Покажем, как оценить скорость диффузии Арнольда на примере системы, описываемой отображением (6.1.12). Мы рассмотрим три различных режима диффузии с последовательно уменьшающейся скоростью. Первый режим соответствует диффузии по $\alpha$ вдоль толстого стохастического слоя в плоскости ( $\beta, y$ ). Диффузия происходит вследствие связи со случайным движением по $y$. Второй режим
1) См. работу [146].- Прим. ред.
2) Stochastic pump model. Этот механизм, по-видимому, впервые обсуждался кратко в работе [139].- Прим. ред.
3) Обсужденне такого «распределения ролей» между резонансами см. в работе [70, §7.2].- Прим. ред.

аналогичен первому, за исключением того, что диффузия по $\alpha$ идет вдоль тонкого стохастического слоя $y$-резонанса. Наконец, третий режим отвечает диффузии вдоль резонанса связи.

Найдем прежде всего гамильтониан для отображения (6.1.12). Қак и в п. 3.1в, преобразуем разностные уравнения (6.1.12) в дифференциальные с помощью $\delta$-функции. В результате получаем неавтономный гамильтониан с двумя степенями свободы:
\[
H(\alpha, x, \beta, y, n)=-2 h \ln \cos \alpha-2 h \ln \cos \beta-2 \delta_{1}(n) C(x, y),
\]

где
\[
\begin{array}{c}
C(x, y)=a_{x} \cos k_{x} x+a_{y} \cos k_{y} y-(1 / 2) \mu \cos \left(k_{x} x+k_{y} y\right), \\
\delta_{1}(n) \equiv \sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta(n-m)=1+2 \sum_{q=1}^{\infty} \cos (2 \pi n q) .
\end{array}
\]

Диффузия в толстом слое. Выберем начальные значения $\beta$ и $у$ внутри толстого стохастического слоя, а $\alpha$ и $x$ вблизи центра целого резонанса. При отсутствии связи между степенями свободы ( $\mu=0$ ) движение в плоскости ( $\alpha, x$ ) происходит по инвариантной кривой (рис. 6.5). При включении связи происходит медленная диффузия по $\alpha$ и $x$.

Перейдем к новым переменным $\theta=k_{x} x, \varphi=k_{y} y, \bar{\alpha}=\alpha / k_{x}$, $\bar{\beta}=\beta / k_{y}$ и представим гамильтониан $H$ в виде суммы $H=H_{x}+H_{y}$, где
\[
\begin{array}{l}
H_{y}=-2 h \ln \cos \beta-2 \delta_{1}(n) a_{y} \cos \varphi, \\
H_{x} \approx h \alpha^{2}-2 a_{x} \cos \theta+\mu \cos (\theta+\varphi(n)) .
\end{array}
\]

Здесь для удобства мы сохранили старые переменные $\alpha$ и $\beta$ в новом гамильтониане. В (6.2.6б) использовано приближение – In $\cos \alpha \approx \alpha^{2} / 2$ при $\alpha^{2} \ll 1, \delta_{1} \approx 1$ при $\omega_{x}^{2}=4 a h k^{2} \ll 1$, а $\varphi$ считается явной функцией $n$. Последнее допущение наиболее серьезно, поскольку при этом пренебрегается влиянием связи на движение по $y$. В результате мы получили два неавтономных гамильтониана с одной степенью свободз каждый ${ }^{1}$ ). Теперь можно решить уравнение движения независимой подсистемы (6.2.6a) и найти «стохастическую накачку» $\varphi(n)$. Подставив ее в (6.2.6б), найдем движение в плоскости ( $\alpha, \theta$ ), которое и дает диффузию Арнольда.

В толстом слое, где имеется много перекрывающихся резонансов, фаза $\varphi$ хаотизуется за время порядка одной итерации отображения ${ }^{2}$ ). Поэтому с хорошей точностью можно считать, что после-
1) В этом случае говорят иногда о полутора степенях свободы. – Прим. ред.
2) Дело не в перекрытии резонансов, а в масштабе времени релаксации, в качестве которого можно принять грубо обратную величину КС-энтропии. Последнюю легко оценить, поскольку подсистема (6.2.6a) сводится локально к стандартному отображению с параметром $K=-4 k_{y}^{2} a_{y} h / \cos ^{2} \beta$ – Прим. ред.

довательныезначения фазы ч являются случайными и независимыми, причем переход между ними имеет характер «скачка». Изменение $H_{x}$ определяется уравнением Гамильтона
\[
\frac{d H_{x}}{d n}=\frac{\partial H_{X}}{\partial n} .
\]

Используя (6.2.6б), можно записать производную в виде
\[
\frac{\partial H_{x}}{\partial n}=\frac{d}{d n}[\mu \cos (\theta+\varphi)]-\mu \frac{\partial \theta}{\partial n} \sin [\theta+\varphi(n)] .
\]

Первый член в выражении справа описывает малые ограниченные колебания. Считая колебания по $\theta$ малыми
\[
\theta=\theta_{0} \cos \left(\omega_{x} n+\chi_{0}\right),
\]

где $\omega_{x}=2 \pi / T=2 k_{x}\left(a_{x} h\right)^{1 / 2}$, проинтегрируем второй член в уравнении (6.2.7) по периоду отображения:
\[
\Delta H_{x}=\int_{m}^{m+1} d n \mu \theta_{0} \omega_{x} \sin \left[\omega_{x} n+\chi_{0}\right] \sin [\theta+\varphi(n)] .
\]

При $\omega_{x} \ll 1$ подынтегральное выражение постоянно, поэтому
\[
\Delta H_{x}=\mu \theta_{0} \omega_{x} \sin \left[\omega_{x} m+\chi_{0}\right] \sin [\theta+\varphi(m)] .
\]

Возводя это выражение в квадрат и усредняя как по $\chi_{0}$, так и по $\varphi$, получаем ${ }^{\mathbf{1}}$ )
\[
\left\langle\left(\Delta H_{x}\right)^{2}\right\rangle=\frac{1}{4} \mu^{2} \theta_{0}^{2} \omega_{x}^{2} .
\]

В результате находим скорость диффузии в толстом слое
\[
D_{1}=\frac{1}{2}\left\langle\left(\Delta H_{x}\right)^{2}\right\rangle=\frac{1}{8} \mu^{2} \theta_{0}^{2} \omega_{x}^{2} .
\]

С изменением $H_{x}$ в процессе диффузии параметры $\mu$ и $\omega_{x}$ остаются постоянными. Величина же $\theta_{0}$ растет с $H_{x}$, а вместе с ней и скорость диффузии:

На рис. $6.8, a-в$ теоретические значения $D_{1}$ (сплошные линии) сравниваются с результатами численного моделирования. Начальные условия для 100 траекторий были одинаковыми в плоскости $(\alpha, x)$ и случайными в пределах толстого слоя плоскости $(\beta, y)$. Для каждой траектории просчитывалось 500 итераций отображения. Вычислялись среднеквадратичные значения безразмерной энергии $\left\langle\alpha^{2}\right\rangle=\left[h^{-2}\left\langle\left(\Delta H_{x}\right)^{2}\right\rangle n\right]^{-1 / 2}$, которые и сравнивались
1) Усреднение по фазе $\chi_{0}$, которая является постоянной интегрирования в (6.2.8), требует пояснения. На самом деле усреднять нужно по траектории, т. е. по времени $m$. Для иррационального $\omega_{x}$ при $\omega_{x} m$ это формально эквивалентно усредненно по $\chi_{0}$. Разузеется, диффузионный характер движения связан только с присутствием случайной фазы $\varphi(m)$, иначе колебания $H_{x}$ были бы квазипериодическими.- Прим. ред.

с теорией. На рис. 6.8 каждый треугольник представляет результат усреднения четырех независимых (по начальным условиям) вариантов счета. Согласие с теорией достаточно хорошее, хотя она и несколько завышает систематически скорость диффузии. Это разэичие объясняется, возможно, тем, что значения фазы $\varphi(m)$ не полностью независимы.

Рис. 6.8. Диффузия в толстом слое (по данным работы [406]).
Сплошныс линии -.. теория; треугольникн – численные данные (статистический разброс для 100 траекториї лежит п иределах высоты треугольникон); $\mu / h=2 \times 1^{-\mathbf{4}} ; n=500$; $\lambda_{x}: h: a_{x}=100: 10: 1 ; \lambda_{y}: h: a_{y}=100: 10: 1,7$ (кроме переменных величин).

Диффузия в тонком слое. В этом случае начальные условия на плоскости $(\alpha, x)$ мы выбираем, как и в толстом слое, вблизи центра резонанса, а в плоскости $(\beta, y)$ – в тонком стохастическом слое резонанса. Как и в толстом слое, диффузия в плоскости $(\alpha, x)$ обусловлена слабой связью со стохастическим движением в плоскости $(\beta, y)$. Однако скорость диффузии оказывается значительно меньше. Действуя прежним методом, мы оставим теперь, однако, в функции $\delta_{1}(n)$ в (6.2.6a) только члены с $q=0$ и $q=1$ из разложения (6.2.5) [ср. (4.1.26) ]. Используя, кроме того, приближение $-\ln \cos \beta \approx \beta^{2} / 2, \beta^{2} \sim a_{y} / h \ll 1$, запишем гамильтониан (6.2.6а) в виде
\[
H_{y}=h \boldsymbol{\beta}^{2}-2 a_{y} \cos \varphi-4 a_{y} \cos 2 \pi n \cos \varphi .
\]

Здесь первые два члена определяют сепаратрису резонанса в плоскости $(\beta, y)$, а третий приводит к образованию тонкого стохастического слоя в ее окрестности. Чтобы найти функцию $\varphi(n)$ для (6.2.11), будем исходить из уравнения (6.2.7), пренебрегая первым членом в его правой части:
\[
\frac{d H_{x}}{d n}=-\mu \frac{d \theta}{d n} \sin [\theta+\varphi(n)],
\]

где $\theta(n)$ определяется соотношением (6.2.8). Примем, далее, что на одном полупериоде фазовых колебаний $\varphi(n)$ определяется движением по невозмущенной сепаратрисе (см. п. 1.3а) ${ }^{1}$ ):
\[
\varphi_{1}(n)=4 \operatorname{arctg}\left(e^{\omega_{y}}{ }^{n}\right)–\pi .
\]

Обозначив $s=\omega_{y} n, Q_{0}=\omega_{x} / \omega_{y}$ и записав фазу $\chi_{0}$ в (6.2.8) как $\chi_{0}=Q_{0} s_{0}-\pi / 2$, получим из (6.2.12)
\[
\Delta H_{x}=-\mu \theta_{0} Q_{0} \int_{-\infty}^{\infty} P(s) d s,
\]

где
\[
P(s)=\cos \left[Q_{0}\left(s+s_{0}\right)\right] \sin \left\{\theta_{0} \sin \left[Q_{0}\left(s+s_{0}\right)\right]+\varphi\right\} .
\]

При $\theta_{0} \ll 1$
\[
P(s)=\cos \left[Q_{0}\left(s+s_{0}\right)\right] \sin \varphi,
\]

и мы приходим к интегралу Мельникова-Арнольда (п. 3.5а):
\[
\mathscr{A}_{m}^{\prime}=2 \int_{0}^{s_{1}} \cos \left[\frac{m}{2} \varphi(s)-Q_{0} s\right],
\]

который понимается в смысле его среднего значения по $s_{1}$ при
1) Поясним, что получаемое таким образом регулярное асимптотическое решение $\varphi_{1}(n)$, которое только и используется ниже для вычисления скорости диффузии, не совпадает с решением $\varphi(n)$ для подсистемы (6.2.11). Различие между ними сводится к хаотизации $\varphi(n)$, которая учитывается в (6.2.19) неявно, со ссылкой на сепаратрисное отображение.- Прим. ред.

$s_{1} \rightarrow \infty$. В рассматриваемом случае $m=2$, и мы получаем
\[
\Delta H_{x}=\frac{1}{2} \mu_{0} \theta_{0} Q_{0} \sin \left(Q_{0} \hat{3}_{0}\right)\left[\mathscr{A}_{2}\left(Q_{0}\right)-\mathscr{A}_{2}\left(-Q_{0}\right)\right],
\]

где, согласно (3.5.18),
\[
\mathscr{A}_{2}\left( \pm Q_{0}\right)=4 \pi Q_{0} e^{ \pm \pi Q_{0} 2} / \operatorname{sh}\left(\pi Q_{0}\right) .
\]

В результате находим
\[
\Delta H_{x}=4 \pi \mu \theta_{0} Q_{0}^{2} \sin \left(Q_{c} s_{0}\right) \operatorname{sh}\left(\pi Q_{0} / 2\right) / \operatorname{sh}\left(\pi Q_{0}\right) .
\]

Из свойств сепаратрисного отображения (п. 3.5б) мы знаем, что величина $Q_{0} S_{0}$ хаотизуется на полупериоде фазовых колебаний $T_{l j}$. Усредняя по фазе $Q_{0} s_{0}$, получаем
\[
\left\langle\left(\Delta H_{x}\right)^{2}\right\rangle_{s_{u}}=8 \pi^{2} \mu^{2} \theta_{0}^{2} F\left(Q_{0}\right),
\]

где
\[
F\left(Q_{0}\right)=Q_{0}^{4} / 4 \mathrm{ch}^{2}\left(\pi Q_{0} / 2\right) .
\]

На рис. 6.9 приведен график функции $F\left(Q_{0}\right)$ с максимумом при $Q_{0} \approx 1,3$ и довольно резким падением в обе стороны от максимума ${ }^{1}$ ). Так, например, при изменении $Q_{0}$ в 4 раза скорость диффузии уменьшается на два порядка по сравнению с максимальной.

Для вычисления коэффициента диффузии необходимо найти средний полупериод $\left\langle T_{y}\right\rangle$ колебаний в тонком стохастическом слое. Вблизи сепаратрисы
\[
T_{y}=\frac{1}{\omega_{y}} \ln \left|\frac{32}{w}\right|,
\]

где $w=\left(H_{y}-H_{s}\right) / H_{s} \ll 1$, а $H_{s}=2 a_{y}$ – энергия на сепаратрисе. Чириков $[70]$ показал, что $\left\langle T_{y}\right\rangle$ можно найти, усреднив $T_{y}(w)$ по $w$ в пределах стохастического слоя $|w| \leqslant w_{1}$. Это дает
\[
\left\langle T_{!}\right\rangle=\frac{1}{w_{y}}\left[\ln \left(\frac{32}{w_{1}}\right)+1\right] .
\]

При слабой связи $\mu \ll a_{y}$ для полуширины стохастического слоя $w_{1}$ можно использовать соотношение (4.2.23).
Коэффициент диффузии в тонком слое равен
\[
D_{2}=\frac{\left\langle\left(\Delta H_{x}\right)^{2}\right\rangle_{s_{4}}}{2\left\langle T_{y}\right\rangle}
\]

или с учетом (6.2.19) и (6.2.21)
\[
D_{2}=4 \pi^{2} \mu^{2} \theta_{0}^{2} \omega_{1 /} F\left(Q_{0}\right) / \ln \left(32 e / w_{1}\right) .
\]
1) При $Q_{0} \ll 1$ полученные выражения справедливы лишь при дополнительном условии $T_{y} \omega_{x} \gg 2 \pi$, или $s_{y}=\omega_{y} T_{y} \gg 2 \pi / Q_{0}$ (см. рис. $3.20, \varepsilon$ ), т. е. только в очень тонком стохастическом слое $w_{1} \ll 32 \exp \left(-2 \pi / Q_{0}\right)$.- Прим. ред.

На рис. 6.10 эта теоретическая зависимость (сплошные линии) сравнивается с результатами численных экспериментов (треугольники). При счете использовалось 100 траекторий с одинаковыми начальными условиями в плоскости ( $\alpha, x$ ) и слегка различными в плоскости $(\beta, y)$ внутри тонкого стохастического слоя. Теоретические кривые строились по формуле (6.2.23) с эмпирическим зна-

Рис. 6.9. Функция (6.2.20) для диффузии в тонком слое.
чением $w_{1}=0,191$. Как и в случае толстого слоя, теоретические значения лежат несколько выше численных. Возможно, что это различие вызвано неполной хаотизацией $\varphi(n)$ на полупериоде фазовых колебаний в стохастическом слое ${ }^{1}$ ).