Несмотря на влияние резонансов, которое даже в первом порядке по $\varepsilon$ приводит к локальному изменению или разрушению адиабатических инвариантов, часто возникает необходимость в получении асимптотических разложений более высоких порядков. Такие вычисления оказываются очень громоздкими, если используется процедура усреднения Крускала или Боголюбова, потому что выполнение совместных обратных преобразований переменных быстро усложняется. Явные выражения для преобразований до второго порядка были получены в работе Мак-Намары и Уайтмена [292 ]; конкретный пример, использующий некоторые упрощения, рассмотрен Нортропом и др. [321].

Другой, более простой метод, использующий скобки Пуассона, был предложен еще Уиттекером [430] и развит в работах МакНамары и Уайтмена [292] и Джакалья [153]. Оба метода по существу эквивалентны до второго порядка, как было показано МакНамарой и Уайтменом [292], а для некоторого класса задач и во всех порядках, согласно Штерну [391 ]. Позднее Мак-Намара установил [290 l, что использование скобок Пуассона является частным случаем метода преобразований Ли. Последний метод сменил старую технику, в том числе и с использованием скобок Пуассона; он положен в основу нашего описания адиабатических инвариантов высших порядков. Подробности старых методов можно найти в цитированных выше работах.
Порядки величин при адиабатическом возмущении. При медленном возмущении гамильтониан имеет вид (см. п. 2.3a)
\[
H=H_{0}(J, \theta, \varepsilon y, \varepsilon t)+\varepsilon H_{1}(J, \theta, \varepsilon y, \varepsilon t)+\ldots
\]

Здесь $J, \theta$ переменные действие – угол для единственной быстрой степени свободы и $\boldsymbol{y}=(\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q})$ – обобщенные переменные остальных медленных степеней свободы. Порядок производных по $\boldsymbol{y}$ и по времени $t$ на единицу выше порядка тех членов, из которых они получены. Построенные в п. 2.56 ряды не отражают этого изменения порядков и потому должны применяться с осторожностью. Для медленных возмущений оператор Ли имеет вид
\[
\hat{L}=\hat{L}_{f}+\varepsilon \hat{L}_{s},
\]

где быстрая часть
\[
\hat{L}_{f}=\left(\frac{\partial \omega}{\partial \theta} \frac{\partial}{\partial J}-\frac{\partial \omega}{\partial J} \frac{\partial}{\partial \theta}\right),
\]

а медленная
\[
\hat{L}_{s}=\sum_{i}\left(\frac{\partial w}{\partial\left(\varepsilon q_{i}\right)} \frac{\partial}{\partial\left(\varepsilon p_{i}\right)}-\frac{\partial w}{\partial\left(\varepsilon p_{i}\right)} \frac{\partial}{\partial\left(\varepsilon q_{i}\right)}\right)
\]

и $w=w(J, \theta, \varepsilon \boldsymbol{y}, \varepsilon t)$. Из выражения (2.5.23) видно, что $\hat{T}_{n}^{-1}$ определяется через коэффициенты степенных разложений $\hat{L}_{f}$ и $\hat{L}_{s}$ как полином $n$-го порядка по $\varepsilon$. Наконец, член $\partial w_{n} / \partial t$ в уравнении $(2.5 .29)$ имеет порядок $\varepsilon: \partial w_{n} / \partial t \rightarrow \varepsilon \partial w_{n} / \partial(\varepsilon t)$. Для решения этого уравнения можно разложить $w_{n}$ и $\bar{H}_{n}$ по степеням $\varepsilon$, например:
\[
w_{n}=\sum_{k=0}^{\infty} \varepsilon^{k} w_{n k},
\]

и приравнять в (2.5.29) коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$. В результате получается цепочка уравнений, из которой можнопоследовательно найти $w_{n_{0}}, w_{n_{1}} \ldots$… Ка каждом шаге $\bar{H}_{n k}$ выбирается так, чтобы устранить секулярность по быстрой переменной $\theta$. Фактически в $n$-м порядке теории возмущений необходимо найти члены $w_{m k}$ только для $m+k \leqslant n$. Эта процедура эквивалентна в любом порядке описанному в $\$ 2.3$ методу усреднения. Она является более удобной, поскольку в порядках величин быстрых и медленных переменных автоматически устанавливается разница на единицу; это позволяет проводить усреднение по быстрой переменной в любом порядке теории возмущений и исключать возникновение секулярных членов. Одғако все присущие методу усреднения ограничения (см. § 2.3) проявляются и здесь.
Первое уравнение цепочки ( $k=0$ ) есть
\[
\omega_{\theta} \frac{\partial \omega_{n 0}}{\partial \theta}=n\left(\bar{H}_{n 0}-H_{n}\right)-\sum_{m=1}^{n-1}\left(\hat{L}_{f, n-m} \bar{H}_{m 0}+m \hat{T}_{f, n-m}^{-1} H_{m}\right),
\]

причем выражения для $T_{f}^{-1}$ получаются из выражений заменой $\hat{L}$ на $\hat{L}_{f}$. Қаждое уравнение цепочки имеет вид
\[
\omega_{\theta} \frac{\partial w_{n k}}{\partial \theta}=n \breve{H}_{n k}+\Phi
\]

где $Ф$ – известная функция медленных переменных и времени. В процессе решения этой цепочки уравнений резонансные знаменатели никогда не возникают, ибо левая часть (2.5.49) является производной только от быстрой фазовой переменной. Однако, как мы уже знаем, резонансы между быстрыми и медленными колебаниями приводят к тому, что ряд, представляющий $w_{n}$, оказывается асимптотическим.

Процедуру получения инварианта выше первого порядка лучше всего продемонстрировать на конкретном примере. Вначале мы продолжим вычисления п. 2. Зв и получим адиабатический инвариант второго порядка для медленно изменяющегося гармонического осциллятора. В качестве второго приложения теории найдем среднюю силу, действующую на заряженную частицу в поле высокочастотной электростатической волны.
Медленно изменяющийся гармониеский осциллятор. Из выражения (2.3.25), обозначая штрихом дифференцирование по аргументу $\varepsilon t$ и записывая для простоты $\omega$ вместо $\omega_{0}$, получаем гамильтониан
\[
H=\omega J+\varepsilon \frac{1}{2} \frac{\omega^{\prime}}{\omega} J \sin 2 \theta,
\]

где
\[
\omega=\omega(\varepsilon t) .
\]

Примем в выражении (2.3.23) $G=1, F=\omega^{2}(\varepsilon t)$. В нулевом порядке $\bar{H}_{0}=H_{0}$; в первом порядке уравнение (2.5.31a) имеет вид
\[
\omega \frac{\partial w_{1}}{\partial \theta}+\varepsilon \frac{\partial w_{1}}{\partial(\varepsilon t)}=\bar{H}_{1}-H_{1} .
\]

Чтобы решить это уравнение с точностью до $\varepsilon$, полагаем
\[
\omega_{1}=\omega_{10}+\varepsilon \omega_{11}, \quad \bar{H}_{1}=\bar{H}_{10}+\varepsilon \bar{H}_{11},
\]

что приводит к системе
\[
\begin{array}{l}
\omega \frac{\partial \omega_{10}}{\partial \theta}=\bar{H}_{10}-\frac{1}{2} \frac{\omega^{\prime}}{\omega} J \sin 2 \theta, \\
\omega \frac{\partial \omega_{11}}{\partial \theta}=\bar{H}_{11}-\frac{\partial \omega_{10}}{\partial(\varepsilon t)} .
\end{array}
\]

Чтобы избежать секулярности в $w_{10}$ и $w_{11}$, следует выбрать $\bar{H}_{10}=0$ и $\bar{H}_{11}=0$, поэтому
\[
\bar{H}_{1}=\bar{H}_{10}+\varepsilon \bar{H}_{11}=0 .
\]

Интегрируя (2.5.54a) и подставляя полученное выражение для $w_{10}$ в (2.5.54б), находим
\[
w_{1}=\omega_{10}+\boldsymbol{e} \omega_{11}=\frac{1}{4} \frac{\omega^{\prime}}{\omega^{2}} J \cos 2 \theta-\frac{\varepsilon}{8 \omega}\left(\frac{\omega^{\prime}}{\omega^{2}}\right)^{\prime} J \sin 2 \theta .
\]

Во втором порядке уравнение (2.5.316) принимает вид
\[
\omega \frac{\partial w_{2}}{\partial \theta}+\varepsilon \frac{\partial w_{2}}{\partial(\varepsilon t)}=2\left(\bar{H}_{2}-H_{2}\right)-\hat{L}_{1}\left(\bar{H}_{1}+H_{1}\right) .
\]

Поскольку это уравнение следует решить в нулевом порядке по $\boldsymbol{\varepsilon}$, опустим второй член в левой части, а во втором члене правой части положим $\hat{L}_{\mathbf{1}}=\hat{L}_{f 1}=\left[w_{10}, \quad\right]$; с учетом $H_{2}=0$, согласно (2.5.50), получим
\[
\omega \frac{\partial w_{20}}{\partial \theta}=2 \bar{H}_{20}-\left[\omega_{10}, H_{1}\right] .
\]

Скобки Пуассона
\[
\left[w_{10}, H_{1}\right]=-\frac{1}{4} \frac{\left(\omega^{\prime}\right)^{2}}{\omega^{3}} J
\]

не содержат переменной части. Чтобы избежать секулярности, полагаем
\[
\bar{H}_{20}=-\frac{1}{8} \frac{\left(\omega^{\prime}\right)^{2}}{\omega^{3}} J,
\]

откуда $w_{20}=0$.
Подставляя вместо формальной переменной $J$ переменную $\bar{J}$, для нового гамильтониана второго порядка находим
\[
\bar{H}=\omega \bar{J}-\frac{1}{8} \frac{\left(\omega^{\prime}\right)^{2}}{\omega^{3}} \bar{J} .
\]

Дифференцируя это выражение по $\vec{J}$, определяем новую частоту
\[
\bar{\omega}=\omega\left[1-\frac{1}{8}\left(\frac{\omega^{\prime}}{\omega^{2}}\right)^{2}\right] .
\]

Согласно (2.5.8), можно выразить новое действие $\bar{J}$ через старые переменные
\[
\bar{J}=\hat{T} J .
\]

Используя (2.5.24а) и (2.5.24б), во втором порядке имеем
\[
\bar{J}=J-\varepsilon\left[w_{1}, J\right]+\frac{\varepsilon^{2}}{2}\left[w_{10},\left[w_{10}, J\right]\right] .
\]

В эту зависимость входит функция первого порядка w $_{1}$. Используя определяющее ее выражение (2.5.56), получаем
\[
\bar{J}=J+\frac{\varepsilon}{2} \frac{\omega^{\prime}}{\omega^{2}} J \sin 2 \theta+\frac{\varepsilon^{2}}{8}\left(\frac{\omega^{\prime}}{\omega^{2}}\right)^{2} J+\frac{\varepsilon^{2}}{4 \omega}\left(\frac{\omega^{\prime}}{\omega^{2}}\right)^{\prime} J \cos 2 \theta .
\]

В силу (2.5.61) $\bar{J}=$ const, и соотношение (2.5.65) описывает инвариантные кривые на плоскости $(J, \theta)$. Этот результат совпадает с полученным в работах [282, 391, 429], однако использование преобразований Ли позволило существенно упростить вычисления. Движение в быстро осциллирующем поле. В качестве второго примера найдем среднюю силу, действующую на заряженную частицу в поле электростатической волны с медленно изменяющейся амплитудой ${ }^{\mathbf{1}}$ ). Хорошо известно, что средняя сила пропорциональна квадрату амплитуды волны, поэтому потребуется провести вычисления во втором порядке. Примем гамильтониан в виде
\[
H_{W}(p, x, t)=\frac{1}{2 m} p^{2}+\varepsilon e \Phi(\varepsilon k x) \cos (k x-\omega t),
\]

где параметр $\varepsilon$ соответствует адиабатическому возмущению. Вводя расширенное фазовое пространство и считая $E=-H_{W}$ импульсом, канонически сопряженным времени $t$, находим
\[
H_{e}(p, E, x, t)=\frac{1}{2 m} p^{2}+E+\varepsilon e \Phi(\varepsilon k x) \cos (k x-\omega t) .
\]

С помощью производящей функции
\[
F_{2}=(-k x+\omega t) J_{\theta}+k x J_{\varphi}
\]

имеем
\[
\begin{array}{c}
E=\frac{\partial F_{2}}{\partial t}=\omega J_{\theta}, \quad \varphi=\frac{\partial F_{2}}{\partial J_{\varphi}}=k x, \\
p=\frac{\partial F_{2}}{\partial x}=k\left(J_{\varphi}-J_{\theta}\right), \quad \theta=\frac{\partial F_{2}}{\partial J_{\theta}}=\omega t-k x .
\end{array}
\]

Новый гамильтониан $H$ зависит от быстрой $\theta$ и медленной $\varepsilon \varphi$ фаз:
\[
H=H_{0}+\varepsilon e \Phi(\varepsilon \varphi) \cos \theta,
\]

а гамильтониан невозмущенного движения
\[
H_{0}=\frac{k^{2}}{2 m}\left(J_{\varphi}-J_{\theta}\right)^{2}+\omega J_{\theta}
\]

определяет частоты колебаний
\[
\begin{array}{c}
\omega_{\varphi}=\frac{k^{2}}{m}\left(J_{\varphi}-J_{\theta}\right)=k v_{x}, \\
\omega_{H}=\omega–\frac{k^{2}}{m}\left(J_{\varphi}-J_{\theta}\right)=\omega-k v_{\lambda} .
\end{array}
\]
1) Это неудачный пример для демонстрации преимущества метода преобразования Ли, поскольку рассматриваемая задача гораздо проще и в более общем виде решается с помощью классического метода усреднения (см., например, [453], § 30).- Прим. ред.

Условие адиабатичности ( $\omega_{\varphi} \ll \omega_{\theta} ; \varepsilon=1$ ) требует, чтобы частица была далеко от резонанса с волной
\[
\left|\frac{\omega}{k}-v_{x}\right| \gg v_{x} .
\]

Введем теперь преобразования Ли. В нулевом порядке по $\varepsilon$ гамильтониан $\bar{H}_{0}=H_{0}$, а в первом порядке
\[
\omega_{\theta} \frac{\partial w_{1}}{\partial \theta}+\varepsilon \omega_{\varphi} \frac{\partial w_{1}}{\partial(\varepsilon \varphi)}=\bar{H}_{1}-e \Phi \cos \theta .
\]

Функцию $w_{1}$ необходимо найти с точностью до $\varepsilon$, поэтому полагаем
\[
\begin{array}{l}
w_{1}=w_{10}+\varepsilon w_{11}, \\
\widetilde{H}_{1}=\bar{H}_{10}+\varepsilon \bar{H}_{11}
\end{array}
\]

и находим
\[
\begin{array}{l}
\omega_{\theta} \frac{\partial w_{10}}{\partial \theta}=\bar{H}_{10}-\varepsilon \Phi \cos \theta, \\
\omega_{\theta} \frac{\partial w_{11}}{\partial \theta}=\bar{H}_{11}-\omega_{\varphi} \frac{\partial w_{10}}{\partial(\varepsilon \varphi)} .
\end{array}
\]

Так как среднее от $е \Phi \cos \theta$ равно нулю, то выбираем $\bar{H}_{10}=0$ и интегрируем (2.5.77a)
\[
\omega_{10}=-\frac{e \Phi}{\omega_{\theta}} \sin \theta .
\]

Используя это выражение в (2.5.77б) и полагая $\bar{H}_{11}=0$, после интегрирования находим
\[
\omega_{11}=-\frac{\omega_{\varphi}}{\omega_{\epsilon}} \frac{e \Phi^{\prime}}{\omega_{\theta}} \cos \theta .
\]

Переходя ко второму порядку теории, мы должны найти $w_{2}$ в нулевом порядке по $\varepsilon$, поэтому опускаем в уравнении (2.5.31б) члены высших порядков, учитываем, что $H_{2}=0, \bar{H}_{1}=0, \partial H_{1} / \partial J_{\theta}=$ $=0$, и получаем
\[
\omega_{\theta} \frac{\partial w_{20}}{\partial \theta}=2 \bar{H}_{20}+\frac{\partial w_{10}}{\partial J_{\theta}} \frac{\partial H_{1}}{\partial \theta} .
\]

Выберем $\bar{H}_{20}$ так, чтобы исключить секулярность по $\theta$ :
\[
\bar{H}_{20}=-\frac{1}{2}\left\langle\frac{\partial w_{10}}{\partial J_{\theta}} \frac{\partial H_{1}}{\partial \theta}\right\rangle_{\theta} .
\]

Вычисляя это выражение с помощью (2.5.78a), приходим к квадратичной зависимости гамильтониана от амплитуды волны
\[
\bar{H}_{20}=\frac{1}{4} \frac{e^{2} \Phi^{2}(\varepsilon \varphi)}{\omega_{\theta}^{2}} \frac{\partial \omega_{\theta}}{\partial J_{\theta}} .
\]

Возвращаясь в усредненном гамильтониане $\bar{H}=\bar{H}_{0}+\varepsilon \bar{H}_{1}+\varepsilon^{2} \overline{H_{2}}$ к исходным переменным, получаем выражение в виде суммы кинетической и эффективной потенциальной энергии ( $\varepsilon=1$ ):
\[
\bar{H}_{W}=\frac{p^{2}}{2 m}+\frac{k^{2}}{4 m} \frac{e^{2} \Phi^{2}(k x)}{\left(\omega-k v_{x}\right)^{2}}=\frac{p^{2}}{2 m}+U_{\text {эфф }}(x)=\text { const. }
\]

Средняя сила равна
\[
\bar{F}=-\frac{\partial U_{\Im \Phi \Phi}}{\partial x}=-\frac{e^{2} k^{3}}{2 m} \frac{\Phi \Phi^{\prime}}{\left(\omega-k v_{x}\right)^{2}} .
\]

Видно, что эта сила обращается в нуль вблизи максимума или минимума амплитуды волны, причем минимум отвечает устойчивым колебаниям частицы.

При приближении к резонансу средняя сила, согласно (2.5.83), неограниченно возрастает, но при этом нарушается условие адиабатичности ( $\left.\omega_{\varphi} \ll \omega_{\theta}\right)$. Этот случай можно исследовать в рамках резонансной теории возмущений, или в более высоком порядке, с помощью комбинации метода ДЛТ и преобразований Ли, как это будет описано ниже.
Устранение резонансных знаменателей. Адиабатические инварианты, как это было показано в $§ 2.4$, в окрестности резонансов претерпевают топологические изменения. Для отдельного резонанса замена переменных вида (2.4.6) (резонансные переменные) позволяет учесть изменения топологии и составляет основу резонансной теории возмущений, изложенной в п. 2.4 а в первом порядке по $\varepsilon$. Поскольку для двух степеней свободы движение полностью разделяется на быстрое и медленное, то методы этого параграфа применимы и для нахождения интегралов движения более высоких порядков вблизи резонансов.

В работе [290] Мак-Намара соединил технику преобразований Ли с методом ДЛТ (п. 2.4г). Напомним, что с помощью этого метода для определенного класса задач удается построить интеграл движения первого порядка с учетом влияния сразу всех первичных резонансов. Метод основан на том факте, что если $J$ – интеграл невозмущенной системы, то и любая функция $I_{0}(J)$ также является интегралом. Выбирая $I_{0}(J)$ так, чтобы производная $d I_{0} / d J$ обращалась в нуль при резонансных значениях $J$, можно учесть топологические изменения интеграла $\bar{I}$ возмущенной системы. Техника преобразований Ли позволяет легко ввести функцию $I_{0}$ вместо $J$ следующим образом. В соответствии с методом этого параграфа эволюционный оператор $\hat{T}$ вычисляется с точностью до желаемого порядка $n$. Затем, вместо записи интеграла в форме (2.5.63), т. е.

положим
\[
\bar{J}=\hat{T} J=\text { const, }
\]
\[
\bar{I}=\hat{T}^{-1} I_{0}=\text { const }
\]

и выберем $I_{0}(J)$ так, чтобы устранить полюсы функции $\bar{I}(J)$. МакНамара показал, что необходимость выбора $I_{0}(J)$ возникает только после того, как будет достигнут $n$-й порядок разложений, и дал правила такого выбора.
Резонансное взаимодействие волны и частицы. Применим последний метод к решению рассмотренной ранее в п. 2.26 задачи для волны, распространяющейся под углом $45^{\circ}$ к магнитному полю, с гамильтонианом (2.4.108). В первом порядке уравнение (2.5.31a) принимает вид
\[
P_{\psi} \frac{\partial w_{1}}{\partial \psi}+\frac{\partial w_{1}}{\partial \varphi}=-\sum_{m=0}^{\infty} \mathcal{F}_{m}(\rho) \sin (\psi-m \varphi) .
\]

Запишем решение этого уравнения:
\[
w_{1}=\sum_{m=0}^{\infty} \mathscr{J}_{m}(\rho) \frac{\cos (\psi-m \varphi)}{P_{\psi}-m} .
\]

С помощью (2.5.25a) находим интеграл движения
\[
\bar{I}=I_{0}\left(P_{\psi}\right)+\varepsilon\left[w_{1}, I_{0}\right],
\]

или
\[
\bar{I}=I_{0}+\varepsilon \frac{\partial w_{1}}{\partial \psi} \frac{d I_{0}}{d P_{\psi}} .
\]

Если выбрать $d I_{0} / d P_{\psi}$ согласно (2.4.109), то все резонансные знаменатели в (2.5.87) сокращаются и для $\bar{I}$ получается выражение (2.4.111). Первичные резонансы при $P_{\psi}=+1,0,-1$ хорошо описываются полученным интегралом движения (см. п. 2.4г).

Переходя ко второму порядку, следует решить уравнение (2.5.31б) и найти $w_{2}$. С помощью (2.5.25) получаем интеграл движения в виде
\[
\bar{I}=I_{0}+\varepsilon\left[w_{1}, I_{0}\right]+\frac{{ }^{r} \varepsilon^{2}}{2}\left[w_{2}, I_{0}\right]+\frac{\varepsilon^{2}}{2}\left[w_{1},\left[w_{1}, I_{0}\right]\right] .
\]

Эта функция имеет полюсы второго порядка при целых $P_{\psi}$ и полюсы первого порядка при полуцелых $P_{\psi}$. Чтобы устранить все эти полюсы, выберем
\[
\frac{d I_{0}}{d P_{\psi}}=\sin ^{2} \pi P_{\psi} \sin 2 \pi P_{\psi} .
\]

Инвариантные кривые ( $\bar{I}=$ const) показаны на рис. 2.13 ; их следует сравнить с инвариантными кривыми первого порядка (рис. 2.12, б) и с численными результатами (рис. 2.10, б).Полуцелые резонансы, как и нерезонансные области, хорошо воспроиз-

Рис. 2.13. То же, что и на рис. $2.10,6$ во втором порядке по $\varepsilon=0,1$ (по данным работы [290]).

водятся на рис. 2.13. Однако целые резонансы сильно искажены, хотя для меньшей величины возмущения согласие гораздо лучше [290 ]. Здесь остается еще много неясных вопросов ${ }^{1}$ ).