Главная > РЕГУЛЯРНАЯ И СТОХАСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА (Лихтенберг А., Либерман)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Қак уже отмечалось, переход от уравнений Гамильтона к отображению и обратно используется при анализе движения динамических систем. Қак мы увидим в следующем параграфе, типичное поведение гамильтоновых систем описывается обычно в терминах отображений. Используя отображение, легко провести также численное моделирование нелинейных колебаний на времени порядка миллионов периодов. Наконец, эналитический вывод диффузионных уравнений для хаотического движения получается, опять-таки исходя из отображений. Вместе с тем регулярные свойства отображений часто легче получить из уравнений Гамильтона. Қак мы увидим ниже, отображения можно представить в виде некоторых специальных уравнений Гамильтона. Это позволяет связать анализ отображений с общей теорией гамильтоновых систем. Покажем сначала, как перейти от уравнений Гамильтона к отображению, и наоборот.
Переход к отображению. Для двух степеней свободы функции $f$ и $g$ возмущенного отображения поворота (3.1.13) можно найти в первом порядке по $\varepsilon$ следующим образом. Интегрируя уравнение Гамильтона
\[
\frac{d J_{1}}{d t}=-\varepsilon \frac{\partial H_{1}}{\partial \theta_{1}}
\]

на одном периоде движения по $\theta_{2}$, получаем
\[
\Delta J_{1}=-\varepsilon \int_{0}^{T_{2}} d t \frac{\partial H_{1}}{\partial \theta_{1}}\left(J_{n+1}, J_{2}, \theta_{n}+\omega_{1} t, \theta_{20}+\omega_{2} t\right),
\]

где (напомним) $J_{2}$, $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ – функции $J_{n+1}$, и использованы невозмущенные переменные $\boldsymbol{J}, \boldsymbol{\theta}$, т. е. интегрирование производится по невозмущенной траектории. Изменение переменной действия $J$ определяется соотношением
\[
\varepsilon f\left(J_{n+1}, \theta_{n}\right)=\Delta J_{1}\left(J_{n+1}, \theta_{n}\right) .
\]

Соответствующее изменение фазы наиболее удобно определить из условия сохранения площади (3.1.16). Для возмущенного отображения поворота это дает
\[
g(J, \theta)=-\int \frac{\partial f}{\partial J} d \theta .
\]

В случае явного отображения поворота $g \equiv 0$.
При вычислении изменения одной из переменных действия не обязательно выражать невозмущенное движение по остальным степеням свободы в переменных действие–угол. Для гамильтониана
\[
H=H_{0}\left(J_{1}, p_{2}, q_{2}\right)+\varepsilon H_{1}\left(J_{1}, \theta_{1}, p_{2}, q_{2}\right) .
\]

Уравнение (3.1.26) остается прежним, откуда с точностью до $\varepsilon$ имеем
\[
\Delta J_{1}=-\varepsilon \int_{0}^{T_{2}} d t \frac{\partial H_{1}}{\partial \theta_{1}}\left(J_{n+1}, \theta_{n}+\omega_{1} t, p_{2}(t), q_{2}(t)\right) .
\]

Мы вернемся к этому выражению при рассмотрении сепаратрисного отображения в $\S 3.5$.

Описанная процедура обобщается и на случай $N$ степеней свободы, что приводит к изменению $N-1$ переменной действия
\[
\Delta \boldsymbol{J}=-\varepsilon \int_{0}^{T} d t \frac{\partial H_{1}}{\partial \theta}\left(\boldsymbol{J}_{n+1}, J_{N}, \boldsymbol{\theta}_{n}+\omega t, \theta_{N}+\omega_{N} t\right)
\]

и $\boldsymbol{\varepsilon} \boldsymbol{f}=\Delta \boldsymbol{J}$. Как и в (3.1.15), функция $\mathscr{G}$ в (3.1.23) находится путем интегрирования $f$ по $\theta_{n}$, откуда $g=\partial \mathscr{G} / \partial J_{n+1}$, и отображение (3.1.24) полностью определено.

Переход к уравнениям Гамильтона. Рассмотрим явное отображение поворота (3.1.17). Часто бывает желательно представить отображе-
1) В этом соотношении $J_{2}$ выражено с точностью до $\varepsilon$ через $J_{1}$ из гамильтониана $H_{0}\left(J_{1}, J_{2}\right)=$ const. – Прим. ред.

ние в форме уравнений Гамильтона, причем роль «времени» играет номер итерации $n^{\mathbf{1}}$ ). Это можно сделать, вводя в (3.1.17a) периодическую дельта-функцию:
\[
\delta_{1}(n)=\sum_{m=-\infty}^{\infty} \delta(n-m)=1+2 \sum_{q=1}^{\infty} \cos 2 \pi q n,
\]

где последнее выражение есть разложение Фурье. Тогда (3.1.17) принимает вид
\[
\begin{array}{c}
\frac{d J}{d n}=\varepsilon f(\theta) \delta_{1}(n), \\
\frac{d \theta}{d n}=2 \pi \alpha(J),
\end{array}
\]

где $J(n), \theta(n)$ – значения величин $J_{n}, \theta_{n}$ как раз перед моментом «времени» $n$. Уравнения (3.1.34) имеют гамильтонову форму и соответствуют гамильтониану
\[
\widetilde{H}(J, \theta, n)=2 \pi \int \alpha(J) d J-\varepsilon \delta_{1}(n) \int f(\theta) d \theta .
\]

Отметим, что гамильтониан $\tilde{H}$ этой системы с одной степенью свободы явно зависит от времени ${ }^{2}$ ). Описанный метод легко обобщается и на случай явного отображения поворота с $N$ степенями свободы. Мы используем гамильтониан (3.1.35) для отображения Улама в $\S 3.4$.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru