы $\bar{\theta}$. Вводя производящую функцию
\[
S=\bar{J} \theta+\overline{\boldsymbol{p}} \cdot \boldsymbol{q}+\varepsilon S_{\mathbf{1}}(\bar{J}, \theta, \overline{\boldsymbol{p}}, q, t)+\ldots
\]

получаем в первом порядке по $\varepsilon$ :
\[
\begin{array}{l}
J=\bar{J}+\varepsilon \frac{\partial S_{1}}{\partial \bar{\theta}}, \\
\theta=\bar{\theta}-\varepsilon \frac{\partial S_{1}}{\partial \bar{J}}, \\
\boldsymbol{p}=\overline{\boldsymbol{p}}+\varepsilon \frac{\partial S_{\mathbf{1}}}{\partial \overline{\boldsymbol{q}}}, \\
\boldsymbol{q}=\overline{\boldsymbol{q}}-\varepsilon \frac{\partial S_{\mathbf{1}}}{\partial \overline{\boldsymbol{p}}} .
\end{array}
\]

Подставляя эти выражения в $H_{0}$ и удерживая члены порядка $\varepsilon$, находим
\[
H_{0}(J, \varepsilon y, \varepsilon t)=H_{0}(\bar{J}, \varepsilon \bar{y}, \varepsilon t)+\varepsilon \omega \frac{\partial S_{1}}{\partial \bar{\theta}},
\]

где $\omega=\partial H_{0} / \partial \bar{J}$ — быстрая частота. Заметим, что члены
\[
-\frac{\partial H_{0}}{\partial \overline{\boldsymbol{q}}} \cdot \frac{\partial S_{1}}{\partial \overline{\boldsymbol{p}}}, \quad \frac{\partial H_{0}}{\partial \overline{\boldsymbol{p}}} \cdot \frac{\partial S_{1}}{\partial \overline{\boldsymbol{q}}}
\]

имеют второй порядок малости по в и потому опущены. С помощью выражения (1.2.13в) получаем
\[
\bar{H}(\bar{J}, \bar{\theta}, \varepsilon \bar{y}, \varepsilon t)=H(J, \theta, \varepsilon \boldsymbol{y}, \varepsilon t)+\varepsilon \frac{\partial S(\bar{J}, \theta, \varepsilon \bar{p}, \varepsilon q, \varepsilon t)}{\partial(\varepsilon t)} .
\]

Разлагая $\bar{H}, H$ и $S$, используя (2.3.9) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, находим в нулевом порядке
\[
\bar{H}_{0}(\bar{J}, \varepsilon \bar{y}, \varepsilon t)=H_{0}(\bar{J}, \varepsilon y, \varepsilon t)
\]

и в первом порядке
\[
\bar{H}_{1}(\bar{J}, \bar{\theta}, \varepsilon \overline{\boldsymbol{y}}, \varepsilon t)=\omega \frac{\partial S_{1}}{\partial \bar{\theta}}+H_{1}(\bar{J}, \bar{\theta}, \overline{\varepsilon \boldsymbol{y}}, \varepsilon t),
\]

где $S_{1}=S_{1}(\bar{J}, \bar{\theta}, \varepsilon \bar{y}, \varepsilon t)$, а член $\partial S_{1} / \partial t$ в (2.3.12) имеет второй порядок малости и поэтому не вошел в (2.3.14).

Выберем теперь $S_{1}$ таким образом, чтобы исключить переменную по $\bar{\theta}$ часть $H_{1}$. Считая медленные фазы постоянными, введем среднее только по $\bar{\theta}$
\[
\left\langle H_{1}\right\rangle_{\bar{\theta}}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} H_{1} d \bar{\theta}
\]

и переменную часть
\[
\left\{H_{\mathbf{1}}\right\}_{\bar{\theta}}=H_{1}-\left\langle H_{1}\right\rangle_{\bar{\theta}} .
\]

Разделение (2.3.14) на среднюю и переменную части дает для $\bar{H}$ в первом порядке
\[
\bar{H}(\bar{J}, \varepsilon \bar{y}, \varepsilon t)=H_{0}+\varepsilon\left\langle H_{1}\right\rangle \bar{\theta},
\]

причем $S_{1}$ легко находится из уравнения
\[
\omega \frac{\partial S_{1}}{\partial \bar{\theta}}=-\left\{H_{1}\right\}_{\bar{\theta}} .
\]

Адиабатическим инвариантом нулевого порядка является невозмущенное действие $J$. В первом порядке новым инвариантом будет $\bar{J}$, для которого в старых переменных из (2.3.9a) имеем ${ }^{1}$ )
\[
\bar{J}(J, \theta, \varepsilon y, \varepsilon t)=J-\varepsilon \frac{\partial S_{1}}{\partial \theta},
\]

или с учетом (2.3.18)
\[
\bar{J}=J+\frac{\varepsilon}{\circ}\left\{H_{1}\right\}_{\bar{\theta}} .
\]

Фактически любую функцию от $\bar{J}$ можно взять в качестве адиабатического инварианта.
Малые знаменатели. Где же сингулярности, с которыми мы столкнулись в п. 2.26 и которые препятствовали сходимости рядов? Их проще всего обнаружить, если принять, что в первом порядке по $\varepsilon$ величины $\boldsymbol{y}$ являются переменными действие — угол: $\boldsymbol{y}=$ $=\left(\boldsymbol{J}_{y}, \boldsymbol{\theta}_{y}\right)$. В этом случае, не опуская членов (2.3.11) и $\partial S_{\mathbf{1}} / \partial t$, вместо выражения (2.3.18) получаем
\[
\omega \frac{\partial S_{1}}{\partial \bar{\theta}}+\varepsilon \omega_{y} \cdot \frac{\partial S_{1}}{\partial\left(\varepsilon \bar{\theta}_{y}\right)}+\varepsilon \frac{\partial S_{1}}{\partial(\varepsilon t)}=-\left\{H_{1}\right\}_{\bar{\theta}} .
\]

Так как функции $S_{1}$ и $\left\{H_{1}\right\}_{\vec{\theta}}$ периодичны по всем угловым переменным и по $\Omega t$, их можно разложить в ряд Фурье
\[
S_{\mathbf{1}}=i \sum_{\substack{n=(k, l, m) \\ k
eq 0}} \frac{H_{1 n}\left(\bar{J}, \bar{J}_{y}\right)}{k \omega+\varepsilon m \cdot \omega_{y}+\varepsilon l \Omega} e^{i\left(k \bar{\theta}+m \cdot \varepsilon \bar{\theta}_{y}+l \Omega \varepsilon t\right)} .
\]

Отсюда видно, что малые знаменатели возникают вследствие резонансов высокого порядка ( $m, l$ — большие числа) между медленными и быстрыми колебаниями. Вблизи этих резонансов нельзя пренебрегать членами порядка $\varepsilon$ в (2.3.21). Поэтому нет ничего
1) Нижеследующие соотношения справедливы, вообе говоря, только в том (редком) случае, когда невозмущенная система $H_{0}(\varepsilon)$ интегрируема как при $\varepsilon=0$, так и при $\varepsilon
eq 0$, несмотря на явную зависимость от времени и многомерность. Иначе поправки к адиабатическому инварианту будут зависеть и от функции $H_{0}(\varepsilon)$.- Прим. ред.

удивительного в том, что адиабатические ряды, в которых резонансные эффекты не учитываются, оказываются асимптотическими, т. е. формально расходящимися и справедливыми лишь для интервалов времени, меньших или порядка характерного времени медленных изменений ${ }^{1}$ ).

Описанное выше адиабатическое разложение можно выполнить и в более высоких порядках. В каждом порядке необходимо решать уравнение для $S_{n}$, подобное уравнению (2.3.18) для $S_{1}$. При этом резонансные знаменатели никогда не появляются, а их действие все время отодвигается во все более высокие порядки. Выражения для адиабатических инвариантов высших порядков приведены в $\S 2.5$.
Иерархия инвариантов. Построение адиабатического инварианта, если он действительно существует, фактически снижает число степеней свободы с $N$ до $N-1$ (в пределах точности адиабатического приближения). Это происходит потому, что задаваемый асимптотическим рядом по степеням $\varepsilon$ преобразованный гамильтониан
\[
\bar{H}=\bar{H}(\bar{J}, \varepsilon \bar{y}, \varepsilon t, \varepsilon)
\]

не зависит от $\bar{\theta}$, а $\bar{J}$ — константа. Если среди оставшихся степеней свободы найдется еще одна, колебания по которой являются быстрыми по сравнению с другими, то можно ввести второй малый параметр $\varepsilon_{2}$, перейти к переменным действие — угол по этому быстрому движению для невозмущенной ( $\varepsilon_{2} \equiv 0$ ) системы и найти второй адиабатический инвариант. Этот процесс можно продолжить, что приведет к возникновению иерархии инвариантов и эффективному снижению числа степеней свободы вплоть до единицы. Такая ситуация хорошо известна в физике плазмы для движения заряженной частицы в магнитной ловушке. Вначале определяется инвариант, связанный с быстрым ларморовским вращением, — магнитный момент $\mu$, затем — продольный инвариант $J_{\|}$, отвечающий более медленным колебаниям между магнитными пробками, и, наконец, — потоковый инвариант Ф, связанный с дрейфовым движением. Эти три степени свободы показаны на рис. 2.7 (более подробное обсуждение данной задачи можно найти в работе [175]). В рассматриваемом случае тремя малыми параметрами являются: 1) $\varepsilon$ — отношение частоты продольных колебаний к ларморовской частоте; 2) $\varepsilon_{2}$ — отношение частоты дрейфового движения к частоте продольных колебаний и 3) $\varepsilon_{3}$ — отношение частоты изменения во времени магнитного поля к дрейфовой частоте.

Вся иерархия инвариантов ограничена условиями справедливости адиабатической теории, и резонансы могут привести к изме-
1) Поскольку резонансные эффекты, вообще говоря, экспоненциально малы, их влияние, например в виде диффузии Арнольда, проявляется на значительно большем масштабе времени (см. § 6.2).- Прим. ред.

нению или разрушению этих инвариантов. Для частицы, движущейся в статической магнитной ловушке, такие процессы были исследованы Чириковым $[67,70]$. Аналогичные исследования для частицы, находящейся в ловушке и взаимодействующей с переменным электрическим полем, были проведены Егером и др. [212], а также Либерманом и Лихтенбергом [274]. В случае более чем двух степеней свободы частицы подвержены диффузии Арнольда даже при отсутствии перекрытия первичных резонансов. Однако, как показано в гл. 6 , при $\varepsilon \rightarrow 0$ как скорость диффузии Арнольда,

Рис. 2.7. Иерархия адиабатических инвариантов для заряженной частицы в магнитной ловушке: магнитный момент $\mu$, продольный инвариант $J_{\|}$, потоковый инвариант $Ф$.

так и общий фазовый объем стохастических слоев, по которым идет диффузия, стремятся к нулю. Поэтому в практических приложениях иерархия адиабатических инвариантов соответствует истинному движению с очень хорошей точностью. Адиабатическая теория является и останется впредь одним из плодотворных подходов к пониманию движения в динамических системах.