Қак уже отмечалось, переход от уравнений Гамильтона к отображению и обратно используется при анализе движения динамических систем. Қак мы увидим в следующем параграфе, типичное поведение гамильтоновых систем описывается обычно в терминах отображений. Используя отображение, легко провести также численное моделирование нелинейных колебаний на времени порядка миллионов периодов. Наконец, эналитический вывод диффузионных уравнений для хаотического движения получается, опять-таки исходя из отображений. Вместе с тем регулярные свойства отображений часто легче получить из уравнений Гамильтона. Қак мы увидим ниже, отображения можно представить в виде некоторых специальных уравнений Гамильтона. Это позволяет связать анализ отображений с общей теорией гамильтоновых систем. Покажем сначала, как перейти от уравнений Гамильтона к отображению, и наоборот.
Переход к отображению. Для двух степеней свободы функции $f$ и $g$ возмущенного отображения поворота (3.1.13) можно найти в первом порядке по $\varepsilon$ следующим образом. Интегрируя уравнение Гамильтона
\[
\frac{d J_{1}}{d t}=-\varepsilon \frac{\partial H_{1}}{\partial \theta_{1}}
\]

на одном периоде движения по $\theta_{2}$, получаем
\[
\Delta J_{1}=-\varepsilon \int_{0}^{T_{2}} d t \frac{\partial H_{1}}{\partial \theta_{1}}\left(J_{n+1}, J_{2}, \theta_{n}+\omega_{1} t, \theta_{20}+\omega_{2} t\right),
\]

где (напомним) $J_{2}$, $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ — функции $J_{n+1}$, и использованы невозмущенные переменные $\boldsymbol{J}, \boldsymbol{\theta}$, т. е. интегрирование производится по невозмущенной траектории. Изменение переменной действия $J$ определяется соотношением
\[
\varepsilon f\left(J_{n+1}, \theta_{n}\right)=\Delta J_{1}\left(J_{n+1}, \theta_{n}\right) .
\]

Соответствующее изменение фазы наиболее удобно определить из условия сохранения площади (3.1.16). Для возмущенного отображения поворота это дает
\[
g(J, \theta)=-\int \frac{\partial f}{\partial J} d \theta .
\]

В случае явного отображения поворота $g \equiv 0$.
При вычислении изменения одной из переменных действия не обязательно выражать невозмущенное движение по остальным степеням свободы в переменных действие—угол. Для гамильтониана
\[
H=H_{0}\left(J_{1}, p_{2}, q_{2}\right)+\varepsilon H_{1}\left(J_{1}, \theta_{1}, p_{2}, q_{2}\right) .
\]

Уравнение (3.1.26) остается прежним, откуда с точностью до $\varepsilon$ имеем
\[
\Delta J_{1}=-\varepsilon \int_{0}^{T_{2}} d t \frac{\partial H_{1}}{\partial \theta_{1}}\left(J_{n+1}, \theta_{n}+\omega_{1} t, p_{2}(t), q_{2}(t)\right) .
\]

Мы вернемся к этому выражению при рассмотрении сепаратрисного отображения в $\S 3.5$.

Описанная процедура обобщается и на случай $N$ степеней свободы, что приводит к изменению $N-1$ переменной действия
\[
\Delta \boldsymbol{J}=-\varepsilon \int_{0}^{T} d t \frac{\partial H_{1}}{\partial \theta}\left(\boldsymbol{J}_{n+1}, J_{N}, \boldsymbol{\theta}_{n}+\omega t, \theta_{N}+\omega_{N} t\right)
\]

и $\boldsymbol{\varepsilon} \boldsymbol{f}=\Delta \boldsymbol{J}$. Как и в (3.1.15), функция $\mathscr{G}$ в (3.1.23) находится путем интегрирования $f$ по $\theta_{n}$, откуда $g=\partial \mathscr{G} / \partial J_{n+1}$, и отображение (3.1.24) полностью определено.

Переход к уравнениям Гамильтона. Рассмотрим явное отображение поворота (3.1.17). Часто бывает желательно представить отображе-
1) В этом соотношении $J_{2}$ выражено с точностью до $\varepsilon$ через $J_{1}$ из гамильтониана $H_{0}\left(J_{1}, J_{2}\right)=$ const. — Прим. ред.

ние в форме уравнений Гамильтона, причем роль «времени» играет номер итерации $n^{\mathbf{1}}$ ). Это можно сделать, вводя в (3.1.17a) периодическую дельта-функцию:
\[
\delta_{1}(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta(n-m)=1+2 \sum_{q=1}^{\infty} \cos 2 \pi q n,
\]

где последнее выражение есть разложение Фурье. Тогда (3.1.17) принимает вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{d J}{d n}=\varepsilon f(\theta) \delta_{1}(n), \\
\frac{d \theta}{d n}=2 \pi \alpha(J),
\end{array}
\]

где $J(n), \theta(n)$ — значения величин $J_{n}, \theta_{n}$ как раз перед моментом «времени» $n$. Уравнения (3.1.34) имеют гамильтонову форму и соответствуют гамильтониану
\[
\widetilde{H}(J, \theta, n)=2 \pi \int \alpha(J) d J-\varepsilon \delta_{1}(n) \int f(\theta) d \theta .
\]

Отметим, что гамильтониан $\tilde{H}$ этой системы с одной степенью свободы явно зависит от времени ${ }^{2}$ ). Описанный метод легко обобщается и на случай явного отображения поворота с $N$ степенями свободы. Мы используем гамильтониан (3.1.35) для отображения Улама в $\S 3.4$.