Подобно тому как непрерывное движение динамической системы можно описать разностными уравнениями на поверхности сечения Пуанкаре, физическую задачу, сформулированную в виде отображения, можно представить в форме уравнений Гамильтона. Это позволяет использовать методы усреднения и резонансной теории возмущений, рассмотренные в гл. 2. Қак показано в п. 3.1в, разностные уравнения можно преобразовать в дифференциальные с помощью периодической $\delta$-функции (3.1.33). В случае отображения (3.4.6) получаем
\[
\begin{array}{c}
\frac{d u}{d n}=\sum_{l=-\infty}^{\infty} \exp (i 2 \pi n l) \sin \psi, \\
\frac{d \psi}{d n}=\frac{2 \pi M}{u},
\end{array}
\]

где $n$ играет роль непрерывной переменной времени. Уравнения (3.4.24) имеют гамильтониан
\[
H=2 \pi M \ln u+\Sigma \exp (i 2 \pi n l) \cos \psi,
\]

где $u$ и $\psi$ — канонические переменные.
Усредненные уравнения. В области больших $u(u \gg M)$ частота колебаний частицы $2 \pi$ велика по сравнению с $\dot{\psi}$, т. е.
\[
\left(\psi_{n+1}-\psi_{n}\right) / 2 \pi \ll 1 .
\]

В этом случае, как описано в п. 2.4а, гамильтониан (3.4.25) можно усреднить по $n$ и получить интеграл движения $2 \pi M \ln u+$ $+\cos \psi=C$. Однако область столь больших скоростей не представляет особого интереса. Вместо этого введем новые переменные, как в резонансной теории возмуцений (§ 2.4):
\[
\Delta \tilde{u}=u-M / m, \tilde{\varphi}=\psi-2 \pi m n,
\]

где $m$ — целое число. При условии $\Delta \tilde{u} \ll u_{1}$, система уравнений (3.4.24) принимает вид
\[
\begin{aligned}
\frac{d(\Delta \tilde{u})}{d n} & =\sum_{l} \exp (i 2 \pi n l) \sin \tilde{\varphi}, \\
\frac{d \tilde{\varphi}}{d n} & =-\frac{2 \pi M}{u_{1}^{2}} \Delta \tilde{u}
\end{aligned}
\]

с гамильтонианом
\[
\Delta \tilde{H}=-\frac{2 \pi M}{u_{1}^{2}} \frac{(\Delta \tilde{u})^{2}}{2}+\sum_{l} \exp (i 2 \pi n l) \cos \tilde{\varphi} .
\]

Но это как раз и есть гамильтониан фазовых колебаний (п. 2.4а) с учетом высокочастотных членов. Если движение в плоскости $(\Delta \tilde{u}, \tilde{\varphi})$ считать медленным, т. е. если
\[
\left(\tilde{\varphi}_{n+1}-\tilde{\varphi}_{n}\right) \ll 2 \pi,
\]

то (3.4.29) можно усреднить по $n$. В результате получаем усредненный гамильтониан
\[
\Delta \bar{H}=-\frac{2 \pi M}{u_{1}^{2}} \frac{(\Delta \tilde{u})^{2}}{2}+\cos \tilde{\varphi}=C,
\]

описывающий движение в окрестности неподвижных точек $\tilde{\varphi}=0$; $\pi$ и $\Delta \tilde{u}=0$. Максимум $\Delta \tilde{u}$ соответствует сепаратрисе $(C=+1$ ) и равен [ср. (2.4.31)]:
\[
(\Delta \tilde{u})_{\text {макс }}=2 u_{1}(2 \pi M)^{-1 / 2} .
\]

На рис. 3.12 и 1.14 инвариантные кривые системы (3.4.31), показанные пунктиром, сравниваются с результатами численного моделирования. Отношение частоты малых фазовых колебаний [ср. (2.4.30)]
\[
\tilde{\omega}_{1}=\frac{(2 \pi M)^{1 / 2}}{u_{1}}
\]

к частоте колебаний частицы $2 \pi M / u_{1}$ определяет гармонику вторичных резонансов. Мы отложим эти вычисления, связанные с переходом к стохастическому движению, до гл. 4.