Мы уже видели, что хаотическое движение может возникать в диссипативных потоках с размерностью фазового пространства не меньше трех, или в соответствующих этим потокам обратимых отображениях Пуанкаре, размерность которых не менее двух. В общем случае хаотическое движение имеет место лиць для узких интервалов параметров. В этом существенное отличие от гамильтоновых систем, где хаотическое движение сохраняется, как правило, в широком диапазоне параметров. Ниже описаны два критерия локальной стохастичности для диссипативных систем. В п. 7.3а метод квадратичной ренормализации применяется к двумерным обратимым отображениям и показывается сходимость последовательности бифуркаций удвоения периода и возникновение локального хаотического движения. В п. 7.3 получен критерий перехода к хаотическому движению вблизн сепаратрисы на примере вынужденных колебаний осциллятора с затуханием. Наконец, в п. 7.3в рассмотрена модель ускорения Ферми с диссипацией и используется описание хаотического движения с помощью уравнения ФПК. Это уравнение позволяет получить первое приближение для инвариантного распределения на странном аттракторе.
7.3a. Бифуркации удвоения периода

Покажем, что последовательность бифуркаций удвоения является тем механизмом, с помощью которого происходит переход от регулярного движения к хаотическому в широком классе двумерных обратимых отображений. Более того, оказывается, что вблизи перехода движение системы можно локально описать одномерным необратимым отображением. Эти результаты были получены на основе точной теории ренормализации [83]. Однако мы будем попрежнему использовать приближенную теорию Хеллемана [180$182]$.

житель $\gamma$ в (7.2.44) является на самом деле сложной (фрактальной) функцией частоты $\omega$, а его среднее значение (с учетом множителя $1 / \sqrt{2}$ ) равно $\left\langle\gamma^{-2}\right\rangle^{-1 / 2}=2 \alpha^{2}\left(1+\alpha^{2}\right)^{-1 / 2}$ и в точности совпадает с результатом для случайных фаз (см. примечание редактора на с. 440).- Прим. ред.

Рассмотрим последовательные бифуркации неподвижной точки ${ }^{1}$ ) периода 1 некоторого двумерного отображения $T$. После первой бифуркации эта неподвижная точка становится неустойчивой. Разложим отображение до квадратичных членов:
\[
\left(\begin{array}{l}
u_{n+1} \\
v_{n+1}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
\Lambda_{11} & \Lambda_{12} \\
\Lambda_{21} & \Lambda_{22}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
u_{n} \\
v_{n}
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{lll}
\Gamma_{11} & \Gamma_{12} & \Gamma_{13} \\
\Gamma_{21} & \Gamma_{22} & \Gamma_{23}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
u_{n}^{2} \\
u_{n} v_{n} \\
v_{n}^{2}
\end{array}\right),
\]

где $u, v$ – отклонение от неустойчивой неподвижной точки. Примем, что якобиан этого отображения $B=$ const $<1$, что, во всяком случае, справедливо вблизи перехода.
Отображение (7.3.1) можно привести к стандартному виду
\[
x_{n+1}+B x_{n-1}=2 C x_{n}+2 x_{n}^{2}
\]

следующим способом (см. [182 ], приложение A):
1. Переходим к переменным $u^{\prime}, v^{\prime}$, в которых матрица $\Lambda^{\prime}$ диагональна, а оба ее собственные значения $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ действительны, поскольку неподвижная точка неустойчива; тогда $\Gamma$ переходит в $\Gamma^{\prime}$.
2. Условие $B=$ const дает возможность выразить все элементы матрицы $\Gamma^{\prime}$ через $\Gamma_{11}^{\prime}, \Gamma_{13}^{\prime}$ и собственные значения.
3. Переходим к новым переменным:
\[
\begin{array}{l}
s=u^{\prime} \sqrt{\Gamma_{11}^{\prime}}+v^{\prime} \sqrt{\Gamma_{13}^{\prime}}, \\
d=u^{\prime} \sqrt{\Gamma_{11}^{\prime}}-v^{\prime} \sqrt{\Gamma_{13}^{\prime}} .
\end{array}
\]
4. Изменяем масштаб по $s$, вводя
\[
x=\frac{\sqrt{\Gamma_{11}^{\prime}}\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right)}{2 \lambda_{1}} s .
\]

В результате получаем (7.3.2) с параметром
\[
C=\frac{\lambda_{1}+\lambda_{2}}{2} .
\]

В некоторых случаях стандартная форма (7.3.2) находится непосредственно. Например, отображение
\[
\begin{array}{l}
u_{n+1}=(1-\delta) u_{n}+A v_{n}+D v_{n}^{2}, \\
v_{n+1}=v_{n}+u_{n+1}
\end{array}
\]

сводится к (7.3.2) с помощью замены $x=D v / 2, C=(2-\delta+\mathrm{A}) / 2$
1) В случае периода $k$ берем отображение $T^{k}$.

и $B=1-\delta$. Отображение Хенона (7.1.14) может быть сразу записано в стандартной форме.
Квадратичная ренормализация. Исследуем, как и в п. 7.2б, поведение вблизи неподвижной точки $x_{10}=0$ при уменьшении $C$. Неподвижная точка устойчива, если
\[
|C|<\frac{1+B}{2},
\]

и неустойчива при
\[
C<-\frac{1+B}{2} .
\]

В результате бифуркации рождаюгся две устойчивые неподвижные точки $x_{2+}$ (см. рис. 7.12). Оба корня можно найти, записывая
\[
x_{2 \pm}=a \pm b
\]

и итерируя (7.3.2) дважды [ср. (7.2.21)]:
\[
\begin{array}{l}
2 a=-\frac{1+B}{2}-C, \\
4 b^{2}=\left[C+\frac{1+B}{2}\right]\left[C-\frac{3(1+B)}{2}\right] .
\end{array}
\]

Подставляя $x=x_{2-}+\Delta x$ в (7.3.2), получаем
\[
\begin{aligned}
\Delta x_{n}+B \Delta x_{n-2} & =e \Delta x_{n-1}+2\left(\Delta x_{n-1}\right)^{2}, \\
\Delta x_{n+1}+B \Delta x_{n-1} & =d \Delta x_{n}+2\left(\Delta x_{n}\right)^{2}, \\
\Delta x_{n+2}+B \Delta x_{n} & =e \Delta x_{n+1}+2\left(\Delta x_{n+1}\right)^{2},
\end{aligned}
\]

где $d$ и $e$ имеют вид [см. (7.2.22) и (7.2.23) ]:
\[
\begin{array}{l}
d=2 C+4 x_{2+}, \\
e=2 C+4 x_{2-} .
\end{array}
\]

При четных $n$ траектория находится вблизи $x_{2+}$, а при нечетных вблизи $x_{2-}$. Умножая (7.3.7a) на $B$, (7.3.7б) на $e$ и складывая затем с (7.3.7в), получаем
\[
\begin{aligned}
\Delta x_{n+2}+B^{\prime} \Delta x_{n-2}= & 2 C^{\prime} \Delta x_{n}+2 e\left(\Delta x_{n}\right)^{2}+2\left[\left(\Delta x_{n+1}\right)^{2}+\right. \\
& \left.+B\left(\Delta x_{n-1}\right)^{2}\right],
\end{aligned}
\]

где
\[
\begin{array}{c}
B^{\prime}=B^{2}, \\
C^{\prime}=\frac{1}{2} d e-B=-2 C^{2}+2(1+B) C+2 B^{2}+3 B+2 .
\end{array}
\]

Член в квадратных скобках в (7.3.9) пропорционален $\left(\Delta x_{n}\right)^{2}$. Действительно, вводя $r=\Delta x_{n+1} / \Delta x_{n-1}$, находим
\[
\left(\Delta x_{n+1}\right)^{2}+B\left(\Delta x_{n-1}\right)^{2}=\left(r^{2}+B\right)\left(\Delta x_{n-1}\right)^{2} .
\]

Пренебрегая квадратичным членом в (7.3.7б), имеем
\[
(r+B) \Delta x_{n-1} \approx d \Delta x_{n}
\]

Подстановка (7.3.12) в правую часть (7.3.11) дает
\[
\left(\Delta x_{n+1}\right)^{2}+B\left(\Delta x_{n-1}\right)^{2} \approx \frac{d^{2}\left(r^{2}+B\right)}{(r+B)^{2}}\left(\Delta x_{n}\right)^{2}
\]

Вследствие квадратичной зависимости при бифуркации удвоения $r \approx 1$, т. е. $\left|\Delta x_{n+1}\right|$ близко к $\left|\Delta x_{n-1}\right|$. Правая часть (7.3.13) имеет экстремум при $r=1$ и поэтому слабо зависит от $r$ при $r \approx 1$. Отсюда
\[
\left(\Delta x_{n+1}\right)^{2}+B\left(\Delta x_{n-1}\right)^{2} \approx \frac{d^{2}}{1+B}\left(\Delta x_{n}\right)^{2} .
\]

Подставляя (7.3.14) в (7.3.9) и переходя к переменной
\[
x^{\prime}=\alpha \Delta x \text {, }
\]

находим
\[
x_{n+2}^{\prime}+B^{\prime} x_{n-2}^{\prime}=2 C^{\prime} x_{n}^{\prime}+2\left(x_{n}^{\prime}\right)^{2},
\]

где
\[
\alpha=e+\frac{d^{2}}{1+B} .
\]

Отображение (7.3.16) имеет тот же вид, что и исходное (7.3.2). Позтому неподвижные точки нового отображения испытывают бифуркацию при тех же значениях новых параметров $B^{\prime}$ и $C^{\prime}$ [см. (7.3.5) ]. Последовательность бифуркаций, которые описываются соотношениями (7.3.10), сходится при значениях $B^{\prime}=B=B_{\infty}$ и $C^{\prime}=C=C_{\infty}$. Для диссипативного отображения $|B|<1$ и из (7.3.10a) следует, что $B_{\infty}=0$. Поэтому все диссипативные отображения вблизи перехода ведут себя локально как одномерные [ср. (7.3.16) с $(7.2 .26)$ при $B^{\prime}=0$ ]. Неудивительно, что при подстановке $B=B_{\infty}=0$ в (7.3.10б) условие $C^{\prime}=C=C_{\infty}$ дает то же самое значение
\[
C_{\infty}=\frac{1-\sqrt{17}}{4} \approx-0,781,
\]

что и для одномерного случая. Бифуркационные значения $C_{k}$ сходятся к $C_{\infty}$ по тому же закону
\[
C_{k}-C_{\infty} \approx A \delta^{-k}
\]

и с тем же множителем $\delta=1+\sqrt{17} \approx 5,12$, что и в одномерном случае. Параметр подобия $\alpha \approx-2,24$, определяемый формулой (7.3.17), также совпадает с (7.2.35). Эти результаты указывают на универсальный характер поведения всех диссипативных систем вблизи перехода к хаотическому движению; они были проверены численно для многих одномерных, двумерных и многомерных отображений. Однако следует подчеркнуть, что переход к стохастичности явітяется локальным, т. е. относится только к данной неподвижной точке с ее последовательностью бифуркаций. В общем случае в диссипативной системе имеется много неподвижных точек, каждая из которых должна претерпевать свою последовательность бифуркаций, прежде чем возникает глобальный переход к хаотическому движению и странный аттрактор ${ }^{\mathbf{1}}$ ).

В противоположность этому бифуркации двумерных гамильтоновых отображений устроены более сложно. Из-за сохранения фазовой площади $B^{\prime}=B=B_{\infty}=1$ (если $B=-1$, то можно взять квадрат отображения; более подробно см. работу [182]). Поэтому бифуркации удвоения гамильтонова отображения сохраняют двумерный характер даже вблизи точки сгущения (численные данные см. в работе [36]). В результате, хотя масштабные факторы $\delta$ и $\alpha$, а также параметр $C_{\infty}$ и являются универсальными для всех двумерных гамильтоновых отображений, они имеют другие значения, чем для диссипативных отображений. Более того, для гамильтоновых отображений имеется еще один универсальный масштабный фактор $\beta$, который вместе с $\alpha$ определяет преобразование фазовой плоскости при бифуркациях. Определение $\beta$ с помощью обобщения описанного выше метода приводится в дополнении Б.
7.3б. Движение вблизи сепаратрисы

В этом разделе мы рассмотрим метод Мельникова [299], позволяющий исследовать движение вблизи сепаратрисы системы, близкой к интегрируемой. Этот метод позволяет получить критерий возникновения стохастичности в окрестности сепаратрисы при наличии диссипации. Мы уже видели (см. п. 3.2 и рис. 3.4), что в типичной гамильтоновой системе движение около сепаратрисы всегда хаотическое. Однако в присутствии диссипации это уже не так. Поэтому важно найти условия, при которых возникает хаос.

Метод Мельникова использовался в теории динамических систем Морозовым [305, 306 ], Мак-Лафлином [288, 289] и Холмсом [195, 196]. В частности, Морозов и Холмс исследовали этим методом уравнение Дюффинга. Ниже мы следуем подходу Холмса (см. [168]). В качестве примера рассмотрим простую двумерную авто-
$\left.{ }^{1}\right)$ Речь здесь идет о возможном слиянии хаотических аттракторов, возникающих из разных неподвижных гочек.- Прим. ред.

номную систему с единственной гиперболической точкой под действием периодического возмущения:
\[
\boldsymbol{x}=f_{0}(\boldsymbol{x})+\varepsilon f_{1}(\boldsymbol{x}, t),
\]

где $\boldsymbol{x}=\left(x_{1}, x_{2}\right)$, а функция $\boldsymbol{f}_{1}$ периодична по $t$ с периодом $T$. Невозмущенная система является интегрируемой и имеет гиперболическую точку $\boldsymbol{X}_{0}$ с единой сепаратрисой $\boldsymbol{x}_{0}(t)$, так что
\[
\lim _{t \rightarrow \pm \infty} x_{0}(t)=\boldsymbol{X}_{0}
\]

Рис. 7.24. Входящая и выходящая сепаратрисы гиперболической точки $X_{0}$. $a$ – интегрируемая система, обе сепаратрисн плавно переходят друг в друга; 6 – возмущенная система, выходящая сепаратрнса окружает входящую; в – входящая сепаратриса окружает выходящую; $а$ – сепаратрисы пересекаются.

Схематически это показано на рис. $7.24, a$, где в фазовом пространстве $\left(x_{1}, x_{2}\right.$ ) системы изображены совпадающие в данном случае входящая $\boldsymbol{x}^{s}(t)$ и выходящая $\boldsymbol{x}^{u}(t)$ сепаратрисы. Внутри области, охватываемой сепаратрисой, имеєтся, вообце говоря, эллиптическая неподвижная точка.

При включении возмущения фазовое пространство системы становится трехмерным ( $x_{1}, x_{2}, t$ ), поэтому наиболее удобно рассматривать движение на поверхности сечения $t=$ const $(\bmod T)$. Қак показано в п. 3.26, в возмущенной гамильтоновой системе сепаратриса «расщепляется», т. е. входящая и выходящая сепаратрисы уже не совпадают, а, вообще говоря, пересекаются между собой, приводя к бескокечному числу гоиоклинных точек и хаотическому движению. В более общем диссипативном случае имеются три воз-

нигде не пересекаются, причем любая из них может полностью охватывать другую (рис. 7.24, б и 8 ), либо пересекаются в бесконечном числе точек. Хаотическое движение возникает только в последнем случае.

Метод Мельникова. Чтобы найтү условие пересечения, вычислим по теории возмущений расстояние $D$ между сепаратрисами в некоторый момент времени $t_{0}$. Для случая на рис. 7.24 , б $D<0$, а на рис. 7.24, в $D>0$ при любом $t_{0}$. И, только если для какого-либо $t_{0}$ величина $D$ меняет знак, возникает хаотическое движение ${ }^{2}$ ), показанное на рис. 7.24 , 2 .

Для вычисления $D$ достаточно знать обе сепаратрисы $x^{s}$ и $x^{u}$ в первом порядке по $\varepsilon$. Записывая
\[
\boldsymbol{x}^{s, u}\left(t, t_{0}\right)=\boldsymbol{x}_{0}\left(t-t_{0}\right)-\varepsilon \boldsymbol{x}_{1}^{s, u}\left(t, t_{0}\right),
\]

где $t_{0}$ – произвольный начальный момент времени, а $\boldsymbol{x}_{0}$ – единая невозмущенная сепаратриса, и подставляя (7.3.19) в (7.3.18), получаем в первом порядке
\[
\frac{d x_{1}^{s,}{ }^{u}}{d t}=: \mathrm{M}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right) \cdot \boldsymbol{x}_{1}^{s, u}+\varepsilon f_{1}\left(x_{0}\left(t-t_{0}\right), t\right),
\]

где
\[
\mathbf{M}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)=\left(\begin{array}{ll}
\frac{\partial f_{01}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{01}}{\partial x_{2}} \\
\frac{\partial f_{02}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{02}}{\partial x_{2}}
\end{array}\right)
\]
– матрица Якоби для вектора $f_{0}$, взятая на невозмущенной траектории $\boldsymbol{x}_{\mathbf{0}}\left(t-t_{0}\right)$. Нам нужно решение (7.3.20) для $\boldsymbol{x}^{\mathrm{s}}$ при $t>t_{0}$ и для $\boldsymbol{x}^{u}$ при $t<t_{0}$, такое, чтобы
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} x^{s}=\lim _{t \rightarrow-\infty} x^{u}=X_{p},
\]

где $\boldsymbol{X}_{p}$ – возмущенное положение гиперболической точки. Эти решения отличаются на вектор $(\varepsilon=1)$
\[
\boldsymbol{d}\left(t, t_{0}\right)=\boldsymbol{x}^{\varsigma}\left(t, t_{0}\right)-\boldsymbol{x}^{u}\left(t, t_{0}\right)=\boldsymbol{x}_{1}^{s}\left(t, t_{0}\right)-\boldsymbol{x}_{1}^{n}\left(t, t_{0}\right) . \quad(7.3 .21)
\]

Расщепление сепаратрисы по Мельникову $\left.{ }^{3}\right) \quad D\left(t, t_{0}\right)$ определяется как проекция $\boldsymbol{d}$ на нормаль $\boldsymbol{N}$ к невозмущенной сепаратрисе $\boldsymbol{x}_{0}$ в момент времени $t$ (рис. 7.25 ):
\[
D\left(t, t_{0}\right)=N \cdot \boldsymbol{d} .
\]
1) Все эти случаи рассмотрены Мәльниковым [298].- Прим. ред.
2) Вообще говоря, это будет лишь так называемый переходной или вре́менный хаос (см. ниже). 一 Прим. ред.
3) В оригинале – the Melnikov distance (расстояние Мельникова).Прим. перев.

Используя (7.3.18) (при $\varepsilon=0$ ), определим вектор нормали как ${ }^{1}$ )
\[
N\left(t, t_{0}\right)=\left(\begin{array}{r}
-f_{02}\left(x_{0}\right) \\
f_{01}\left(x_{0}\right)
\end{array}\right) .
\]

Вводя оператор ${ }^{2}$ )
\[
\boldsymbol{x} \wedge \boldsymbol{y}=x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1},
\]

можно записать (7.3.22) в виде
\[
D\left(t, t_{0}\right)=f_{0} \wedge \boldsymbol{d} .
\]

Рис. 7.25. Расщепление сепаратрисы $D=\boldsymbol{N} \cdot \boldsymbol{d}$ по Мельникову.
Пунктирной кривой показана невозмущенная сепаратриса гиперболической точки $X_{0}$, которая под действием возмущения смещается в точку $\boldsymbol{X}_{\boldsymbol{p}}$.

Чтобы найти явное выражение для $D$, представим его как
\[
D=D^{3}-D^{u},
\]

где
\[
D^{s, u}\left(t, t_{0}\right)=f_{0} \wedge \boldsymbol{x}_{1}^{s, u} .
\]

Дифференцируя по времени, имеем, например, для $D^{s}$ :
\[
\dot{D}^{s}=\dot{f}_{0} \wedge x_{1}^{s}+f_{0} \wedge \dot{x}_{1}^{s}=\left(\mathrm{M}\left(x_{0}\right) \cdot \dot{x}_{0}\right) \wedge x_{1}^{s}+f_{0} \wedge \dot{x}_{1}^{s} .
\]
1) Поскольку вводимый таким образом вектор $N$ не является единичным, величина $D$ в (7.3.22) не равна расстоянию между сепаратрисами и даже имеет другую размерность. Для рассиатриваемой здесь задачи об условии пересечения сепаратрис это несущественно. С другой стороны, нормировка $N$ неоправданно усложнила бы нижеследующие уравнения для $D$, проще сделать это в конце вычислений.- Прим. ред.
2) Действие этого оператора удобно представить в виде $\boldsymbol{x} \wedge \boldsymbol{y}=\varepsilon_{i k} x_{i} y_{k}$, где $\varepsilon_{i k}$ – единичная антисимметричная матрица $\left(\varepsilon_{12}=1\right)$ – Прим. ред.

Используя (7.3.20) и $\dot{x}_{0}=f_{0}$, пслучаем
\[
\dot{D}^{s}=\left(\mathrm{M}\left(x_{0}\right) \cdot f_{0}\right) \wedge x_{1}^{s}+f_{0} \wedge\left(\mathrm{M}\left(x_{0}\right) \cdot x_{1}^{s}\right)+f_{0} \wedge f_{1},
\]

или
\[
\dot{D}^{s}=\operatorname{SpM}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right) f_{0} \wedge \boldsymbol{x}_{1}^{s}+f_{0} \wedge f_{1}=\operatorname{SpM}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right) D^{s} \div f_{0} \wedge f_{1},
\]

где $\operatorname{SpM}=\operatorname{div} f_{0}$. При интегрировании этого уравнения ограничимся частным случаем, когда тевозмущенная система является гамильтоновой, т. е. $\mathrm{SpM} \equiv 0$ (см. п. 7.1а). Интегрируя (7.3.28) от $t_{0}$ до $\infty$ и учитывая асимптотическое условие $D^{s}\left(\infty, t_{0}\right)=$ $=f_{0}\left(X_{0}\right) \wedge x_{1}^{5}=0$, находим
\[
D^{s}\left(t_{0}, t_{0}\right)=-\int_{t_{0}}^{\infty} f_{0} \wedge f_{1} d t .
\]

Для $D^{u}$ аналогичным образом получаем
\[
D^{u}\left(t_{0}, t_{0}\right)=\int_{-\infty}^{t_{0}} f_{0} \wedge f_{1} d t .
\]

Подставляя (7.3.29) и (7.3.30) в (7.3.25a), окончательно имеем
\[
D\left(t_{0}, t_{0}\right)=-\int_{-\infty}^{\infty} f_{0} \wedge f_{1} d t .
\]

Полученная зависимость $D$ от $t_{0}$ определяет характер движения. Если $D\left(t_{0}\right)$ меняет знак, то сепаратрисы пересекаются (рис. 7.24, г) и движение в этой области является хаотическим.
Уравнение Дюффинга. Следуя Холмсу [195], найдем условня перехода к хаотическому движению для уравнения Дюффинга
\[
\ddot{x}-x+x^{3}=-\varepsilon \delta \dot{x}+\varepsilon \gamma \cos \omega t,
\]

которое описывает колебания нелинейного осциллятора с малым затуханием $\varepsilon \delta$ под действием периодической силы с амплитудой $\varepsilon \gamma$. Перепишем (7.3.32) в виде (7.3.18):
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=v, \\
\dot{v}=x-x^{3}+\varepsilon[\gamma \cos \omega t-\delta v] .
\end{array}
\]

Линии постоянной энергии невозмущенного гамильтониана
\[
H_{0}=\frac{1}{2} v^{2}-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{4} x^{4}
\]

показаны на рис. 7.26. Имеется единственная гиперболическая точка $x=v=0$ с единой сепаратрисой при $H_{0}=0$. Чтобы найти решение на сепаратрисе, выразим $v(x)$ из (7.3.34) и подставим в $(7.3 .33$ a). Имеем
\[
\frac{d x}{d t}=-x\left(1-\frac{x^{2}}{2}\right)^{12}
\]

откуда
\[
\begin{array}{l}
x_{0}(t)=\sqrt{2} / \mathrm{ch} t, \\
v_{11}(t)=-\sqrt{2} \frac{\operatorname{sh} t}{\operatorname{ch}^{2} t} .
\end{array}
\]
(7.3.35a)
(7.3.35б)

Рис. 7.26. Кривые постоянной энергии невозмущенного гамильтониана (7.3.34).

Сравнивая (7.3.33) и (7.3.18), находим
\[
\begin{array}{l}
f_{01}=v ; \quad f_{11}=0 ; \\
f_{02}=x-x^{3} ; \quad f_{12}=\gamma \cos \omega t-\delta \tau . \\
\end{array}
\]

Отсюда
\[
f_{0} \wedge f_{1}=v_{0}\left[\gamma \cos \omega t-\delta v_{0}\right]
\]

и, согласно (7.3.31),
\[
D=-\int_{-\infty}^{\infty} d t\left[\gamma v_{0}\left(t-t_{0}\right) \cos \omega t-\delta v_{0}^{2}\left(t-t_{0}\right)\right] .
\]

Подставляя (7.3.35б) в (7.3.36) и заменяя переменную интегрирования ( $\tau=t-t_{0}$ ), запишем
\[
D=\sqrt{2} \gamma \sin \omega t_{0} \int_{-\infty}^{\infty} d \tau \frac{\operatorname{sh} \tau}{\mathrm{ch}^{2} \tau} \sin \omega \tau+2 \delta \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\mathrm{th}^{2} \tau d \tau}{\mathrm{ch}^{2} \tau} .
\]

Второй интеграл вычисляется элементарно и равен $2 / 3$, а первый выражается через вычеты в точках $\tau_{n}=\pi i(n-12)$. В результате находим ${ }^{1}$ )
\[
D\left(t_{0}, t_{0}\right)=\sqrt{2} \pi \gamma \omega \frac{\sin \omega t_{0}}{\operatorname{ch}\left(\frac{\pi \omega}{2}\right)}+\frac{4 \delta}{3} .
\]

Хаотическое движение вблизи сепаратрисы возникает при условии пересечения сепаратрис, т. е. когда $D\left(t_{0}\right)$ меняет знак. Из (7.3.37) следует, что это происходит, если
\[
\delta<\delta_{\mathrm{c}}=\frac{3 \sqrt{2} \pi \gamma \omega}{4 \mathrm{ch}\left(\frac{\pi \omega}{2}\right)} .
\]

Стационарное хаотическое движение. Нужно подчеркнуть, что условие пересечения сепаратрис (7.3.38) является локальным критерием стохастичности и применимо только вблизи невозмущенной сепаратрисы. Поэтому такой критерий ничего не говорит о появлении странного аттрактора, который гредставляет стационарное хаотическое движение в большой области фазового пространства. Уравнение Дюффинга без диссипации ( $\delta=0$ ) является гамильтоновым и всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы. Мы знаем, что хаотическое движение в этом случае происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. Однако при $\delta>0$ все инвариантные кривые разрушаются и траектория, хаотическая вблизи сепаратрисы, может уйти далеко эт нее и «захватиться» устойчивым фокусом или предельным циклом. Такое поведение наблюдал Холмс [195] при аналоговом моделировании уравнения Дюффинга ${ }^{2}$ ). Поэтому единственное, что можно ожидать при выполнении условия пересечения сегаратрис (7.3.38), – это нерегулярное «блуждание» траектории в течение некоторого времени, пока она не попадет на какой-либо аттрактор, простой или странный.

Фактически численное моделирование показывает, что появление странного аттрактора для уравнения Дюффинга, по всей видимости, связано с каскадом бифуркаций двух фокусов при $x=$ $= \pm 1 ; v=0$ (см. рис. 7.26). С помощью аналоговой вычислительной машины Холмс исследовал поведение системы при фиксированных $\delta$ и $\omega$ в зависимости от $\gamma$. Его результаты приведены на рис.7.27. При $\gamma<0,76$ наблюдалось только регулярное движение, показан-
1) Напомним, что расстояние между сепаратрисами находится делением $D\left(t_{0}\right)$ на $\left.|N|=\mid f_{0}\right\}=\left[v^{2}+x^{2}\left(1-x^{2}\right)^{2}\right]^{1 / 2}$ [для (7.3.32)]. Вблизи гиперболической точки $v, x \rightarrow 0$, и расщепление сепаратрисы быстро возрастает, а полученные приближенные оценки перестают быть справедливыми. В пределах их применимости, однако, это не влияет на условие пересечения сепаратрис (7.3.38) ниже.-Прим. ред.
2) Это явление «вырождения» хаоса, по-видимому, впервые было обнаружено в работе [274] и исследовалось в работах [73, 74, 530].-Прим. дед.

ное на рис. 7.24 , в. В интервале $0,76<\gamma<0,95$ движение было хаотическим в течение некоторого времени, а затем траектория притягивалась к одному из двух фокусов. Далее, для $0,95<\gamma<1,08$ происходит каскад бифуркаций обоих фокусов. И наконец, для $1,08<\gamma<2,45$ результаты моделирования указывают на присутствие странного аттрактора, за исключением интервала $1,15<\gamma<1,2$, где существует предельный цикл периода 5. Таким образом, хотя как пересечение сепаратрис, так и каскад бифуркаций обоих фокусов являются необходимыми условиями появления странного аттрактора ${ }^{1}$ ), они не являются достаточными.

Рис. 7.27. Поведение решения уравнения Дюффинга (7.3.32) в зависимости от амплитуды $\gamma$ внешней периодической силы заданной частоты $\omega$ при постоянном затухании $\delta$.
1 – граница пересечения сепаратрис (чнсленный результат); 2 – то же. теория (7.3.38);
3 – интервал существования предельного цикла периода $\stackrel{\rightharpoonup}{5}$.

Диссипативные отображения. Метод Мельникова можно использовать и для изучения двумерных диссипативных отображений. Рассмотрим, например, обобщенное стандартное отображение (7.3.4) (с заменой $и$ и $v$ на $I$ и $\theta$ ):
\[
\begin{array}{l}
\frac{d I}{d n}=[-\delta I+f(\theta)] \delta_{1}(n), \\
\frac{d \theta}{d n}=I,
\end{array}
\]

где $\delta_{1}(n)$– периодическая $\delta$-фуғкция (3.1.33). Если принять $f=$ $=K \sin \theta$, оставить только два члена в $\delta_{1}(n) \approx 1+2 \cos 2 \pi n$ и ввести дополнительный малый параметр возмущения $\varepsilon$, то полу-
1) Ни бифуркации удвоения, ни пересечения сепаратрис не являются необходимыми для хаотического аттрактора, как показывает классический пример Лоренца (см. также конец п. 7.4б). Тем более не требуется совпадения этих условий. Если, например, изменить знак линейной силы в уравнении Дюффинга (7.3.32), то сепаратрисы вообще не будет, а хаотический аттрактор останется [210].- Прим. реô.

чим уравнения типа (7.3.18):
\[
\begin{array}{l}
\frac{d I}{d n}=K \sin \theta+\varepsilon(-\delta I+2 K \sin \theta \cos 2 \pi n), \\
\frac{d \theta}{d n}=I .
\end{array}
\]

Невозмущенная сепаратриса этой системы имеет, как мы знаем, вид [см. (1.3.21)]:
\[
\begin{array}{c}
\theta_{0}(n)=4 \operatorname{arctg}(\exp (\sqrt{K} n))-\pi, \\
I_{0}(n)=2 \sqrt{K} \sin \left(\frac{\theta_{0}(n)}{2}\right) .
\end{array}
\]

Подставляя (7.3.41) в (7.3.31), можно вычислить расщепление сепаратрисы:
\[
D\left(n_{0}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} I_{0}\left(n-n_{0}\right)\left\{-\delta I_{0}\left(n-n_{3}\right)+2 K \sin \left[\theta_{0}\left(n-n_{0}\right)\right] \cos 2 \pi n\right\} d n .
\]

Здесь первый интеграл берется элементарно, а второй сводится к интегралу Мельникова-Арнольда (п. 3.5а). В результате получим
\[
D\left(n_{0}\right)=\frac{4 \pi}{Q_{0}}\left[\frac{Q_{0}^{3}}{\operatorname{ch}\left(\pi Q_{0} / 2\right)} \sin 2 \pi n_{0}-4 \delta\right],
\]

где $Q_{0}=2 \pi / K^{1 / 2}$. Поэтому условие пересечения сепаратрис имеет вид
\[
\delta<\frac{Q_{0}^{3}}{4} \frac{1}{\operatorname{cis}\left(\pi Q_{0} / 2\right)},
\]

или для $Q_{0} \gg 1$
\[
\delta<\frac{Q_{0}^{3}}{2} \exp \left(-\frac{\pi Q_{0}}{2}\right) .
\]

Метод Мельникова можно обобщить и на многомерные системы [196 ]. В частности, его можно использовать для изучения движения вблизи сепаратрисы вторичных резонансов. Этот метод привел также к важным математическим результатам в теории диффузии Арнольда [197] 1).
1) Речь идет о более аккуратном установлении самого факта существования диффузии в окрестности резонансных сепаратрис для широкого класса гамильтоновых систем (гипотеза Арнольда [462]).- Прим. ред.