Наименьшая размерность фазового пространства, в котором возможен странный аттрактор, равға трем, как в модели Лоренца, описанной в § 1.5. Еще более простая система была рассмотрена Рёслером [350], и мы опишем ее ниже. Интересные свойства двумерного отображения со странным аттрактором будут рассмотрены на примере отображения Хенона [187].
Аттрактор Рёслера. Рассмотрим следующую систему нелинейных дифференциальных уравнений [350]:
\[
\begin{array}{l}
\dot{X}=-(Y-Z), \\
\dot{Y}=X+\frac{1}{5} Y, \\
\dot{Z}=\frac{1}{5}+Z(X-\mu) .
\end{array}
\]
1) В трехмерных потоках имеется аналог бифуркации Хопфа, когда предельный цикл становится неустойчивым и переходит в «педельный тор». Однако в общем случае притягивающие торы являются структурно неустойчивыми относительно изменения параметра $\mu$ (см. работу [254]).

Результат моделирования этой системы на аналоговой вычислительной машине для $\mu=5,7$ представлен на рис. 7.3, $a$ [368], где показана проекция странного аттрактора на плоскость $X, Y$ (ср. рис. 1.18, б). Рассмотрим сечение аттрактора по линии $(0,1)$, как показано на рис. 7.3 , a. Тогда последовательные значения $X_{n}$ в этом сечении определяются приближенно одномерным необратимым ${ }^{1}$ ) отображением, представленным на рис. 7.3, б. Таким образом, хаотическое движение на аттракторе Рёслера приближенно описывается отображением для $X$.

Рис. 7.3. Аттрактор Рёслера (по данным работы [368]).
a — проекция движения на плоскость ( $X, Y$ ); б — одномерное отображение в плоскости $Y=0$.

Переход от трехмерного потока к одномерному отображению является приближенным. Поэтому кривая на рис. $7.3,6$ должна иметь конечную толщину, связанную с тонкой структурой слоя в сечении $Y=0$, который фактически содержит бесконечно много отдельных листов. Однако для этого и многих других странных аттракторов скорость сжатия фазового объема (7.1.8) столь велика, что при любом моделировании все листы кажутся слившимися в один. Поэтому, вообще говоря, одномерное отображение представляет основные особенности поведения исходного потока ${ }^{2}$ ).

Переход от простого к странному аттрактору иногда совершается путем последовательных бифуркаций с удвоением периода, которые сходятся по некоторому параметру к предельному значению. За этим значением движение становится суперпозицией хаотического
1) В том смысле, что обратное отображение неоднозначно (двузначно).Прим. ред.
2) Вопрос о возможности описания трехмерного потока или двумерного отображения с помощью одномерного этображения обсуждается в п. 7.3в.Прим. перев.

и периодического с обратными бифуркациями удвоения частоты. На рис. 7.4, полученном Кратчфилдом и др. [97] с помощью аналогового моделирования системы (7.1.13), эти бифуркации показаны, начиная с $\mu=2,6$ (a), когда аттрактором является простой

Рис. 7.4. Бифуркации удвоения периода для аттрактора Рёслера в проекции на плоскость $(X, Y)$ (по данным работы [97]).
Ниже показана спектральная плотность мощности для $Z(t) ; a) \mu=2,6 ; \sigma) \mu=3,5$; в) $\mu=4,1 ;$; $\mu=4,23$; $\partial$ ) $\mu=4,30 ; e) \mu=4,60$.

предельный цикл. При увеличении $\mu$ видны две первые бифуркации удвоения периода (б и в). Показанный на рисунке спектр мощности имеет в этих случаях вид острых пиков, характерных для регулярного движения. Ясно видны последовательные удвоения периода. Переход к хаотическому движению происходит при $\mu_{\infty}=4,20$. Возникающий для $\mu>\mu_{\infty}$ странный аттрактор (рис. $7.4,2-e$ ) имеет вид полосы хаотического движения, которая приближенно соответствует предельным циклам на рис. $7.4, a-$. Соответственно спектр мощности представляет суперпозицию широкополосного шума хаотического движения и острых пиков периодической компоненты. Ясно видны обратные бифуркации удвоения частоты.

Переход к хаотическому движению через бифуркации удвоения периода является, как мы увидим, характерным для широкого класса диссипативных систем как отображений, так и потоков. При этом зависимость бифуркаций от параметра и форма спектра оказываются универсальными вблизи перехода. Эти вопросы будут рассмотрены в $\$ 7.2$ и 7.3 .

Топология аттрактора Рёслера показана на рис. $7.5, a$. Аттрактор представляет собой лист, который растягивается по вертикали, поперек траекторий (стрелки), перегибается вдоль траекторий, складывается, и, наконец, его правый и левый края соединяются друг с другом. Аттрактор Лоренца устроен более сложно (рис. $7.5, б$ ). Он состоит из двух листов, которые растягиваются и делятся на две части, причем правый край каждого листа соединяется с левыми краями обоих листов. Можно представить се-
Рис. 7.5. Топология аттракторов Рёс.тера (а) и Лоренца (б).
Bсе отрезки, обозначенныс одинаковыми буктами, соединяются друг с другом.

бе и другие топологические структуры странных аттракторов.
Хотя аттрактор Рёслера топологически проще аттрактора Јоренца, однако соответствующее ему одномерное отображение (рис. 7.3, б) имеет области, где производная $\left|d X_{n+1} / d X_{n}\right|<1$. Как показывается в $\$ 7.2$, в этом случае доказать хаотичность движения нелегко. Для аттрактора же Лоренца аналогичная производная всюду больше единицы. Доказано, что такие отображения являются хаотическими.

Aттрактор Хенона. Слоистая структура аттрактора хорошо видна на модели Хенона [187], которая описывается простым двумерным
квадратичным отображением:
\[
\begin{array}{l}
x_{n+1}=y_{n}+1-a x_{n}^{2}, \\
y_{n+1}=b x_{n} .
\end{array}
\]

Это отображение является обратимым, и его можно рассматривать как отображение Пуанкаре для некоторого трехмерного потока. Сокращение фазовой площади на одну итерацию определяется множителем
\[
|\operatorname{det} \mathbf{M}|=\left|\frac{\partial\left(x_{n+1}, y_{n+1}\right)}{\partial\left(x_{n}, y_{n}\right)}\right|=b .
\]

Можно показать [187], что отобғажение (7.1.14) является наиболее общим квадратичным отображением с постоянным якобианом. При достаточно большом $x_{0}$ величина $\left|x_{n}\right| \rightarrow \infty$ из-за квадратичного члена. Однако некоторая конечная область вблизи начала координат стягивается к аттрактору. Отображение имеет две неподвижные точки
\[
\begin{array}{l}
x_{ \pm}=(2 a)^{-1}\left\{-(1-b) \pm\left[(1-b)^{2}+4 a\right]^{1 / 2},\right. \\
y_{ \pm}=b x_{ \pm}
\end{array}
\]

при условии, что
\[
a>a_{0}=\frac{-(1-b)^{2}}{4} .
\]

Легко проверить, что точка $x_{\text {_ }}$ всегда неустойчива, а точка $x_{+}$ неустойчива при
\[
a>a_{1}=\frac{3(1-b)^{2}}{4} .
\]

При дальнейшем увеличении $a>a_{1}$ численное моделирование показывает последовательность бифуркаций удвоения периода. Аттрактор остается простым и представляет собой $p=2^{n}$ точек; $p \rightarrow \infty$ при $a \rightarrow a_{2}$. Далее для большинства значений $a$ в интервале $a_{2}<a<a_{3}$ численные эксперименты определенно указывают на существование странного аттрактора. И наконец, для $a>a_{3}$ большинство траекторий уходит на бесконечность.

Чтобы увидеть структуру аттрактора, Хенон выбрал относительно небольшое значение $b=0,3$. В этом случае $a_{0} \approx-0,1225$; $a_{1} \approx 0,3675 ; a_{2} \approx 1,06 ; a_{3} \approx 1,55$. На рис. 7.6, $a$ показан странный аттрактор для $a=1,4$, полученный за $10^{4}$ итераций отображения с начальными условиями вблизи неустойчивой неподвижной точки. Более детальная структура аттрактора видна на рис. $7.4,6-2$, представляющих собой последовательно увеличенные участки фазовой плоскости. Видно, что структура аттрактора при изменении масштаба повторяется, т. е. имеет место масштабная инвариантность $^{\mathbf{1}}$ ). Это подобие соответствует структуре канторова множества, которое будет описано в п. 7.1в. Экспоненциальная расходимость близких траекторий, подтверждающая стохастичность движения на аттракторе, численно получена в работах $[99,124$, 375 ].

Рис. 7.6. Слоистая структура аттрактора Хенона (по данным работы [187]). $a$ — траектория с начальными условиями в неустойчивой неподвижной точке; $6-2$ последовательные увеличения малого участка фазовой плоскости (квадрат). Вндиа масштабная инварнантность структуры аттрактора.

Странный аттрактор существует не для всех значений $a$ в интервале $a_{2}<a<a_{3}$. Имеется много узких участков, в которых движение является периодическим с периодами $3,4,5 \ldots$ и испытывает бифуркации удвоения периода [375]. Эти особенности движения рассматриваются в $\S 7.2$.
1) Аналогичная структура аттрактора наблюдалась в работе [73] для другого отображения (см. также $[74,530]$ ).-. Прим. ред.

Математически доказать стохастичность аттрактора Хенона пока не представляется возможным. Ситуация значительно упрощается для разрывного отображения. Такой аттрактор с заменой $x_{t}^{2}$ на $\left|x_{n}\right|$ в (7.1.14) был рассмотрен Лози [285], а доказательство его хаотичности дано Мисюревичем [301].