Для систем с несколькими степенями свободы соотношение (1.3.3) принимает вид
\[
d t=\frac{d q_{1}}{\partial H / \partial p_{1}}=\frac{d q_{2}}{\partial H / \partial \rho_{2}}=\cdots=\frac{d q_{N}}{\partial H / \partial p_{N}} .
\]

Только в том случае, когда производная $\partial H / \partial p_{1}=f\left(q_{1}\right)$ зависит лишь от $q_{1}$, первое уравнение решается в квадратурах. Аналогичное утверждение имеет место и для последующих уравнений. В общем случае необходимо решать всю систему дифференциальных уравнений совместно. Однако, если в дополнение к гамильтониану имеются другие интегралы движения, тогда число совместно решаемых уравнений может быть уиеньшено на единицу для каждого дополнительного изолирующего интеграла движения. Изолирующим является такой интеграл, который в некоторых канонических переменных приводится к уравнению: $\partial H / \partial p_{i}=f\left(q_{i}\right)$. Преобразование к переменным действие – угол удовлетворяет даже более жесткому условию $\partial H / \partial p_{i}=$ const. Однако само преобразование зависит от существования изолирующего интеграла. Последний же может быть достаточно глубоко скрыт в динамике системы, так что обнаружить его не так-то легко. Изолирующие интегралы связаны с симметриями динамической системы. Эти симметрии могут оказаться очевидными, и тогда необходимое преобразование переменных, обеспечивающее решение в квадратурах, определяется непосредственно. Это справедливо, например, для частицы в поле центральных сил (см. ниже). Когда присутствие симметрии в системе не очевидно, как, например, в случае рассматриваемой ниже цепочки Тоды, найти изолирующий интеграл не просто. В настоящее время не существует какого-либо метода, позволяющего определить все изолирующие интегралы произвольной гамильтоновой системы или хотя бы установить их полное число. Поэтому не существует и никакого общего способа проверки на интегрируемость ( $N$ изолирующих интегралов) для системы с $N$ степенями свободы. Если в системе нет очевидной симметрии, то догадаться о существовании скрытого изолирующего интеграла и обнаружить его часто удается лишь при помощи численных экспериментов.

Центральные силы. Проиллюстрируем нахождение изолирующего интеграла (помимо полной энергии) и сведение решения к квадратурам на простом примере движения частицы в поле центральных сил. Хорошо известно, что эта задача интегрируема. Без потери общности задача сводится к двумерному движению в плоскости, определяемой начальной скоростью частицы и положением силового центра. Третья степень свободы тривиально отделяется при помощи изолирующего интеграла $p_{z}=0$. В полярных координатах

$(r, \theta)$ гамильтониан имеет вид
\[
H=\frac{1}{2 m}\left(p_{r}^{2}+\frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}}\right)+U(r),
\]

где $p_{r}=m \dot{r}, p_{\theta}=m r^{2} \dot{\theta}, m-$ масса частицы, $U$ – потенциал цен тральной силы ( $F=-\partial U / \partial r$ ). Поскольку система консервативна, то ее гамильтониан $H=E$ сохраняется. Уравнения движения в форме (1.3.38) имеют вид
\[
d t=\frac{d \theta}{\partial H / \partial n_{0}}=\frac{d r}{\partial H / \partial n} .
\]

Рис. 1.5. Движение в центральном поле.
$a$ – эффективный одномерный потенциал; 6 – фазовые траекторин.

Вычисляя частные производные и исключая $p_{r}$ при помощи гамильтониана, получаем
\[
d t=\frac{d \theta}{p_{\theta} / m r^{2}}=\frac{d r}{\left[2 m(E-U(r))-p_{\theta}^{2} / r^{2}\right] / m} .
\]

Эти уравнения нельзя решить, пока неизвестна зависимость $p_{\theta}$ от $\theta$ и $r$. Именно отсюда видно существенное значение второго интеграла движения. В данном случае таким интегралом движения является $p_{\theta}$. Это следует из того, что сила $d p_{\theta} / d t$ отсутствует и гамильтониан не зависит от $\theta$. Отсюда
\[
p_{\theta}=l=\text { const. }
\]

Подставляя это выражение во второе уравнение (1.3.40), сводим к квадратурам сначала решение для $r(t)$, а затем и для $\theta(t)$. Это можно увидеть и прямо из (1.3.39), вводя эффективный потенциал $\bar{U}(r)=l^{2} / 2 m r^{2}-U(r)$. Оба слагаемых потенциала и их сумма, или эффективный потенциал, показаны на рис. $1.5, a U(r)=$ $=-k / r^{\beta}$ при $2<\beta<0$; задача Кеплера соответствует $\beta=1$. Указаны также три значения полной энергии системы $E_{b}, E_{s}$ и $E_{u}$, соответствующие финитному, сепаратрисному и инфинитному движениям. Фазовые кривые представлены на рис. 1.5, б. Движение здесь аналогично случаю одной степени свободы (рис. 1.4), за исключением того, что сепаратриса теперь замыкается на бесконечности.
Рис. 1.6. Пример ограниченной траектории для $\beta
eq 1$ (некулоновское взаимодействие).

Финитное движение на плоскости ( $r, \theta$ ), ограниченное окружностями радиуса $r_{1}$ и $r_{2}$, показано на рис. 1.6 для $\beta
eq 1$. Пространственная траектория не замкнута, так как отношение периодов по $r$ и $\theta$ не равно целому числу ${ }^{1}$ ). Это — пример квазипериодического движения. Тем не менее пересечения траекторий с плоскостью $\theta=$ const образуют в этом случае замкнутую кривую в координатах $r, p_{r}$ вследствие существования двух изолирующих интегралов $p_{\theta}=$ $=l$ и $H=E$. Для $\beta=1$ (задача Кеплера) частоты движения по $r$ и $\theta$ одинаковы и траектория образует замкнутую кривую (эллипс) в плоскости $(r, \theta)$.
1) Точнее, рациональному числу.- Прим. ред.

Рассмотрим теперь преобразование к переменным действие угол. Подставляя производящую функцию в (1.3.39), получаем уравнение Гамильтона-Якоби (1.2.15) в виде
\[
\frac{1}{2 m}\left[\left(\frac{\partial S_{r}}{\partial r}\right)^{2}+\frac{1}{r^{2}}\left(\frac{\partial S_{\theta}}{\partial \theta}\right)^{2}\right]+U(r)=E,
\]

где мы использовали преобразование $p_{i}=\partial S / \partial q_{i}$ и учли, что переменные разделяются. После умножения на $2 m r^{2}$ гамильтониан принимает вид (1.2.50):
\[
\left(\frac{\partial S_{\theta}}{\partial \theta}\right)^{2}=2 m r^{2}\left[E-\frac{1}{2 m}\left(\frac{\partial S_{r}}{\partial r}\right)^{2}-U(r)\right]=l^{2},
\]

и мы снова приходим к сохранению момента импульса. Это, конечно, прямо следует из того, что $\theta$ является циклической переменной, т. е. гамильтониан от нее не зависит. Второе уравнение в (1.3.43) дает
\[
\left(\frac{\partial S_{r}}{\partial r}\right)^{2}=2 m(E-U(r))-\frac{l^{2}}{r^{2}} .
\]

Запишем переменные действия в виде
\[
\begin{array}{l}
2 \pi J_{\theta}=\oint p_{\theta} d \theta=\oint \frac{\partial S_{\theta}}{\partial \theta} d \theta, \\
2 \pi J_{r}=\oint p_{r} d r=\oint \frac{\partial S_{r}}{\partial r} d r .
\end{array}
\]

Подставляя (1.3.43) и (1.3.44) в (1.3.45) и (1.3.46), соответственно получаем
\[
\begin{array}{c}
J_{\theta}=\frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} l d \theta=l, \\
J_{r}=\frac{1}{2 \pi} \int\left[2 m(E-U(r))-\frac{l^{2}}{r^{2}}\right]^{12} d r .
\end{array}
\]

Пусть, например, $U(r)=-k / r$. Простое интегрирование ([156], § 9.7) дает
\[
J_{r}=-l+\frac{k}{2}\left(\frac{2 m}{-E}\right)^{1 / 2}=\text { const. }
\]

Отсюда новый гамильтониан
\[
\bar{H}=E=-\frac{m k^{2}}{2\left(J_{r}+J_{\theta}\right)^{2}},
\]

где мы заменили $l$ на $J_{\theta}$. Заметим, что переменные действия входят только в виде суммы. Следовательно, в системе имеется вырождение ${ }^{1}$ ). Это значит, что движения как по $r$, так и по $\theta$ имеют одну и ту же частоту ${ }^{2}$ )
\[
\omega=\frac{\partial \bar{H}}{\partial J_{r}}=\frac{\partial \bar{H}}{\partial J_{\theta}}=\frac{m k^{2}}{\left(J_{r}+J_{\theta}\right)^{3}},
\]

что приводит к замкнутой траектории. Если центральная сила зависит от $r$ по-другому, то траектория уже не будет замкнутой, как показано на рис. 1.6.

Цепочка Tоды. В качестве второго примера интегрируемого гамильгониана рассмотрим трехчастичную цепочку Тоды [408] 3), гамиль-
Рис. 1.7. Трехчастичная цепочка Тоды.

тониан которой имеет вид
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}\right)+\exp \left[-\left(\varphi_{1}-\varphi_{3}\right)\right]+\exp \left[-\left(\varphi_{2}-\varphi_{1}\right)\right] \div \\
+\exp \left[-\left(\varphi_{3}-\varphi_{2}\right)\right]-3 .
\end{array}
\]

Система состоит из трех частиц, движущихся по кольцу (рис. 1.7); между ними действуют отталкивающие силы, уменьшающиеся по
1) В оригинале – intrinsic degeneracy (внутреннее вырождение).Прим. перев.
2) В других канонических переменных (например, $p_{1}=J_{r}+J_{\theta}, p_{2}$ ) вырождение означает, что одна из основных частот системы ( $\omega_{2}=\partial H / \partial p_{2}$ ) равна нулю.- Прим. ред.
3) См. также [454].- Прим. ред.

экспоненциальному закону. Помимо энергии, имеется, очевидно, другой изолирующий интеграл – полный момент
\[
P_{3}=p_{1}+p_{2}+p_{3}=\text { const. }
\]

Это следует из инвариантности гамильтониана при вращении системы как целого ( $\varphi_{i} \rightarrow \varphi_{i}+\varphi_{0}$ ), а также непосредственно из уравнений Гамильтона. Чтобы учесть это явно, перейдем к новым мо-
Рис. 1.8. Эквипотенциальные кривые для гамильтониана Тоды.
Стрелка показывает направление роста потенциала.

ментам $P_{1}=p_{1}, P_{2}=p_{2}$ и $P_{3}$, определяемому формулой (1.3.53). Используя производящую функцию
\[
F_{2}=P_{1} \varphi_{1}+P_{2} \varphi_{2}+\left(P_{3}-P_{1}-P_{2}\right) \varphi_{3},
\]

получим
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{H}=\frac{1}{2}\left[P_{1}^{2}+P_{2}^{2}+\left(P_{3}-P_{1^{–}} P_{2}\right)^{2}\right]+\exp \left(-\Phi_{1}\right)+ \\
+\exp \left[-\left(\Phi_{2}-\Phi_{1}\right)\right]+\exp \left(\Phi_{2}\right)-3,
\end{array}
\]

где координаты $\Phi_{i}$ канонически сопряжены с $P_{i}$. Так как гамильтониан не зависит от $\Phi_{3}$, то, как непосредственно видно, $P_{3}=$ $=$ const. Без потери общности иожно положить $P_{3}=0$, что соответствует выбору такой вращающейся системы отсчета, в которой полный момент равен нулю. Других изолирующих интегралов как будто не видно.

Рассматриваемую систему можно представить как частицу в двумерной потенциальной яме. Для этого воспользуемся производящей функцией
\[
F_{2}^{\prime}=(4 \sqrt{3})^{-1}\left[\left(p_{x}^{\prime}-\sqrt{3} p_{y}^{\prime}\right) \Phi_{1}+\left(p_{x}^{\prime}+\sqrt{3} p_{y}^{\prime}\right) \Phi_{2}\right]
\]

Рис. 1.9. Поверхность сечения Пуанкаре для гамильтониана Тоды при разных энергиях $E$ (по данным работы [136]).
a) $E=1$; 6) $E=256$.

и после неканонического, но тривиального преобразования
\[
p_{x}^{\prime}=8 \sqrt{3} p_{x}, \quad x^{\prime}=x, \quad p_{y}^{\prime}=8 \sqrt{3} p_{y}, \quad y^{\prime}=y, \quad \bar{H}=H^{\prime} / \sqrt{3}
\]

будем иметь гамильтониан Тоды
\[
\begin{aligned}
\bar{H} & =\frac{1}{2}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right)+\frac{1}{24}[\exp (2 y+2 \sqrt{3} x)+ \\
& +\exp (2 y-2 \sqrt{3} x)+\exp (-4 y)]-\frac{1}{8} .
\end{aligned}
\]

Эквипотенциальные кривые этой системы, схематически изображенные на рис. 1.8, плавно изменяются при удалении от центра и обладают симметрией по отношению к повороту на угол $2 \pi / 3$.

Если разложить гамильтониан $\bar{H}$ по $x$ и $y$ до кубических членов, получим гамильтониан Хенона-Хейлеса
\[
\bar{H}^{\prime}=\frac{1}{2}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+x^{2}+y^{2}\right)+x^{2} y-\frac{1}{3} y^{3} .
\]

Движение, описываемое этим гамильтонианом, рассматривается в следующем параграфе. Известно, что эта система неинтегрируема: Хенон и Хейлес [188] обнаружили в численных экспериментах, что при увеличении энергии $\bar{H}^{\prime}=E$ происходит переход от регулярного движения к стохастическому. При этом оказалось, что стохастичность присутствует в какой-то мере при любой энергии. Все это указывает на отсутствие в системе изолирующего интеграла. Форд и др. [136] исследовали численно гамильтониан Тоды $\bar{H}$, ожидая получить такой же результат. Қаково же было их удивление, когда они обнаружили, что траектории остаются регулярными для произвольной энергии $\bar{H}=E$, т. е. все пересечения траектории с поверхностью $x=0$ ложатся на гладкие инвариантные кривые. На рис. 1.9 кривые показаны для значений $E=1$ и $E=$ $=256$. Эти результаты резко расходятся с данными следующего параграфа, согласно которым в модели Хенона-Хейлеса траектории, заполняющие значительную часть площади, явно видны вплоть до такой низкой энергии, как $E=1 / 8$. Это различие связано, конечно, с тем, что у цепочки Тоды есть скрытая симметрия и соответствующий ей изолирующий интеграл. Воодушевленный численными результатами Форда, Хенон [186] нашел явное аналитическое выражение для этого интеграла
\[
\begin{array}{c}
I=8 p_{x}\left(p_{x}^{2}-3 p_{y}^{2}\right)+\left(p_{x}+\sqrt{3} p_{y}\right) \exp [(2 y-2 \sqrt{3} x)]- \\
-2 p_{x} \exp (-4 y)+\left(p_{x}-\sqrt{3} p_{y}\right) \exp [(2 y+2 \sqrt{3} x)]=\text { const. }
\end{array}
\]

Инвариантные кривые на рис. 1.9 можно непосредственно вычислить, если положить $x=0$ и исключить $p_{x}$ из (1.3.57) с помощью (1.3.59). Существование трех изолирующих интегралов $H, P_{3}$ и $I$ обеспечивает интегрируемость гамильтониана Тоды ${ }^{1}$ ) (1.3.52). Однако даже в исходных переменных интеграл $I$ не соответствует какому-либо очевидному закону сохранения или симметрии.
Нахождение интегрируемых гамильтонианов. Существуют ли какие-либо общие методы проверки на интегрируемость конкретного гамильтониана? На сегодняшний день ответ на этот вопрос отрицательный. Можно, однако, поставить вопрос по-другому: существуют
1) Вообще говоря, необходимо еще проверить коммутируемость интегралов, что было сделано для произвольного числа степеней свободы в работе [455].- Прим. ред.

ли методы конструирования потенциалов, приводящих к интегрируемым гамильтонианам? Такой метод действительно существует по крайней мере для ограниченного круга задач. Впервые этот метод был применен Уиттекером ([430], § 152) к исследованию движения частицы, которое описывается гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2} p_{1}^{2}+\frac{1}{2} p_{2}^{2}+V\left(q_{1}, q_{2}\right) .
\]

Уиттекер поставил вопрос: существуют ли такие функции $V$, для которых система имеет интеграл не выше второй степени по $p$ :
\[
I(p, q)=a p_{1}^{2}+b p_{2}^{2}+c p_{1} p_{2}+e p_{1}+f p_{2}+g,
\]

где коэффициенты зависят от $q$ ? Чтобы такая функция была интегралом движения, необходимо выполнение условия
\[
[I, H]=0 .
\]

Подставляя (1.3.60) и (1.3.61) в (1.3.62) и приравнивая коэффициенты при $p_{1}^{m} p_{2}^{n}$, получаем систему уравнений в частных производных для этих коэффициентов, выраженных через потенциал $V$ и его первые производные. Линейные по $p$ члены приводят к независимым уравнениям
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial e}{\partial q_{1}}=0, \quad \frac{\partial f}{\partial q_{2}}=0, \quad \frac{\partial f}{\partial q_{1}}+\frac{\partial e}{\partial q_{2}}=0, \\
e \frac{\partial V}{\partial q_{1}}+f \frac{\partial V}{\partial q_{2}}=0 .
\end{array}
\]

Для остальных членов:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial a}{\partial q_{1}}=0, \quad \frac{\partial b}{\partial q_{2}}=0, \quad \frac{\partial b}{\partial q_{1}}+\frac{\partial c}{\partial q_{2}}=0, \\
\frac{\partial c}{\partial q_{1}}+\frac{\partial a}{\partial q_{2}}=0, \\
\frac{\partial g}{\partial q_{1}}-2 a \frac{\partial V}{\partial q_{1}}-c \frac{\partial V}{\partial q_{2}}=0, \\
\frac{\partial g}{\partial q_{2}}-2 b \frac{\partial V}{\partial q_{2}}-c \frac{\partial V}{\partial q_{1}}=0 .
\end{array}
\]

Так как уравнения (1.3.63) и (1.3.64) независимы от (1.3.65) и (1.3.66), то первые можно решить отдельно, что приводит к линейному по $p$ инварианту:
\[
I=q_{1} p_{2}-q_{2} p_{1},
\]

который существует для аксиально симметричного потенциала
\[
V=V\left(q_{i}^{2}+q_{2}^{2}\right) .
\]

Это не что иное, как сохраняющийся момент импульса, с которым мы познакомились в задаче о центральных силах. Поищем решения, не связанные с этой симметрией. Положив $e=f=0$, получим из (1.3.65) и (1.3.66):
\[
\begin{array}{c}
c\left(\frac{\partial^{2} V}{\partial q_{1}^{2}}-\frac{\partial^{2} V}{\partial q_{2}^{2}}\right)+2(b-a) \frac{\partial^{2} V}{\partial q_{1} \partial q_{2}}+ \\
+\left(\frac{\partial c}{\partial q_{1}}-2 \frac{\partial a}{\partial q_{2}}\right) \frac{\partial V}{\partial q_{1}}+\left(2 \frac{\partial b}{\partial q_{1}}-\frac{\partial c}{\partial q_{2}}\right) \frac{\partial V}{\partial q_{2}}=0
\end{array}
\]

где $a, b$ и $c$ определяются из дифференциальных уравнений (1.3.65). Уиттекер показал, что уравнение (1.3.68) имеет характеристики вида
\[
\frac{x^{2}}{\alpha^{2}}+\frac{y^{2}}{\alpha^{2}-\gamma^{2}}=1,
\]

где $x$ и $y$ связаны с $q_{1}$ и $q_{2}$ простым преобразованием координат, а $\alpha$ и $\gamma$ – постоянные интегрирования. Если выбрать за новые переменные параметры этих конфокальных эллипсов и гипербол
\[
x=\frac{\alpha \beta}{\gamma}, \quad y=\frac{1}{\gamma}\left[\left(\alpha^{2}-\gamma^{2}\right)\left(\gamma^{2}-\beta^{2}\right)\right]^{1 / 2},
\]

то дифференциальное уравнение для $V$, (1.3.68), будет иметь решение
\[
V=\frac{\psi(\alpha)-\varphi(\beta)}{\alpha^{2}-\beta^{2}},
\]

где $\psi$ и $\varphi$ – произвольные функции.
Этот интересный результат, однако, не привел пока к новым решениям физических задач. Тем не менее в последнее время происходит возрождение интереса к конструированию интегрируемых гамильтонианов ${ }^{1}$ ). Холл [174] применил такой метод к движению частицы в статических электрическом и магнитном полях, явно введя в задачу векторный потенциал. При этом он обнаружил, что решение Уиттекера не является полным, так как в нем не учитываются ограничения, связанные с сохранением энергии ${ }^{2}$ ). Им были рассмотрены также и другие классы инвариантов, не квадратичных
1) Наибольшее влияние на это оказала работа [456] (стимулированная в свою очередь знаменитой проблемой Ферми-Паста-Улама [127]), в которой был предложен мощный метод обратной задачи рассеяния, позволяющий конструировать целые семейства интегрируемых гамильтонианов. Современное состояние вопроса см., например, в книге [457].- Прим. ред.
2) Речь идет о том, что из-за сохранения энергии изменения $p_{1}$ и $p_{2}$ в (1.3.61) не являются независимыми. Поэтому условия интегрируемости Уиттекера (1.3.63) – (1.3.66) достаточны, но не необходимы (см: также [458]).- Прим. ред.

по импульсам. Целью этих исследований было найти самосогласованное решение для токов в плазме, обеспечивающих ее удержание. Однако вследствие чувствительности интегрируемости к небольшим изменениям потенциала, о чем свидетельствует сравнение потенциала Тоды с его приближением в форме потенциала Хенона и Хейлеса, кажется маловероятным, что для реальных потенциалов таким путем удастся достичь полной интегрируемости движения. В связи с этим представляет интерес вопрос: насколько сильным может быть возмущение интегрируемой системы, чтобы бо́льшая часть траекторий осталась регулярной? Этот вопрос подробно рассмотрен в гл. 2 и 4.

Другой подход развивается Хольтом [198]. Он рассмотрел гамильтониан
\[
H=H_{0}+\varepsilon V
\]

и потребовал, чтобы потенциал $V$ был выбран так, чтобы все члены ряда теории возмущений со степенью $\varepsilon$, выше заданной, были бы тождественно равны нулю. При гомощи такой процедуры ему удалось построить инвариант (1.3.59) для гамильтониана Тоды. Он показал также, что этот инвариант можно получить и методом Уиттекера, если включить кубюческие по $p$ члены. Процедура остается при этом прежней, как описывалось для квадратичных по $p$ инвариантов, но становится гораздо более сложной. В общем случае такой метод не способен определить, существует ли инвариант для гамильтониана вида (1.3.70), поскольку невозможно рассмотреть все типы инвариантов. С другой стороны, если существует инвариант невысокой степени по $p$ (как, например, $p^{3}$ для цепочки Тоды), то его можно найти и, таким образом, доказать интегрируемость исходного гамильтониана. Однако для систем с более чем двумя степенями свободы подобная техника не проходит даже для ограниченного класса инвариантов.

Недавно был предложен еще один метод проверки динамической системы на интегрируемость, использующий так называемое свойство Пенлеве. Последнее означает, что все подвижные особенности решения в плоскости комплексного времени являются төлько простыми полюсами. Подвижными называются особенности, зависящие от начальных условий. Абловиц и др. [4] показали, что существует тесная связь между уравнениями в частных производных, имеющими солитонные (интегрируемые ${ }^{1}$ ) решения, и соответствующими им обыкновенными дифференциальными уравнениями, обладающими свойством Пенлеве. Сегур [366] продолжил эти исследования и показал, что модель Лоренца для диссипативной системы (см. §1.5), обладающая в общем случае хаотическим по-
1) Существования солитонов, вообе говоря; недостаточно для интегрируемости (см., например, [459]).- Прим. ред.

ведением, оказывается интегрируемой ${ }^{1}$ ) как раз для тех значений параметров, при которых уравнения обладают свойством Пенлеве. Ряд хорошо известных примеров гамильтоновых систем был рассмотрен Баунтисом и др. [37]. Полученные результаты опять-таки подтверждают точное соответствие между интегрируемостью и свойством Пенлеве. Хотя это и не доказано строго, однако, по крайней мере для систем рассмотренного класса (две степени свободы и квадратичный по импульсам гамильтониан), накопилось уже достаточно много данных в пользу такого соответствия ${ }^{2}$ ). В принципе этот метод применим и к системам более высокой размерности, хотя для них это соответствие еще не проверено.

Один из методов нахождения специальных интегрируемых гамильтонианов состоит в выборе гамильтониана определенного вида, зависящего от некоторых произвольных параметров, и подборе таких значений этих параметров, при которых имеет место свойство Пенлеве. Например, для обобщенного гамильтониана Хенона-Хейлеса (1.3.58)
\[
H=\frac{1}{2}\left(\dot{x^{2}}+\dot{y}^{2}+A x^{2}+B y^{2}\right)+x^{2} y+\frac{\mu}{3} y^{3} ;
\]

из этого условия удается определить параметры $\mu, A$ и $B$ [37]. Такая же задача была решена Холлом [174] с помощью метода Уиттекера (с инвариантами до 4 -го порядка) в применении к обобщенному гамильтониану Хенона-Хейлеса. Оба подхода дают следующие условия интегрируемости:
а) $\mu=1, \quad A=B$,
б) $\mu=6, A$ и $B$ любые,
в) $\mu=16, B=16 A$,

которые были проверены прямым вычислением. Неизвестно, однако, существует ли какая-либо фундаментальная связь между методами Пенлеве и Уиттекера.

Қак известно, системы с одной степенью свободы всегда интегрируемы, а системы с двумя степенями свободы – как исключение. Что же произойдет при дальнейшем увеличении числа степеней свободы? Как уже отмечалось выше, даже нахождение отдельных интегрируемых потенциалов становится в этом случае очень трудным, чтобы не сказать невозможным. Однако, как показано в $\$ 6.5$, область фазового пространства, занятого регулярными тра-
1) Под интегрируемостью диссипагивной системы здесь понимается, повидимому, существование простого аттрактора – устойчивого фокуса или предельного цикла.- Прим. ред.
2) См., однако, работу [460], где показано, что для сохранения соответствия с интегрируемостью свойство Пенлеве необходимо модифнцировать. Дальнейшие исследования этого вопроса см. также в работе [461].-Прим. ред.

екториями, может как возрастать’), так и уменьшаться при увеличении числа степеней свободы. Примечательно, что при переходе к системам, описываемым дифференциальными уравнениями в частных производных, которые имеют в некотором смысле бесконечное число степеней свободы, снова обнаруживаются большие классы интегрируемых систем. При этом, как обсуждалось выше, уравнения в частных производных, имеющие солитонные (интегрируемые) решения, можно свести к обыкновенным дифференциальным уравнениям, обладающим свойством Пенлеве. Для дальнейшего обсуждения методов решения и соотношения между дифференциальными уравнениями в частных и обыкновенных производных мы отсылаем читателя к специальной литературе [249, 366 ].